PHYS 321 Lecture 16
Hanging Chain – Lagrange Multipliers 10-4-02
General:
Take Function f(q1, …, qn) with constraint g(q1, …, qn) = 0
qn = h((q1, …, qn-1)
Differentiating:
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
knkq
h
q
f
dq
f and k = 1, …., n-1
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
knkq
h
q
g
dq
g because g(….) = 0
∂
∂
∂∂−
=
∂
nkk q
g
q
g
dq
h1
and then plug back in to to get:
0
1=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
∂−
knnkq
g
q
g
q
f
dq
f
43421λ
where λ is the Lagrange Multiplier
now
0
=
∂
∂
∂
−
∂
+
∂
−
∂
knnkk q
h
dq
g
dq
f
dq
g
dq
fλλ kq
h
∂
∂
can not always be zero
0=
∂
−
∂
kk dq
g
dq
fλ and 0=
∂
−
∂
nn dq
g
dq
fλ
only need 0=
∂
−
∂
kk dq
g
dq
fλ and g(q1, …, qn) = 0
if more than one constraint
gs(q1, …, qn), s =1,…., m
then
0
1
=
=
∂
−
∂∑
m
s
dq
g
dq
f
kk λ
