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Tableaux des dérivées
On rappelle les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules générales de dérivation.
Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée
ln(x) R+,∗^
x ex^ R ex
xα, α ∈ R R+,∗^ αxα−^1 √ x R+,∗^1 2
x
cos(x) R − sin(x)
sin(x) R cos(x)
tan(x)
]
π 2 +^ kπ;^
π 2 +^ kπ
[
, k ∈ Z 1 + tan^2 (x) =
cos^2 (x)
arccos(x) ] − 1; 1[ √−^1 1 − x^2 arcsin(x) ] − 1; 1[ √^1 1 − x^2 arctan(x) R
1 + x^2 cosh(x) R sinh(x)
sinh(x) R cosh(x)
tanh(x) R 1 − tanh^2 (x) =
cosh^2 (x)
arcosh(x) ]1; +∞[ √^1 x^2 − 1 arsinh(x) R
√^1
x^2 + 1 artanh(x) ] − 1; 1[ 1 1 − x^2
Opération Dérivée
f + g f ′^ + g′
f · g f ′^ · g + f · g′ f g
f ′^ · g − f · g′ g^2 g ◦ f f ′^ × g′^ ◦ f
(f · g)(n)
∑^ n
k=
n k
f (k)g(n−k)
( f −^1
f ′^ ◦ f −^1 1 u −^
u′ u^2 uα, α ∈ R∗^ αu′uα−^1 √ u
u′ 2
u ln(u) u
′ u exp(u) u′^ exp(u)
cos(u) −u′^ sin(u)
sin(u) u′^ cos(u)
Tableau des primitives
Fonction Intervalle d’intégration Primitive
(x − a)n, n ∈ N, a ∈ R R 1 n + 1
(x − a)n+ 1 x − a , a^ ∈^ R^ ]^ − ∞;^ a[^ OU^ ]a; +∞[^ ln(|x^ −^ a|) 1 (x − a)n^ , a^ ∈^ R, n^ ≥^2 ]^ − ∞;^ a[^ OU^ ]a; +∞[^ −^
(n − 1)(x − a)n−^1
cos(ax), a ∈ R{ 0 } R 1 a
sin(ax)
sin(ax), a ∈ R{ 0 } R − 1 a
cos(ax)
tan(x) ]kπ −
π 2 ;^ kπ^ +^
π 2 [, k^ ∈^ Z^ −^ ln(|^ cos(x)|) ln(x) R+,∗^ x ln(x) − x
eax, a ∈ R{ 0 } R (^1) a eax
(x − a)α, a ∈ R, α ∈ R{− 1 } ]a; +∞[ 1 α + 1
(x − a)α+
ax, a > 0 R
ln(a) a
x
1 x^2 + 1
R arctan(x) √ x − a, a ∈ R ]a; +∞[ 2 3
(x − a)^3 /^2
√^1 x − a
, a ∈ R ]a; +∞[ 2
x − a
√^1 1 − x^2
] − 1; 1[ arcsin(x)
Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) :
cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1, cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
cos(2x) = 2 cos^2 (x) − 1 = 1 − 2 sin^2 (x), cos^2 (x) =
1 + cos(2x) 2 , sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), sin^2 (x) =
1 − cos(2x)
Pour étudier certaines courbes paramétrées faisant intervenir sin et cos, il est parfois utile d’effectuer le changement de variable t = tan( x 2 ), d’où les formules suivantes :
cos(x) =
1 − tan^2
( (^) x 2
1 + tan^2
( (^) x 2
) (^) , sin(x) = 2 tan^
( (^) x 2
1 + tan^2
( (^) x 2
Et tant qu’on y est, une factorisation utile (formules de l’arc-moitié) :
eiα^ + eiβ^ = 2 cos
α − β 2
exp
i α^ + 2 β
, eiα^ − eiβ^ = 2i sin
α − β 2
exp
i α^ + 2 β
