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2. Les fonctions hyperboliques
1. Qu’est-ce que les fonctions hyperboliques?
Définition
On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ainsi.
Définition de cosh x et de sinh x
cosh sinh 2 2
e x^ e x^ e x^ ex x x
+ −^ − −
On utilise aussi les notations suivantes.
ch x = cosh x sh x =sinhx
Par similarité avec les fonctions trigonométriques, on définit aussi les fonctions suivantes.
Autres fonctions hyperboliques
sinh cosh tanh coth cosh sinh
x x x x x x
sech 1 csch^1 cosh sinh
x x x x
On utilise aussi la notation suivante pour la tangente hyperbolique.
th x =tanhx
Lien avec les fonctions trigonométriques
Cette définition implique un lien avec les fonctions trigonométriques. En effet, on avait vu au chapitre 1 que
cos 2
e^ ix eix x
+^ −
On a donc que
cos ( )
e x^ ex ix
Cela signifie que
Lien entre cosh x et cos x
cos (^) ( ix (^) ) =cosh( x)
On avait également vu au chapitre 1 que
sin 2
e^ ix eix x i
−^ −
On a donc que
sin (^) ( ) 2
x x
x x
x x
e e ix i e e i
ie^ e
−
−
−
Cela signifie que
Lien entre sinh x et sin x
sin (^) ( ix (^) ) =i sinh( x)
Interprétation géométrique des fonctions hyperboliques
On connait bien l’interprétation géométrique des fonctions trigonométriques. Elles permettent de calculer les coordonnées d’un point sur un cercle à partir de l’angle.
Normalement, on interprète le coefficient à l’intérieur des fonctions comme un angle, mais on peut aussi l’interpréter comme étant 2 fois l’aire de la région en rose sur la figure. Avec le cosinus, on obtient la coordonnée en x du point rouge et avec le sinus, on obtient la coordonnée en y du point rouge.
math.stackexchange.com/questions/2803102/what-are-hyperbolic- trig-functions-functions-of
e x^ + + e −^ x^ e x^ − +e−x = −
− = −
=
On peut aussi la prouver à partir d’une identité trigonométrique.
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
cosh sinh cos sin cos sin 1
x x ix i ix ix ix
Avec les définitions et cette propriété, on peut souvent simplifier des expressions dans lesquelles on retrouve des fonctions hyperboliques
Exemple
Simplifiez l’expression suivante. 2 2
coth 1 sinh
x
On a 2 2 2 2 2 2 2
2 2
coth coth 1 sinh cosh cosh 1 sinh cosh 1 sinh csch
x x x x x x x
x x
____________________
3. Graphiques des fonctions hyperboliques
Voici les graphiques des fonctions hyperboliques.
www.quizover.com/calculus/test/graphs-of-hyperbolic-functions-by-openstax
SÉRIE D’EXERCICES 1
Calculez la valeur des fonctions suivantes (avec 4 décimales).
1. sinh (1) 2. cosh (2)
Dérivés de sinh x et de cosh x
d (^) ( cosh x (^) ) (^) sinh x d (^) ( sinhx) coshx dx dx
De là, on peut obtenir les dérivées des autres fonctions hyperboliques. Par exemple, voici la dérivée de la fonction sech x_._
( ) ( )
( ) ( )
1
2
sech cosh
cosh sinh 1 sinh cosh cosh sech tanh
d x d x dx dx x x x x x x x
−
−
En procédant ainsi, on peut trouver la dérivée des autres fonctions hyperboliques.
Dérivés de tanh x , de coth x , de sech x et de cosech x
( tanh^ ) 2 ( coth ) 2 sech csch
d x d x x x dx dx
( sech^ ) ( csch ) sech tanh csch coth
d x d x x x x x dx dx
Vous remarquez sans doute la similarité de ces formules et de celles des dérivées des fonctions trigonométriques, à part quelques signes qui sont différents.
De là, on peut calculer les dérivées des fonctions un peu plus complexes.
Exemple
Quelle est la dérivée de y = 3sinh 5( x^2 )?
La dérivée est
( (^ ))(^ )
( )
2
2
3 cosh 5 10
30 cosh 5
dy x x dx x x
____________________
Ces formules de dérivée permettent d’obtenir quelques intégrales.
Intégrales de quelques fonctions
cosh^ xdx^ =^ sinh^ x^ +^ C^ sinh^ xdx^ =^ coshx^ +C
sech^2 xdx = tanh x + C csch 2 xdx = − cothx +C
sech^ x^ tanh^ xdx^ = −^ sech^ x^ +^ C^ csch^ x^ coth^ xdx^ = −^ cschx^ +C
Exemple
Que vaut cette intégrale?
5 cosh 3^ (^ x^ +^8 )dx
Si on pose que
u = 3 x+ 8
on a du = 3 dx
et
( ) ( )
( )
( )
5 cosh 3 8 5cosh 3 (^5) sinh 3 (^5) sinh 3 8 3
du x dx u
u C
x C
____________________
Une autre intégrale utile pourrait être celle de tanh x. Voyons ce que vaut cette intégrale.
tanh sinh cosh
xdx xdx x =
Si on pose que u = coshx, on a du = sinhxdx. On peut alors écrire
sinh cosh ln
x du dx x u u C
On a donc
17. (^) sinh x coshxdx 18. (^) cosh^3 xdx 19. (^) 2
sinh 1 cosh
x dx + x
20. (^) sinh x sech^2 xdx 21. Quelle est l’aire de cette surface (avec 4
décimales)?
5. Les fonctions hyperboliques inverses
Définition
Il existe aussi les fonctions hyperboliques inverses. Par exemple, si
x = coshy
Alors on définit la fonction inverse de la façon suivante.
y = arcoshx
On obtient alors les fonctions inverses suivantes.
cosh arcosh sinh arsinh tanh artanh sech arsech csch arcsch coth arcoth
x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x
Notation
Cette notation avec ar- (pour faire arcosh x, arsinh x,…) est la plus commune et celle recommandée par l’organisation internationale de la normalisation.
On voit aussi la notation avec arc- (pour faire arccosh x, arcsinh x,…). Elle est souvent vue et elle est faite par analogie avec la notation utilisée pour les fonctions trigonométriques inverses. Cette notation est erronée puisque le prefixe arc- vient du latin arcus alors que le prefixe ar- vient du latin argumentum. Malgré cela, c’est la notation utilisée par le logiciel Maple.
D’autres préfèrent utiliser le préfixe arg- (pour faire argcosh x, argsinh x,…) pour argumentum.
D’autres préfèrent utiliser le préfixe a- (pour faire acosh x, asinh x,…). C’est une notation utilisée principalement en informatique.
On voit aussi la notation cosh-1^ x, sinh-1^ x. Cette notation a toutefois le désavantage d’amener la confusion entre le symbole de la fonction inverse et l’exposant de la fonction (comme dans cosh² x).
Lien entre les fonctions arcosh x , arsinh x et artanh x et la fonction
logarithme
On peut trouver des formules pour calculer ces fonctions inverses à partir des définitions. Voyons ce que ça donne pour le cosinus hyperbolique.
( )
2
arcosh cosh
y y
y y y y
y x x y e e x
e x e
e xe
−
−
Cette équation est une équation quadratique de e y. La solution de cette équation est
( )
2
2
2
ln 1
y
y
e^ x^ x
e x x
y x x
=^ ±^ −
Ce n’est pas évident, mais on peut écrire cette formule sous la forme suivante.
( ) y = ± ln x + x^2 − 1
Voici la preuve de cela. http://physique.merici.ca/calcul/Preuvearcosh.pdf
En procédant de la même façon, on obtient aussi la formule pour calculer les sinus et tangente hyperboliques inverses.
7. Dérivées des fonctions hyperboliques inverses
On va maintenant trouver les dérivées des fonctions hyperboliques inverses. Pour montrer comment y arriver, on va déterminer la dérivée d’arsinh x. On pourrait bien sûr utiliser la formule avec le logarithme, mais on va trouver la dérivée d’une autre façon.
2
2
2
arsinh sinh
cosh
1 sinh
y x x y dx y dy dx (^) y dy dx (^) x dy dy dx (^) x
On peut ainsi trouver la dérivée des fonctions hyperboliques inverses et obtenir les résultats suivants.
Dérivées des fonctions hyperboliques inverses
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
arcosh (^1) 1 1 arsinh (^1) 1 artanh (^1) 1 1 arcoth (^1) 1 1 arsech (^1) 0 1 1 arcsch (^1) 0 1
d x x dx (^) x d x dx (^) x d x x dx x d x x dx x d x x dx (^) x x d x x dx (^) x x
De là, on peut trouver quelques intégrales très intéressantes. À partir de
( ) 2
arcosh (^1) 1
d u du (^) u
On trouve que
2
(^1) arcosh 1
du u u
−
En posant que u = x /a, on a
( )
( )
( )
(^ ( ) )
2
2
(^2 )
2 2
arcosh 1 (^1 1) arcosh 1 1 arcosh 1
1 arcosh
xa x a
xa
ax
x d a
dx^ x a a
x dx a a
x dx x a a
= ^
−^ ^
= ^
= ^
− ⋅^ ^
= ^
−^ ^
En procédant ainsi pour les autres dérivées, on arrive aux formules d’intégrations suivantes.
Quelques intégrales donnant des fonctions hyperboliques inverses
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
(^1) arcosh ou ln
arsinh ou ln
(^1 1) artanh
arcoth
(^1 1) arsech 0
dx x C x x a C x a x a^ a x dx C x x a C x a a
dx x C x a a x a a x dx C x a a x a a
dx x C x a x a^ a
= ^ + + − + >
= ^ + + + +
+ ^
= ^ + <
− ^
= ^ + >
− ^
= − ^ +
<^ x^ qui implique que
du = 3 dx
L’intégrale devient alors
du u −
On obtient alors
2 16 arcosh^4
du u (^) C u
= ^ +
−
On a donc que
2
arcosh 9 12 12 4
dx x C x x
+ −
C’est avec ces intégrales que les fonctions hyperboliques prennent toute leur importance. Presque toujours, on obtient des fonctions hyperboliques parce qu’on a fait l’intégrale d’une des fonctions relativement simples de ces intégrales.
Voici un exemple. On laisse tomber un objet de 5 kg à partir du repos. Pendant sa chute, l’objet est soumis à une force de gravitation et une force de friction de l’air proportionnelle au carré de la vitesse. Supposons que cette force est
²^2 F = 0, 49 Nsm²v
On veut connaitre la vitesse de cet objet 2 secondes après son départ.
On a deux forces qui agissent sur l’objet. On a donc
² ² 1 2 ²
frection Ns m m s m
mg F ma N kg a v a
Puisque l’accélération est le rythme de changement de vitesse, on obtient
1 2 ²
1 2 ²
m s m
sm m
dv v dt dv dt v
On intègre alors de chaque côté pour obtenir
1 2 ²
²^2 ²
ms m
m s
dv dt v
dt m^ dv v
Oh surprise, c’est là qu’une tangente hyperbolique inverse apparait
(^500 1) artanh 49 10 10
(^50) artanh 49 10
m m s s
ms
t m^ v C
t s^ v C
Puisque la vitesse est nulle à t = 0, la constante doit être nulle. La vitesse en fonction du temps est donc
(^49) artanh 50 10 49 10 tanh 50
m s
m s
t v s t v s
= ^
À t =2 s, la vitesse est donc
10 tanh 49 2 50 9, 61
m s m s
v s s
= ^ ⋅
SÉRIE D’EXERCICES 3
Calculez la valeur des fonctions suivantes (avec 4 décimales).
1. arsinh (1) 2. arcosh (2) 3. artanh (½) 4. Démontrez que arsech (^) ( x (^) ) arcosh^1 x
= ^
5. Démontrez que (^) ( )
arcsch x arsinh x
= ^
x x
e (^) dx e −
23.^14
dx x −x
dx x + x+
1 0 2
dx x + x+
26. Montrez que
( )
( )
sec artanh sin
csc artanh cos
xdx x C
xdx x C
27. Un objet se déplace en suivant la droite x = 5 m (comme
sur la figure). La vitesse est toujours proportionnelle à la distance entre l’origine et l’objet. Sachant que l’objet est initialement à la position (5 m, 0) et qu’il a à ce moment une vitesse de 2 m/s, trouvez où sera l’objet à t = 5 s.
8. Période des fonctions hyperboliques
Terminons en mentionnant simplement que les fonctions hyperboliques sont périodiques, mais que la période est 2πi, un nombre complexe. En voici la preuve.
( )
2 2
2 2
cosh 2 2
x i x i
x i x i
e e x i
e e e e
π π
π π
− −
Puisque e^2 πi^ = e−^2 πi= 1 , on arrive à
( )
( )
cosh 2 2 cosh
e x^ ex x i
x
π
+^ −
De la même façon, on peut montrer que la fonction sinh x a aussi une période de 2πi
sinh ( x + 2 π i ) =sinh( x)
et que la fonction tanh x a une période de πi
tanh (^) ( x + πi (^) ) =tanh( x)
Solutions des exercices
Série d’exercices 1
1. 1, 2. 3, 3. 0, 4. 0, 5. 0, 6. 1,
Série d’exercices 2
1. 5cosh 5x 2. 4 x^3 sinh( x^4 ) 3. 2 x tanh x +^12 x3/2 sech^2 x 4. (^) 3 2 2
(^4) csch 2 x x
5.
( ) ( )
2 2 2 2
2 sech (^1) tanh 4 4
x x x x x
− ^ +
+ ^ +
6. − 6 csch (^2) ( 3 x (^) )coth(3 )x 7. 3 tanh 3( x)
( ) 2 2
3 1 sinh 3 2 2 3 2 2
x x x x x
( )
2 2 2
2 tanh sech tanh 4
x x x
10. sech (^) ( x) 11. (^) ( )
cosh 2 1 2
x + +C
12. ln 1( + sinh x (^) )+C 13. (^) ( 3 )
cosh 3
x +C
14. 2 cosh x +C
