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Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
Exercice 1:
- On considère la matrice A =
B
C
A.
(a) Montrer que le polynôme Q = X
3 1 est un polynôme annulateur de A.
(b) En déduire que A est inversible et donner A
1 .
(c) Calculer A
n , pour tout n 2 Z.
- Soit f l'endomorphisme de R
3 dé ni par: f (x;y;z) = (x + y + z; 4 x + 4y + 4z; x y z):
(a) Montrer que le polynôme Q = X
2 4 X est un polynôme annulateur de f.
(b) Déduire que l'endomorphisme f n'est pas inversible.
(c) Calculer f
n , pour tout n 2 N.
- On considère la matrice A =
(a) Calculer le polynôme caractéristique de A.
(b) En utilisant le théorème de Caley-Hamilton, calculer A
n , pour tout n 2 N.
Exercice 2: On considère E = R 3 [X] muni de sa base canonique B. Soit u l'application qui associe à tout
polynôme P de E, le reste de la division euclidienne de P par le polynôme X
2 1 :
- Déterminer u(P ) pour tout P dans E.
- Montrer que u est un endomorphisme de E.
- Déterminer le noyau et l'image de u et montrer qu'ils sont supplémentaires dans E.
- Déterminer le polynôme caractéristique de u.
- Montrer que le polynôme Q = X
2 X est un polynôme annulateur de u.
- Déduire u
n , pour tout n 2 N.
Exercice 3:
- Soit m 2 K et A =
B
d m m
2 c a + b c
2 a b
C
A. Montrer que:^ PA(x) = (c^ ^ a^ ^ x)(b^ +^ a^ ^ x)(d^ ^ x).
- Dans les cas suivants, calculer le polynôme caractéristique de la matrice A, donner ses valeurs propres
avec leurs ordres de multiplicité.
A =
B
C
A ,^ A^ =
B
C
A ,^ A^ =
B
2 k 0
C
A ,^ A^ =
B
B
B
C
C
C
A
A =
0 k
, A =
B
2 k 2
1 4 1
C
A ,^ A^ =
B
3 k k 1
3 k 1 2 k
C
A ,^ A^ =
B
B
B
1 1 1 k
1 1 k 1
1 k 1 1
k 1 1 1
C
C
C
A
A = (aij ) 1 i;jn avec
aii = 0
aij = k; 8 i 6 = j
, k 2 R.
Algebre Lineaire
Serie 3
Exercice 4: Soit f l'endomorphisme de R
2 dé ni par:
f (x;y) = ( 2 x + 2y ; 2 x + 3y ).
- Calculer le polynôme caractéristique de f.
- Déterminer les valeurs propres de f et préciser leurs ordres de multiplicité.
- Pour chaque valeur propre de f , déterminer le sous espace propre associé E(f ).
- Pour chaque valeur propre de f , donner une base de E(f ) et préciser sa dimension.
- Montrer qu'il existe une base B' de R
2 telle que la matrice de f dans cette base est diagonale.
- Ecrire la relation entre A et D à l'aide de la matrice de passage P = P ass(Bc;B
0 ).
- En déduire A
n ; 8 n 2 N:
Exercice 5: Soit f l'endomorphisme de R
3 dé ni par:
f (x;y;z) = ( x + 3y 2 z ; 3 x y + 2z ; 2 x + 2y + 4z).
- Calculer le polynôme caractéristique de f.
- Déterminer les valeurs propres de f et préciser leurs ordres de multiplicité.
- Pour chaque valeur propre de f , déterminer le sous espace propre associé E(f ).
- Pour chaque valeur propre de f , donner une base de E(f ) et préciser sa dimension.
- Montrer qu'il existe une base B' de R
3 telle que la matrice de f dans cette base est diagonale.
- Ecrire la relation entre A et D à l'aide de la matrice de passage P = P ass(Bc;B
0 ).
Exercice 6: Soit u l'application qui associe à tout polynôme P de R 2 [X] ,
u(P ) = 2P + (1 X)P
0 :
- Montrer que u est un endomorphisme de R 2 [X].
- Déterminer la matrice de u relativement à la base canonique de R 2 [X].
- Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de u.
- Montrer que l'endomorphisme u est diagonalisable et donner une base B' de R 2 [X] telle que la matrice
de u dans cette base est diagonale.
Exercice 7: Soit A =
soit u l'application qui à toute matrice M 2 M 2 (R) associe : u(M ) = AM 2 M A:
- Montrer que u est un endomorphisme de M 2 (R).
- Déterminer la matrice de u relativement à la base canonique de M 2 (R).
- Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de u.
- L'endomorphisme u est-il diagonalisable?
Exercice 8: Soit g l'endomorphisme de R
4 dé ni par:
g(x;y;z;t) = (5y ; 3 x + 2z ; 2 y + 3t ; 5 z).
- Calculer le polynôme caractéristique Pg de g et en déduire le spectre de g.
- g est-il un automorphisme de R
4 .
- Déterminer les sous espaces propres de g et donner une base de chacun.
- Montrer que g est diagonalisable et donner une base B' de R
4 formée par des vecteurs propres de g.
Exercice 9: Déterminer des conditions nécessaires et su santes sur les scalaires a;b;c;d;e pour que la
matrice A soit diagonalisable dans les cas suivant :
A =
B
4 a b
0 4 c
C
A ,^ A^ =
B
a 1 0
b c 1
C
A ,^ A^ =
B
a 0 0
b c 1
C
A ,^ A^ =
B
B
B
a 1 0 0
b 0 4 0
c d e 4
C
C
C
A
Exercice 13: Devoir de maison
On considère fm l'endomorphisme de R
3 dé ni par:
fm(x;y;z) = ( x + y z ; 2 x + (m + 1)y + (1 2 m)z ; 2 x + y + (1 m)z ); m 2 R
- Ecrire la matrice Am de fm relativement à la base canonique Bc de R
3 .
- Calculer le polynôme caractéristique Pm de fm.
- Pour quelles valeurs de m, l'endomorphisme fm est-il un automorphisme de R
3 .
- Pour quelles valeurs de m, l'endomorphisme fm est-il diagonalisable?
- On prend m = 1, on note A = A 1 et f = f 1.
(a) Déterminer les sous espaces propres de f , préciser leurs dimensions et donner une base de chacun.
(b) Déduire qu'il existe une base B
0 de R
3 telle que la matrice de f dans cette base est diagonale.
(c) Ecrire la matrice de passage P = P ass(Bc; B
0 ) et calculer P
1 .
(d) Donner la relation entre A et D à l'aide de la matrice P.
(e) Pour tout n 2 N, calculer D
n et en déduire A
n .
- Soient (xn);(yn);(zn) des suites réelles véri ant:
8
<
xn+1 = xn + yn zn
yn+1 = 2 xn + 2yn zn
zn+1 = 2 xn + yn
Déterminer les expressions de xn;yn;zn en fonction de n sachant que x 0 = y 0 = z 0 = 1:
- On prend m = 1 et on note M = A 1.
(a) Préciser les valeurs propres de M et déterminer les sous espaces propres associés.
(b) Montrer que la matrice M n'est pas diagonalisable mais qu'elle est trigonalisable.
(c) Véri er que M est inversible.
(d) Préciser les valeurs propres de M
1 et les sous espaces propres associés.
(e) La matrice M
1 est-elle diagonalisable?
(f) En utilisant le théorème de Caley-Hamilton, exprimer M
1 en fonction de M et I 3.
- Pour m 2 R, on considère le système (Sm) : Am
B
x
y
z
C
A =
B
d
d 1
C
A ; d^2 R:
(a) Pour quelles valeurs de m, (Sm) est-il un système de Cramer.
(b) On suppose que m = 1, résoudre (S 1 ) par les formules de Cramer.
(c) On suppose que m = 2.
i. Résoudre (S 2 ) par la méthode des pivots de Gauss.
ii. Interpréter ce résultat géométriquement.
