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5. The Jordan canonical form
직전 단원에서 우리는^ ^ 의 고유벡터를 포함하고 있는^ ^ ^ 의 basis가 존재한다면 행렬^ ∈^ ^ ^ ×^ ^ 이 대각화 가능하다는 것을 보
았다. 이 조건을 만족시키지 못하는 행렬은 defective라고 부른다. 모든 행렬이 대각화가능하지는 않기에, 우리는 similarity transformation으로 얻을 수 있는 가장 단순한 형태의 행렬을 결정하고 싶다. 유한 차원에서의 L.O를 이용하여 표현할 때, 가장 간단하게 basis를 고르는 방법이 무엇일까가 우리의 질문이다. 이러한 일반적인 결과를 이해하기 위해서는 우선 invariant subspace의 컨셉부터 이해하자. 5.1 Invariant subspace
만약 ^ 가 L.O → 의 eigenspace라 하면 ∀∈ , ^ ^ ∈ 이다. 따라서 는 에서 로 가는
Def 223) L.O → 와 의 부분공간 에 대해 ∀ ∈ , ∈ 이면 는 T-invariant 하다고 한다. 비슷하게,
∈ ^ ×^ ^ 와 ^ 의 부분공간 에 대해 ∀∈ , ∈ 이면 는 A-invariant 하다고 한다.
연산자(또는 행렬)이 basis를 구성하기 위한 independent한 고유벡터들이 없을 경우 대각화불가능하다. 그러한 경우에는 그것 의 invariant subspace를 찾기 위해 우리는 연산자의 구조를 이해할 필요가 있다.
우리의 결정을 가장 견고하게 만들기 위해서는 주어진 행렬 ∈ ^ ×^ ^ 에 집중할 것이다. 우리의 목표는 ^ 가 가
장 단순하게 되는 역행렬^ ∈^ ^ ^ ×^ ^ 를 찾는 것이다. 연산자^ ^ ^ →^ ^ 의 관점에서 이 섹션의 결과를 다시 쓰는 것은 연습으
로 남겨둘 것이다. (이 경우, basis 에 관한 T의 행렬이 가능한 한 단순하도록 U의 basis를 선택하는 것이 목표다.) invariant subspace의 중요성을 보기 위해,^ ^ 는^ ^ ^ ×^ ^ 에 속해있고^ ^ 는 A-invariant한^ ^ ^ 의 부분공간이라 하자.^ 의 basis를 (^) ^ ^ ⋯^ 라 잡고 ^ ^ ⋯ 라 하자. 가 A-invariant 하므로 각각의 에 대해 ∈ 를 만족하
^ ^
^ 를 만족시킨다. (여기서 는 × 행렬이다.) 하지만 그러면 ^ ⋯ 이 행렬의
column이므로 우리는 임을 알 수 있다.
이제 (^) ^ ^ ⋯^ 를 ^ 의 basis인 (^) ^ ^ ⋯^ 로 확장하고^ ^ ^ ⋯^ ,^ ^ ^ ^ ^ 라 하자. 그러면
우리는 ^
임을 알고 있다. 각각의 벡터 ,^ ^ ^ ^ ^ ^ ⋯^ 는^ ^ ^ ⋯^ 의
요소들로 표현될 수 있다. 즉, ^ ×^ ^ ^ ^ 행렬^ ^ 가 존재하여^ ^ ^ 를 만족한다.
^ ^ ^ ^ ^ 이다.
독자들은 와 사이의 중요한 차이를 염두해야한다. 가 A-invariant하므로 은 행렬
만으로 표현할 수 있다. 한편, 우리는 sp^ ⋯ 가 A-invariant하다고 하지는 않았으므로 를 표현하기 위해 서는 과 가 모두 필요하다.
이 관계들을 행렬 형식으로 표현하면, ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
(^)
^
우리는 이 결과들로부터 두가지 결론을 내릴 수 있다. 첫째로, 만약 (^) ^ ^ ⋯^ 가 invariant subspace를 span 한다면, (^) 는 전형적인 행렬보다 더 단순할 것이다. (왼쪽아래 항이 0 이기 때문) 둘째로, 만약 ^ sp^ (^) ^ ⋯^ 도
A-invariant 하다면 우리는 ( ^ )임을 알 수 있고,
(^)
는 block diagonal하다. ^ ^
5.1.1 Direct sums 위에서 설명했던 것은 핵심은^ ^ 은 두 invariant subspace들의 direct sum이라는 것이다. 우리는 이미 두 개의 부분공간의
합을 봤다. 만약 와 가 의 두 부분공간이라 하면 ^ ^ ^ ∈ ^ ∈ 도 의 부분 공간이다. (Ex.
Def 225) 벡터 공간 에 대해서 , 를 의 부분공간이라 하자. 가 와 의 direct sum이라는 것은 ∀∈ 가
^ ^ , ∈ , ∈ 로 UNIQUE하게 표현된다는 것이다.
일반적으로 만약 ⋯ 가 의 부분 공간이고 ∈ 가 ⋯ ( ∈ )로 UNIQUE하게
표현될 수 있다면 우리는 를 ^ ⋯ 의 direct sum 이라고 한다.
우리는 이제 ^ 이 부분공간 ^ ⋯ 들의 direct sum 이고 각각의 들이 ∈ ^ ×^ ^ 인 A-invariant한 경우를 생각
해봐야 한다. 의 차원을 , 의 basis가 columns인 × 형태의 행렬을 라 하자. 그러면 는 A-invariant하기 때문
에 × 형태의 행렬 가 존재하여 를 만족한다.
행렬 ^ ^ ⋯ ^ 라 하면.
^ ^ ⋯ ^ ^ ^ ⋯ ^
이다. 또한 는 invertible 하기 때문에 (아래 Thm 226 참고) 결론적으로 (^)
는 대각선 항이 ^ ⋯ 인 block
diagonal 행렬이다.
이 단원의 남은 부분과 5.2단원에서 우리는 ^ 을 주어진 행렬 ∈ ^ ×^ ^ 에 invariant한 부분공간들의 direct sum으로 어
떻게 표현 할 수 있는가를 볼 것이다. 이 방법으로 우리는 block diagonal 행렬 ^ 를 얻을 것이다. 아래에서 정의하듯 가 algebraically closed되있다면 invariant subspace은 generalized eigenspaces라고 한다. 5.3단원과 5.4단원에서 우리는 diagonal block이 가장 간단하도록 generalized eigenspace의 basis를 어떻게 잡는지 보여줄 것이다. 그 전에 우리는 invariant subspace에 대해서 좀 더 논의해볼 것이다. direct sum에 대한 몇 가지 사실을 필요로 한다.
Thm 226) 유한차원 벡터공간 에 대하여, ⋯ 가 의 부분공간이라 하자.
만약 가 ^ ⋯ 의 direct sum 이라면
2. 만약 ^ ⋯^ ^ ( ∈ ) 이면
3. dim ^ ^ dim ^ dim ⋯^ dim
반대로 이 3 가지 조건 중 2 가지가 성립한다면, 는 ⋯ 의 direct sum 이다. (나머지 조건도 성립한다.)
특히 ^ 일 때 두 번째 조건은 ∩ ^ 이다.
Proof) 정리에 많은 결과들이 포함되어 있기 때문에 보조정리들을 먼저 증명하는 것이 도움이 된다.
우리에게는 유한차원 벡터공간 와 의 부분공간 ⋯ 가 주어져 있다. 각 부분공간 들의 basis를
(^) ^ ⋯ ^ 라 하자. ∪ ⋯ ∪ 라 정의하면 다음을 증명할 수 있다.
(a) 는 를 span 한다. ⇔ ⋯ .
⇐ ⋯ 를 가정하고 ∈ 라 하자. 그럼 ∃ ∈ ^ ^ ^ ⋯ ^ ^ ⋯^ .각 들은
안의 벡터들의 L.C.로 표현될 수 있으므로 ^ ⋯ ^ 들의 합 또한 안의 벡터들의 L.C.로 표현이 가능하다.
따라서 는 를 span한다.
⇒ 가 를 span한다고 가정하고 ∈ 라 하자. 가 를 span하기 때문에 어떤 스칼라 ^ ^ 가
^ ⋯ 의 direct sum이다. (세 번째 보조정리)
(2, 3) (5.1)이 성립하고 dim dim dim ⋯ dim 이면, 는 L.I. 이다. (두 번째 보조정
리) 그리고 안에 있는 벡터들의 숫자와 의 차원이 같다. 즉 가 의 basis이다. 따라서 가
⋯ 의 direct sum이다. (세 번째 보조정리) 5.1.2 Eigenspaces and generalized eigenspaces 이제 ∈ × 이 대각화 가능하다고 가정하고 의 서로 다른 고유값들을 ^ ^ ⋯ ^ t 라 하자. 우리는 dim^ 라 정의하고 각각의 eigenspace 에 대해 basis (^) (^) ⋯^ 를^ 잡자.^ 그럼^ 4.6^ 장의 Cor 194 에 의해 ^ (^) ⋯ (^) (^) (^) ⋯ (^) (^) ⋯ (^) ⋯ (^) 는^ L.I.^ 이다.^ 또한^ 는^ ^ 의 basis여 야 한다. 가정에 의해 의 고유벡터들로 구성된 의 basis가 존재하고 는 L.I.인 고유벡터들의 최댓값을 포함하고 있다. 이 것은 이 A-invariant한 eigenspace ⋯ 의 direct sum이라는 것이다. 이제 ^ ⋯ ,^ ^ ^ ^ ^ ^ ⋯^ ^ ^ 와^ ^ ^ ^ ^ ^ ⋯^ ^ ^ 를^ 정의하자.^ 의^ column들이^ 에 대응되는 의 eigenvector이기 때문에 ^ ^ ( 는 × 인 항등행렬) 이다. 그러면
⋱
이 의 eigenspace인 invariant subspace들의 direct sum 이다. 이 경우에 는 block diagonal matrix와 similar 하고 각각의 diagonal block은 diagonal matrix이다. 결과적으로 자신은 대각화가능하 다. 가 대갂화
