LinearAlgebra DataScience2, Lecture notes of Computer Vision

Download LinearAlgebra DataScience2 and more Lecture notes Computer Vision in PDF only on Docsity!

MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

Nguyễn Mạnh Hùng

AI Academy Vietnam

September, 2020

Nội dung

(^1) Ma trận

(^2) Các phép toán trên ma trận

(^3) Hệ thống gợi ý - Bài toán phân tích ma trận

4 Thực hành trên NumPy

Ma trận

Khái niệm

Ma trận có thể sử dụng để mô tả dữ liệu dạng bảng:

Ảnh xám: mỗi pixel được mô tả bởi 1

số thuộc [0,255] ⇒ mỗi ảnh xám gồm

m × n pixel là một ma trận kích thước

m × n.

Dữ liệu về lượng mưa: ma trận A kích thước m × n ghi lượng mưa tại

m địa điểm khác nhau trong n ngày liên tiếp.

Lợi nhuận đầu tư: ma trận R kích thước T × n ghi lợi nhuận của một

danh mục đầu tư gồm n tài sản trong khoảng thời gian T.

Ma trận

Một số ma trận đặc biệt

Ma trận vuông (square matrix): Nếu số hàng và số cột của ma trận

đều bằng n, ta gọi là ma trận là vuông cấp n. Ví dụ:

A =

là ma trận vuông cấp 3.

Giả sử A = (aij )n×n là một ma trận vuông cấp n. Dãy số:

(a 11 , a 22 ,... , ann)

được gọi là đường chéo (diagonal) của ma trận. Tổng tất cả các

phần tử thuộc đường chéo được gọi là "vết" của ma trận:

trace(A) = a 11 + a 22 + · · · + ann

Ma trận

Một số ma trận đặc biệt

Ma trận đường chéo (diagonal matrix): là ma trận vuông, có các

phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0:

L =

λ 1 0 · · · 0

0 λ 2 · · · 0

· · · · · ·

.. . (^) · · ·

0 0 · · · λn

Ma trận đơn vị (identity matrix): là ma trận vuông, các phần tử

nằm trên đường chéo bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Ví dụ:

I 3 =

Ma trận không (zero matrix): có các phần tử đều bằng 0. Ví dụ:

θ 2 × 3 =

Các phép toán trên ma trận

Các phép toán

Hai ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước

và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau. Kí hiệu: A = B

Chuyển vị ma trận (transpose)

Cho ma trận A = (aij )m×n kích thước m × n. Chuyển vị của ma trận A là

ma trận A

T = (a

′ ij )n×m^ sao cho^ a

′ ij =^ aji^.

Ví dụ:

Bằng nhau: ( 9 x

y 5

x = 4

y = 6

Chuyển vị: 

T

Các phép toán trên ma trận

Các phép toán

Nhân một số với ma trận (scalar multiplication)

Tích của một số λ với ma trận A = (aij )m×n là một ma trận

C = (cij )m×n, trong đó các phần tử được xác định bởi:

cij = λ aij với i = 1 , 2 ,... , m; j = 1 , 2 ,... , n

Kí hiệu tích là λ A.

Ví dụ: Tính tích

Các phép toán trên ma trận

Các phép toán

Nhân ma trận với ma trận (matrix multiplication)

Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )n×p. Tích AB của hai ma trận

là một ma trận C = (cij )m×p , trong đó các phần tử được xác định bởi:

cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj

với i = 1 , 2 ,... , m; j = 1 , 2 ,... , p.

Lũy thừa của ma trận (power of a matrix)

Cho A là một ma trận vuông cấp n và một số nguyên dương k, lũy thừa

A

k là tích của k ma trận A với nhau:

A

k = A · · · A ︸ ︷︷ ︸

k lần

Các phép toán trên ma trận

Các phép toán

Tính chất: A, B, C là các ma trận, α, β là các số

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C )

A + θ = θ + A = A

(A + B)

T = A

T

• B

T

α(βA) = (αβ)A

(α + β)A = αA + βA

α(A + B) = αA + αB

(αA)

T = αA

T

Nói chung, AB 6 = BA

(AB)C = A(BC )

A(B + C ) = AB + AC

(B + C )A = BA + CA

α(AB) = (αA)B = A(αB)

ImA = AIn = A

(AB)

T = B

T A

T

Các phép toán trên ma trận

Định thức (determinant)

Định nghĩa

Cho A là một ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số, kí hiệu

detA hoặc |A|, được xác định như sau:

Định thức cấp 2:

a 11 a 12

a 21 a 22

= a 11 a 22 − a 12 a 21

Định thức cấp n > 2: detA = a 11 A 11 + a 12 A 12 + · · · + a 1 nA 1 n,

trong đó Aij = (− 1 )

i+j Mij , phần bù đại số (cofactor) của aij , với Mij

là định thức của ma trận thu được từ A sau khi xóa hàng i và cột j.

Ví dụ: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 4 − 2

3 2 1

− 6 0 3

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

= 1 (− 1 )

1 + 1

∣ ∣ ∣ ∣

2 1

0 3

∣ ∣ ∣ ∣

• 4 (− 1 )

1 + 2

∣ ∣ ∣ ∣

3 1

− 6 3

∣ ∣ ∣ ∣

• (− 2 )(− 1 )

1 + 3

∣ ∣ ∣ ∣

3 2

− 6 0

∣ ∣ ∣ ∣

= 1 ( 6 − 0 ) − 4 ( 9 + 6 ) − 2 ( 0 + 12 ) = − 78

Các phép toán trên ma trận

Hạng của ma trận

Ma trận dạng bậc thang (echelon form)

Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu có các tính chất sau đây:

Các hàng khác 0 nằm trên các hàng bằng 0.

Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng lệch về bên phải so với phần

tử khác 0 của các hàng nằm trên nó.

Ví dụ: các ma trận sau có dạng bậc thang



Các phép toán trên ma trận

Hạng của ma trận

Phương pháp khử Gauss:

Hệ thống gợi ý - Bài toán phân tích ma trận

Ma trận utility

Trong một hệ thống gợi ý, người ta quan tâm đến 3 thông tin chính

là item, user, và rating (đánh giá) của user về item. Giá trị rating

phản ánh mức độ quan tâm của user đối với item.

Ma trận utility: biểu diễn các thông tin về item, user, và rating.

item 1 item 2 item 3 item 4 item 5 item 6

user 1 4 5 1? 2 1

user 2? 4? 3? 2

user 3 3? 1? 3?

user 4 2?? 4? 1

user 5 5? 3 4 3?

Các ô màu xanh không có đánh giá của user về item. Hệ thống gợi ý

cần phải tự điền các giá trị này.

Hệ thống gợi ý - Bài toán phân tích ma trận

Bài toán phân tích ma trận

Kĩ thuật phân tích ma trận (Matrix Factorization - MF) có thể được sử

dụng để điền các giá trị còn thiếu vào ma trận utility:

Phân tích ma trận utility X thành hai ma trận có kích thước nhỏ hơn

là W và H sao cho tích ma trận W H

T xấp xỉ X với độ chính xác cao:

Ma trận W mô tả K thuộc tính ẩn (latent factor) của các user và ma

trận H mô tả K thuộc tính ẩn của các item.