Download Solution of a Quadratic Function: Finding the Roots and Intersections and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 1
TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN
Fanpage: Tài liệu KYS Group: Kyser ôn thi THPT
CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I – LÝ THUYẾT
1. Các kiến thức cũ liên quan
1.1 Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản
1. c 0
- x ' 1
1
n n
x n x n n
1
n n
u n u u n n
x x
x
u
u u
u
2
, x 0
x x
2
u
u
u u
k x. k
k u. k u.
cos x sin x
cos u u sin u
sin x cos x
sin u u .cos u
2
tan
cos
x
x
2
tan
cos
u
u
u
2
cot
sin
x
x
2
cot
sin
u
u
u
2
ax b ad bc
cx d
cx d
2
1 1 1
2
2 2 2
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2
2
2 2 2
a x b x c
a x b x c
a b a b x a c a c x b c b c
a x b x c
2 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
1.2 Quy tắc tı́nh đạo hàm
Cho các hàm số
u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
u v u v
u - v = u - v
u v. u v v u
2 2
u u v v u 1 v
v v v v
Mở rộng: 1.
1 2 1 2
n n
u u u u u u
u v. .w u v. .w u v. .w u v. .w
Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số
y f u x f u với
u u x. Khi đó:.
x u x
y y u
1.3 Quy tắc xét dấu :
Để lập bảng xét dấu của một biểu thức P x ( )
ta thực hiện theo các bước :
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P x ( )
, hoặc giá trị của x làm biểu thức P x ( )
không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P x ( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Định nghı̃a:
Cho hàm số y f x ( )xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y f x ( )đồng biến (tăng) trên K nếu
1 2 1 2 1 2
x , x K x , x f x f x.
- Hàm số y f x ( )nghịch biến (giảm) trên K nếu
1 2 1 2 1 2
x , x K x , x f x f x.
3. Định lý:
3.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x ( )có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì
f x 0, x K
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì
f x 0, x K
3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x ( )có đạo hàm trên khoảng K.
f x 0, x K
thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
f x 0, x K
thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
f x 0, x K
thì hàm số không đổi trên khoảng
K
Chú ý.
Nếu
K
là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f x ( )
liên tục
trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f x ( )liên tục trên đoạn a b ;
và
có đạo hàm
f x 0, x K
trên khoảng
a b ; thì hàm số đồng biến trên đoạn a b ;
4 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên:
( )
và
( )
Ví dụ 3. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số:
4 2
y = x − 6 x + 8 x + 1.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên D = .
Tı́nh ( ) ( )
2
3
y 4 x 12 x 8 0 4 x 1 x 2
− + = = − +. Cho ( ) ( )
2
x
y x x
x
Bảng biến thiên :
x
−∞
y ' − 0 + 0 +
y
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên ( −∞ −; 2 )
Ví dụ 4. Tìm khoảng đồng biến của hàm số:
4
y = x + 4 x + 6.
A. ( 1;− +∞) B. ( −∞;0) C. ( 2;− +∞) D. ( −∞ −; 1)
Lời giải
Tập xác định: D = .
Tı́nh:
3
y 4 x 4
+. Cho
3
y 0 4 x 4 0 x 1
Bảng biến thiên:
x
y
y
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên ( )
Ví dụ 5. Tìm khoảng đồng biến của hàm số:
3 2
y = − x + 6 x − 9 x + 4.
A. (0;3) B. (1;3) C. ( −∞;0) D. (2; +∞)
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên D = .
x −∞ − 2 0 2 +∞
y '
y
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 5
Tı́nh
2
y ′ = − 3 x + 12 x − 9
. Cho
2
x
y x x
x
Bảng biến thiên:
x
y
y
Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên ( )
Ví dụ 6. Cho hàm số:
3 2
y = f ( ) x = x + 3 x + 3 x + 2. Hãy chọn câu đúng :
A. Hàm số f ( ) x nghịch biến trên
B. Hàm số f ( ) x đồng biến trên
C. Hàm số f ( ) x không đổi trên
D. Hàm số f ( ) x nghịch biến trên ( −∞ −; 1)
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên D = .
Tı̀m
2
y ′ = 3 x + 6 x + 3
. Cho
2
y ′ = 0 ⇔ 3 x + 6 x + 3 = 0 ⇔ x = − 1
Bảng biến thiên:
x
y
y
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên D = . Chọn B
Ví dụ 7. Tìm khoảng đồng biến của hàm số:
2
y = x − 2 x.
A. (0; +∞) B. (2; +∞) C. ( −∞;0) D. (0; 2)
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi:
2
x
x x
x
Tập xác định: D = ( −∞;0 ] ∪ [ 2;+∞).
Ta có: ( ) ( )
2
x
y x
x x
. Hàm số không có đạo hàm tại: x = 0; x = 2.
Cho
2
x
y x x
x x
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 7
Ví dụ 10. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số:
2
2 1
2
x x
y
x
− + −
=
A. ( −∞ −; 5) và (1; +∞) B. ( 5;− −2)
C. ( −∞ −; 2) và ( 2;− +∞) D. ( 2;1)−
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên: { }
D = \ − 2.
Ta có:
( )
2
2
, D
x x
y x
x
Cho
( )
2
2
2
x x x
y x x
x x
Bảng biến thiên
x −∞
y
y
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: ( −∞ −; 5 )và (1; +∞)
8 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
DẠNG TOÁN 2: ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG K
a) Phương pháp giải
Phương pháp tự luận thuần túy
Lý thuyết cần nhớ : Cho hàm số y f x m ( , )có tập xác định D , khoảng ( ; ) a b D :
Hàm số nghịch biến trên ( ; ) a b y 0, x ( ; ) a b
Hàm số đồng biến trên ( ; ) a b y 0, x ( ; ) a b
Ghi nhớ :
f x 0
chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.
Chú ý: Riêng hàm số
1 1
a x b
y
cx d
thì:
Hàm số nghịch biến trên ( ; ) a b y 0, x ( ; ) a b
Hàm số đồng biến trên ( ; ) a b y 0, x ( ; ) a b
Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng ( ; ) a b :
Bước 1 : Đưa bất phương trình f ( ) x 0
( hoặc f ( ) x 0
), x ( ; ) a b về dạng
g x ( ) h m ( )(hoặc g x ( ) h m ( )), x ( ; ) a b.
Bước 2 : Lập bảng biến thiên của hàm số g x ( ) trên ( ; ) a b.
Bước 3 : Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của
tham số m.
Dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức
2
g x ( ) ax bx c ( a 0)
a)
a
g x x
b)
a
g x x
c)
a
g x x
d)
a
g x x
Lưu ý: Điều kiện tương đương vẫn giữ nguyên nếu thay x
bởi
bớt đi một số hữu hạn điểm
Phương trình
2
f x ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm
1 2
x , x thỏa:
a)
1 2
x 0 x P 0 b)
1 2
x 0 x P 0
c)
1 2
0
0 0
0
x x P
S
d)
1 2
0
0 0
0
x x P
S
e)
1 2
1 2
0 0
0 0
x x
x x P
Trong đó :
1 2 1 2
b c
S x x P x x
a a
10 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
- Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. m t mà
t 0;
vậy
m 0;.
Ví dụ 3. Với giá trị nào của tham số m
thì hàm số y sin x cos x 2017 2 mx đồng biến trên
R
A. m 2017 B. m 0 C.
m D.
m
Lời giải
Tính đạo hàm y ' cos x sin x 2017 2 m.
sin cos
x x
y m f x
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
2 2 2
2 2
sin x cos x 1 1 sin x cos x 2
2 sin x cos x 2
f x
f x đạt giá trị lớn nhất là
max
m f
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số
3 2
y x 3 x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.
A. m 0 B. m 3 C. m 2 D. m 3
Lời giải
Giải theo tự luận
Tính
3 2
y ' 3 x 6 x m. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có đ ộ dài bằng 2 thì phương
trình đạo hàm có 2 nghiệm
1 2
x , x và
1 2
x x 2
Theo Vi-et ta có
1 2
1 2
x x
m
x x
Giải
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x 2 x x 4 x x 4 x x 4
m
m
Giải theo trắc nghiệm
3 2
y ' 3 x 6 x m
Ghi nhớ: “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng thì phương trình đạo hàm
có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng ”
Với là một số xác định thì m cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng Đáp số
phải là A hoặc C.
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 11
- Với m 0 phương trình đạo hàm
2
3 x 6 x 0 có hai nghiệm phân biệt
x
x
và
khoảng cách giữa chúng bằng 2
Đáp án A chính xác
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực m để
3 2
f x x 3 x m 1 x 2 m 3 đồng biến trên
một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
A. m 0. B. m 0. C.
m . D.
m .
Lời giải
Ta có
2
f x 3 x 6 x m 1
Hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi
f x 0
có hai
nghiệm phân biệt
1 2
x , x
1 2
x x thỏa mãn
2 1
x x 1.
f x 0
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x 0
3 m 6 0 m 2.
Theo Viet ta có:
1 2
1 2
x x
m
x x
2
2 1 1 2 1 2
x x x x x x m m
So điều kiện ta được:
m . Chọn D
Ví dụ 6. Tı̀m tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
3 2
y 2 x 3 2 m 1 x 6 m m 1 x 1
đồng biến trên khoảng
A.
m 1
. B. m 1. C. m 2
. D.
m 1
Lời giải
TXĐ D R
Ta có
2
y ' 6 x 6 2 m 1 x 6 m m 1
+ TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R
y ' 0, x R
2
1 0 (L)
m m m
+ TH2: Phương trı̀nh y 0
có hai nghiệm phân biệt thỏa
1 2 1 2
x x 2 x 2 x 2 0
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 13
1 2
1 2 1 2
x x m
x x x x m m m
m R
m m
m
. Chọn B
Ví dụ 9. Tìm m để hàm số
3 2
y 2 x 3 m 1 x 6 m 2 x 3 nghịch biến trên một khoảng
có độ dài lớn hơn 3.
A. m 6. B.
m 0;6. C. m 0. D. m 0 ; m 6.
Lời giải
Tập xác định: D . Ta có:
2
y ' 6 x 6 m 1 x 6 m 2
x
y
x m
. Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3
y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x sao cho
1 2
x x 3 1
m m m
m m m
. Chọn D
Ví dụ 10. Tı̀m tất cả các giá trị m để hàm số
2
3
mx
y x x đồng biến trên
A. 2 2 m 2 2. B. m 2 2.
C. 2 2 m. D. 2 2 m 2 2.
Lời giải
Phương pháp: + Để hàm số
y f x đồng biến trên R khi x liên tục trên R thı̀ y ' 0 với
mọi x.
2 2
y ' x mx 2 0 m 8 0 2 2 x 2 2.
14 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải :
Dạng 3.1: Tìm tập nghiệm của phương trình
Bước 1: Đưa phương trình về dạng f u ( ) f v ( ), (1)
Bước 2: Xét hàm số : y f t ( ). Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra : u v
VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Cho phương trình
2
4 x 1 4 x 1 1
có nghiệm duy nhất có dạng
b
a
, trong đó
a b ,
b
a
là phân số tối giản. Hãy tính giá trị của
2 3
S a b
A.
S 1
B.
S 2
C.
S 3
D.
S 4
Lời giải
Điều kiện:
2
x
x
x
Xét hàm số
2
y f x ( ) 4 x 1 4 x 1
Tập xác định :
D
Đạo hàm
2
x
y x
x x
Suy ra hàm số đồng biến trên
Do đó: phương trình
2
x x f x f
x .
2 3
S = 2 − 1 = 3
Ví dụ 2. Gọi S là tập nghiệm của phương trı̀nh:
3 2
2 x x 3 x 1 2 3 x 1 3 x 1. Số tập
con khác rỗng của S là :
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Điều kiện:
x .
Ta có:
3 2
3 2
1 2 x x 1 2 3 x 1 3 x 1 1 f x f 3 x 1
(có được bằng cách chuyển − 3 x + 1
qua vế phải, sau đó cộng cả 2 vế cho 1)
Xét hàm số
3 2
f t 2 t t 1 liên tục trên khoảng
Ta có:
2
f t 6 t 2 t 0, t 0;
Hàm số
f t đồng biến trên
16 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
Do đó hàm số đồng biến trên 2; 4
, bpt f x ( ) f (1) 2 3 x 1.
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1; 4] a b 5.Chọn C
Ví dụ 3. Bất phương trình
2 2
x 2 x 3 x 6 x 11 3 x x 1 có tập nghiệm
a b ;
. Hỏi hiệu b a có giá trị là bao nhiêu?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 1.
Lời giải
Điều kiện: 1 x 3 ; bpt
2 2
x 1 2 x 1 3 x 2 3 x
Xét
2
f t ( ) t 2 t với t 0. Có
2
t
f t t
t t
Do đó hàm số đồng biến trên [0; ). (1) f x ( 1) f (3 x ) x 1 3 x 2
So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2; 3] b a 1. Chọn A
Dạng 3.3 Tìm m để phương trình có nghiệm
Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x ( ) A m ( ).
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x ( ) trên D.
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A m ( )để đường thẳng y A m ( )
nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x ( ).
Bước 4: Kết luận các giá trị của m để phương trı̀nh f x ( ) A m ( )có nghiệm (hoặc có k
nghiệm) trên D.
Lưu ý
o Nếu hàm số y f x ( )có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thı̀ giá trị A m ( )cần
tı̀m là những m thỏa mãn: min ( ) ( ) max ( ).
x D x D
f x A m f x
o Nếu bài toán yêu cầu tı̀m tham số để phương trı̀nh có k nghiệm phân biệt, ta chı̉ cần
dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y A m ( )nằm ngang cắt đồ
thị hàm số y f x ( )tại k điểm phân biệt.
VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Phương trình ( ) ( )
2
3 2
x + x x + 1 = m x + 1 có nghiệm thực khi và chỉ khi:
A.
− ≤ m ≤ −. B. − 1 ≤ m ≤ 3. C. m ≥ 3. D.
− ≤ m ≤
Lời giải
Ta có ( ) ( )
3 2
2
3 2
4 2
x x x
x x x m x m
x x
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 17
Xét hàm số
3 2
4 2
x x x
y
x x
xác định trên .
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
3 2 4 2 3 2 4 2
2
4 2
2 4 2 3 2 3
2
4 2
6 5 4 2
2
4 2
4 2
2
4 2
x x x x x x x x x x
y
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x
x x
( )( )
4 2
x
y x x x
x
Bảng biến thiên
Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
3 2
4 2
x x x
y
x x
m
⇔ ≤ ≤. Chọn D
Dạng 3.4: Tìm m để bất phương trình có nghiệm với mọi x trên tập D.
Bước 1 : Tách tham số m ra khỏi biến số x và đưa về dạng A m ( ) f x ( )hoặc A m ( ) f x ( ).
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x ( ) trên D.
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trı̀nh có
nghiệm:
A m ( ) f x ( )có nghiệm trên ( ) max ( ).
x D
D A m f x
A m ( ) f x ( )có nghiệm trên ( ) min ( ).
x D
D A m f x
Lưu ý
o Bất phương trı̀nh
A m ( ) f x ( )
nghiệm đúng ( ) min ( ).
x D
x D A m f x
o Bất phương trı̀nh
A m ( ) f x ( )
nghiệm đúng
( ) max ( ).
x D
x D A m f x
Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng 19
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:
3
3
x 3 mx 2
x
nghiệm đúng x 1?
A.
m . B.
m . C.
m . D.
m
Lời giải
Bpt
3 2
3 4
3 mx x 2, x 1 3 m x f x , x 1
x x x
Ta có
5 2 5 2 2
f x 2 x 2 2 x 0
x x x x x
suy ra
f x tăng.
Ycbt
1
3 , 1 min 1 2 3
x
f x m x f x f m m
. Chọn A
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để:
2 2
x 2 x 3 8 2 x x m ( ) có
nghiệm:
A. m 1 B. m 2 C. m 3 D. m 10
Lời giải
Điều kiện:
x
x
Đặt
2
t x 2 x t ' 2 x 2 0 x 1.
Bảng biến thiên
x
t
t
Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị của t là t 3; 8
( ) m t 3 8 t , (1)và đặt f t ( ) t 3 8 t.
Để ( ) có nghiệm (1)có nghiệm
3;
t 3; 8 m max f t ( ).
Xét hàm số f t ( ) t 3 8 t trên 3; 8
có:
f t
t t
Cho
f t t f f f
nên
3;
max f t 10 m 10.
Vậy
m ; 10 sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A
20 Chương 1. Hàm số và ứng dụng Tự học điểm 9l
Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I- Kiến thức cơ bản.
1. Định nghĩa
Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f ( ) x xác định trên tập hợp D
( )
D ⊂ R và
o
x ∈ D.
o
x được gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f ( ) x nếu tồn tại một khoảng
( )
a ; b chứa
điểm
o
x sao cho ( )
a ; b ⊂ D và
( ) { }
o o
f ( ) x < f ( x ) ∀ ∈ x a ; b \ x.
Khi đó ( )
o
f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( ) x.
o
x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( ) x nếu tồn tại một khoảng
( )
a ; b chứa
điểm
o
x sao cho ( )
a ; b ⊂ D và
( ) { }
o o
f ( ) x > f ( x ) ∀ ∈ x a ; b \ x.
Khi đó ( )
o
f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
f ( ) x
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số y = f ( ) x đạt cực trị tại điểm
o
x. Khi đó, nếu f ( ) x có đạo hàm tại
điểm
o
x thì ( )
o
f x 0
Chú ý:
o
f x
có thể bằng 0 tại điểm
o
x nhưng hàm số f ( ) x không đạt cực trị tại điểm
o
x
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một số điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm nằm trong tập xác định của hàm mà tại đó đạo
hàm của hàm số bằng 0 hoặc không có đạo hàm. Những điểm như thế gọi là những “điểm tới
hạn”.
o
x và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm ( ) ( )
o o
x ; f x thì tiếp
tuyến đó song song với trục hoành.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lý 2: Giả sử hàm số y = f ( ) x liên tục trên khoảng
( )
a ; b chứa điểm
o
x và có đạo hàm
trên các khoảng ( )
o
a ; x và ( )
o
x ; b. Khi đó,
( ) ( )
( ) ( )
o o
o o
f x x a x
f x x x b
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
o
x.
Nói một cách khác, nếu ( )
o
f x
đổi dấu từ âm sang dương khi x qua
o
x thì hàm số đạt cực tiểu tại
o
x.
