Download math formulas for exam and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity!
Subiectul I.
PROGRESII
ARITMETICE GEOMETRICE
Notații
Exemplu
Definiție (Formula de recurență)
Rația unei progresii
CELE MAI UTILIZATE FORMULE
Formula termenului general
Suma primilor n termeni ai progresiei
Condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi ai unei progresii
LOGARITMI
Definiție
Condițiile de existență ale logaritmului
Logaritmul zecimal Logaritmul natural
Proprietăți ale logaritmilor
Formule de schimbare a bazei logaritmului
Monotonia funcției logaritmice
I. Dacă ( )
II. Dacă ( )
Monotonia funcției exponențiale
I. Dacă
II. Dacă ( )
NUMERE COMPLEXE
- forma algebrică
Definiție
Notații
a = partea reală a numărului complex z
a = Re(z) – realul lui z
bi = partea imaginară a numărului complex z
b = Im(z) – imaginarul lui z
i = unitate imaginară
Proprietăți
Egalitatea a două numere complexe
Conjugatul lui z Modulul lui z
Proprietăți (cele mai utilizate)
| |
| |
Raportul a două numere complexe
= se calculează prin amplificarea lui (raportului) cu conjugatul numitorului
( )
( )
Puterile lui i
Rezolvarea în a ecuației de grad II cu coeficienți reali
FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT
PARTEA ÎNTREAGĂ ȘI PARTEA FRACTIONARĂ
A UNUI NUMĂR REAL
Partea întreagă a unui număr real x
Notație Definiție
[ ]
[ ]
[ ]
Partea fracționară a numărului real x
Notație Definiție
{ } { } [ ]
Proprietăți
1. [ ] 3. { } [ )
2. [ ] [ ] 4. { } { }
5. [ ] { }
MODULUL UNUI NUMĂR REAL
Definiție
Proprietăți
FUNCȚII – definiții și proprietăți
Funcții pare. Funcții impare
Funcții periodice
este periodică cu perioada T dacă
Cea mai mică perioadă nenulă pozitivă (dacă există) s.n. perioadă principală
Imaginea unei funcții (mulțimea de valori a funcției)
{ | ( ) } sau ( ) { ( )| }
Funcții injective – definiții
( ) ( ) [ ]
2. ( ) ( ) [ ]
3. f este strict monotonă (Analiză matematică)
Obs. ( ) ( )
Funcții surjective – definiții
1. [ ( ) ] [ ( ) ]
2.
Funcții bijective – definiții
1. f este injectivă și surjectivă
[ ( )
] [ ( )
]
Funcții inversabile
f este bijectivă
Inversa unei funcții
Funcții monotone
este monoton crescătoare dacă ( ) ( )
este monoton descrescătoare dacă ( ) ( )
este strict crescătoare dacă ( ) ( )
este strict descrescătoare dacă
FUNCȚIA DE GRADUL I
Forma generală a funcției
Monotonia funcției
1. Dacă atunci f este strict descrescătoare 2. Dacă atunci f este strict crescătoare
Semnul funcției
Se rezolvă ecuația
semn contrar a 0 semn a
Graficul funcției de gradul al doilea
Se numește parabolă. Parabola are un punct de extrem, numit vârf și notat cu V.
Coordonatele vârfului : ( )
Dacă
funcția admite maxim (V este punct de maxim )
valoarea maximă a funcției sau maximul funcției este
Dacă
funcția admite minim (V este punct de minim )
valoarea minimă a funcției sau minimul funcției este
Ecuația axei de simetrie a parabolei este:
Poziția parabolei (graficului funcției de grad II) față de axa Ox
( )
( ( ) ( ))
Monotonia și imaginea funcției de gradul al doilea
Se calculează coordonatele vârfului ( )
Dacă este punct de maxim
max
( ]
( ] [ )
Dacă este punct de minim
min
[ )
( ] [ )
Subiectul I.
ECUAȚII
Ecuații iraționale
- Se pun condiții de existență
Eliminarea radicalului (prin ridicarea la putere) și rezolvarea ecuației obținute
Verificarea soluției
Ecuații exponențiale
( ) ( )
( )
Cu ajutorul notațiilor și a proprietăților puterilor
Ecuații logaritmice
3. Cu ajutorul notațiilor
Subiectul I.
METODE DE NUMĂRARE
Permutări = numără câte mulțimi ordonate se pot forma cu n elemente distincte
Aranjamente = numără câte submulțimi ordonate de k elemente se pot forma cu n elemente distincte
Combinări = numără câte submulțimi de k elemente se pot forma cu n elemente distincte
Binomul lui Newton
Formula termenului general
Suma coeficienților binomiali
Suma coeficienților binomiali de rang par Suma coeficienților binomiali de rang impar
Formule de numărare
Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este
Numărul funcțiilor este
Numărul funcțiilor bijective este ( )
Ne amintim! Card A = numărul de elemente al mulțimii A
PROBABILITĂȚI
MATEMATICI FINANCIARE
Procente
Scumpirea prețului unui produs Reducerea prețului unui produs
Datele
problemei
x = prețul inițial al produsului
p = procentul cu care se scumpește
= prețul după scumpire
x = prețul inițial al produsului
p = procentul cu care se reduce
= prețul după reducere
Formulă
T.V.A. = taxa pe valoarea adăugată
Datele
problemei
x = prețul inițial (de producție) al produsului
p = procentul T.V.A.
= prețul de vânzare al produsului
Formule
Dobânda simplă
Datele
problemei
D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei)
S = suma depusă inițial la bancă (in lei)
r = rata dobânzii (%)
n = perioada de timp (în ani)
= suma obținută după perioada de timp (în lei)
Formule
Dobânda compusă
Datele
problemei
D = dobânda obținută la finalul perioadei de timp (în lei)
S = suma depusă inițial la bancă (in lei)
r = rata dobânzii (%)
n = perioada de timp (în ani)
= suma obținută după perioada de timp (în lei)
Formule
[( ) ]
V. Pozițiile relative a două drepte
SAU
drepte concurente
Observație! Coordonatele punctului de intersecție a două drepte reprezintă soluția sistemul
format din ecuațiile celor două drepte.
VI. Aria unui triunghi
Datele problemei Formulă
VII. Coliniaritatea a trei puncte distincte în plan
Datele problemei Formulă
VIII. Distanța de la un punct la o dreaptă
Datele problemei Formulă
Coordonatele punctului
Ecuația generală a dreptei
Aplicație!
Determinarea lungimii unei înălțimi
IX. Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
Datele problemei Formulă
Să ne amintim!
Centrul de greutate al unui (G) reprezintă punctul
de intersecție al medianelor unui.
VECTORI
Definiții și notații
Vector = mărime fizică, caracterizată prin direcție, sens, lungime
Doi vectori au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.
Doi vectori au același sens dacă extremitățile lor sunt de aceeași parte a dreptei determinată
de originile vectorilor.
Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și același sens.
Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție, lungime și sensuri opuse. Notăm: ⃗.
Vectorul nul este vectorul cu lungime 0. Notăm:
Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție.
Adunarea vectorilor necoliniari
Regula triunghiului Regula paralelogramului
Vectorul de poziției al mijlocului unui segment
Vectori în reper cartezian
Produsul scalar
B C
A D
B
A
C
Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice
Mărginirea
Paritatea
Observație! cos este funcției pară, sin, tg, ctg funcții impare
Periodicitatea
( ) ( )
Formule trigonometrice
Formula fundamentală a trigonometriei
Transformarea unor sume în produs
Funcții trigonometrice inverse
[ ]
[ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
[ ] [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
