math vector fpt university, Summaries of Mathematics

Download math vector fpt university and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!

Giải tích II

Eastern International University 2025

Nguyễn Văn Tiến

FPTU Ho Chi Minh

May 2025

Outline

1 Đường cong trong không gian và tiếp tuyến

2 Tích phân của hàm vector

3 Độ dài đường cong trong không gian

Đồ thị hàm vector

Đường cong trong mặt phẳng và đường cong trong không gian.

Ví dụ 1. Đường xoắn ốc

Hãy vẽ đồ thị hàm vector sau đây: r(t) = (cost)i + (sint)j + tk.

Ta có:

x^2 + y 2 = (cos t)^2 + (sin t)^2 = 1

Xoay xung quanh mặt trụ x^2 + y 2 = 1

Vẽ đồ thị hàm vector: Geogebra

Bài tập 1a

Chọn đồ thị phù hợp nhất với các hàm vector sau đây.

Bài tập 1b

Chọn đồ thị phù hợp nhất với các hàm vector sau đây.

Ví dụ

Xét hàm r(t) = (cos t)i + (sin t)j + tk Ta có:

lim t→π/ 4

r(t) = [ lim t→π/ 4

cos t]i + [ lim t→π/ 4

sin t]j + [ lim t→π/ 4

t]k

lim t→π/ 4

r(t) =

i +

j +

π

4

k

Bài tập 2.

Đồ thị hàm vector liên tục

Các hàm dưới đây đều liên tục trên miền xác định.

Đạo hàm của hàm vector

Định nghĩa

Cho r(t) là hàm vector xác định trên khoảng I chứa điểm t 0. Đạo hàm của

hàm vector r(t) là hàm vector r′(t) được xác định bởi giới hạn:

r

′ (t) := lim ∆t→ 0

∆r

∆t

= lim ∆t→ 0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t

nếu giới hạn này tồn tại.

Chú ý.

Theo ký hiệu Leibnitz thì đạo hàm của r được ký hiệu là:

dr

dt

Hàm r(t) khả vi tại t = t 0 nếu r′(t 0 ) xác định.

Hàm r(t) khả vi trên khoảng I khi nó khả vi tại mọi điểm t ∈ I

Ứng dụng

Vận tốc, tốc độ, gia tốc

Giả sử một chất điểm di chuyển dọc theo một đường cong trơn C có phương trình được biểu diễn bởi hàm vector r(t) với t ∈ I.

Khi này, ta định nghĩa:

Vector vận tốc tại thời điểm t: v(t) := r′(t)

Vector gia tốc tại thời điểm t: v(t) := v′(t) := r”(t)

Tốc độ tại thời điểm t: v(t) := r′(t)

Hướng di chuyển đơn vị tại thời điểm t:

v(t)

v(t)

với v (t) ̸= 0.

Ví dụ

Tìm vận tốc, gia tốc và tốc độ của một chất điểm có chuyển động trong

không gian cho bởi hàm vị trí sau:

r(t) = ( 2 cos t)i + ( 2 sin t)j + ( 5 cos^2 t)k

Hãy vẽ minh họa vector vận tốc v(

7 π

4

Ví dụ

Quy tắc đạo hàm với hàm vector

Giả sử r(t) và u(t) là hai hàm vector khả vi theo t. Giả sử w (t) là hàm số thực khả vi theo t. Ta có các quy tắc sau:

a)

d

dt

r(t) ± u(t)

= r′(t) ± u′(t)

b)

d

dt

cr(t)

= cr′(t), ∀c ∈ R

c)

d

dt

w (t)r(t)

= w (t)r′(t) + r(t)w ′(t)

d)

d

dt

r(t) · u(t)

= r′(t) · u(t) + u′(t) · r(t)

e)

d

dt

r(t) × u(t)

= r′(t) × u(t) + u′(t) × r(t)

f)

d

dt

r(w (t))

= w ′(t)r′(w (t))