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Fiche technique sur les limites
1 Fonctions élémentaires
Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.
1.1 Limite en +∞ et −∞
f (x) xn^1 xn
x
x
ln(x) ex
x^ lim→+∞ f^ (x)^ +∞^0 +∞^0 +∞^ +∞ lim x→−∞
f (x) n^ pair^ +∞ n impair −∞ 0
non défini
non défini
non défini
1.2 Limite en 0
f (x)
xn
x
ln(x)
lim x→ 0 x> 0
f (x) (^) +∞ +∞ −∞ lim x x→< 00
f (x) n^ pair^ +∞ n impair −∞
non défini
non défini
2 Asymptotes parallèles aux axes
Résultat sur f Interprétation géométrique sur la courbe Cf
x^ lim→∞ f^ (x)^ =^ l^ La droite^ y^ =^ l^ est asymptote horizontale à^ Cf
lim x→a f (x) = ∞ La droite x = a est asymptote verticale à Cf
3 Opération sur les limites et formes indéterminées
3.1 Somme de fonctions
Si f a pour limite l l l +∞ −∞ +∞ Si g a pour limite l′^ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ alors f + g a pour limite l + l′^ +∞ −∞ +∞ −∞ F. Ind.
3.2 P
3.2 Produit de fonctions
Si f a pour limite l l , 0 0 ∞ Si g a pour limite l′^ ∞ ∞ ∞ alors f × g a pour limite l × l′^ ∞* F. ind. ∞*
*Appliquer la règle des signes
3.3 Quotient de fonctions
Si f a pour limite l l , 0 0 l ∞ ∞ Si g a pour limite l′^ , 0 0 0 ∞ l ∞ alors
f g
a pour limite
l l′^
∞* F. ind. 0 ∞* F. ind.
*Appliquer la règle des signes
4 Polynômes et les fonctions rationnelles
4.1 Fonction polynôme
Théorème 1 Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré. Si P(x) = an xn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 x 0 alors
x^ lim→+∞ P(x)^ =^ xlim→+∞ an^ xn^ et^ xlim→−∞ P(x)^ =^ xlim→−∞ an^ xn
4.2 Fonction rationnelle
Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.
Si f (x) =
an xn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 x 0 bm xm^ + bm− 1 xm−^1 + · · · + b 1 x + b 0 x 0
alors
x^ lim→+∞ f^ (x)^ =^ xlim→+∞
an xn bm xm^
et (^) xlim→−∞ f (x) = (^) xlim→−∞
an xn bm xm
