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ANALYSE MATHÉMATIQUES

F. KISSI ; H. BOUKHRISSE et A. MOUSSI

F. S. J. E. S Oujda

2020-

CONTENU

Chapitre 1 : Les fonctions numériques d'une variable réelle.

Chapitre 2 : Les fonctions numériques de deux variables réelles. Chapitre 3 : Les intégrales simples et généralisées. Chapitre 4 : Les suites réelles.

I) Notion de fonction numérique d'une variable

réelle

Dénition : Une fonction numérique f d'une variable réelle est une relation qui à chaque valeur d'une variable réelle x associe au plus une valeur f (x). On note f : R 7 −→ R x 7 −→ f (x) f (x) est l'image de x par f x est la variable ( ou l'antécédent ) de f (x).

Domaine de dénition

Dénition : Soit f : R 7 −→ R une fonction. On appelle domaine de dénition ( ou l'ensemble de dénition ) de f la partie de R constituée des éléments ayant exactement une image, nous la noterons pae Df :

Df = {x ∈ R/f (x) existe }

Quelques fonctions usuelles

Les fonctions anes :

f (x) = ax + b (a; b ∈ R et a 6 = 0 )

Df = R

Gf = {(x, y ) ∈ R^2 /y = f (x) = ax + b}

(Cf ) c'est la droite d'équation y = ax + b.

Quelques fonctions usuelles

Les fonctions quadratiques :

f (x) = ax^2 + bx + c ; a 6 = 0

Df = R

Gf = parabole qui est ouvert vers le haut si a est positif et vers le bas si a est négatif.

Quelques fonctions usuelles

f (x) = √x^1 − 1

x ∈ Df ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1

Df =] 1 ; +∞[

f (x) =

−x^2 − 1 Df = ∅ car ∀x ∈ R on a −x^2 − 1 ≤ 0.

sens de variation

Dénition : Soit f une fonction réelle et I un intervalle de R, tel que I ⊂ R : On dit que f est croissante sur I si :

∀(x; y ) ∈ I 2 ; x < y ⇒ f (x) ≤ f (y )

On dit que f est décroissante sur I si :

∀(x; y ) ∈ I 2 ; x < y ⇒ f (x) ≥ f (y )

On dit que f est strictement croissante sur I si :

∀(x; y ) ∈ I 2 ; x < y ⇒ f (x) < f (y )

Exemples

En économie, on rencontre beaucoup de fonctions croissantes et décroissantes : (^1) L'épargne est une fonction croissante du taux d'intérêt ( quand le taux augmente l'épargne augmente ). (^2) l'investissement est une fonction décroissante du taux d'intérêt.

Opérations sur les fonctions

Soit f ; g : I ⊆ R 7 −→ R deux fonctions. (^1) Egalité de deux fonctions : f = g ⇔ f (x) = g (x), ∀x ∈ I , (^2) Somme de deux fonctions : (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ I , (^3) Produit de deux fonctions : (fg )(x) = f (x)g (x), ∀x ∈ I , (^4) Produit d'une fonction par un réel : (αf )(x) = αf (x), ∀x ∈ I , α ∈ R (^5) Quotient de deux fonctions : si g 6 = 0 , ( (^) gf )(x) = f g^ ((xx)) ; ∀x ∈ I (^6) Composée de deux fonctions : si f : I 7 −→ R et g : f (I ) 7 −→ R alors la composée de f et g : gof est donnée par

(gof )(x) = g (f (x)); ∀x ∈ I.

Exemple

On peut vérier que la dérivée au point x 0 = 1 de la fonction qui à x associe f (x) = 2 x^2 − 3 est égale à 4. En eet, on a : lim x 7 → 1

f (x)−f ( 1 ) x− 1 = lim x 7 → 1

2 x^2 − 3 + 1 x− 1 = lim x 7 → 1 2 (x^ +^1 ) =^4 donc f ′( 1 ) = 4

Interprétation géométrique : équation de la

tangente

La droite (T ) est la droite tangente à la courbe de f passant par le point M(x 0 , f (x 0 )) a pour équation : y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ). Autrement dit, f ′(x 0 ) représente la pente de la droite (T ).

Dérivées et opérations

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et α ∈ R. On a (αf )′^ = αf ′^ ; (f + g )′^ = f ′^ + g ′^ ; (fg )′^ = f ′g + fg ′^ ; ( fg )′^ = f^

′g −fg ′ g 2 ;^ (fog^ )

′ (^) = (f ′og ) × g ′

Tableau des dérivées usuelles

f (x) f ′(x) C 0 ax a 1 x −^

1 √^ x^2 x 2 √^1 x xn^ nxn−^1 (n ∈ N∗) xα^ αxα−^1 (α ∈ R∗) ex^ ex ln(x) (^) x^1 eU(x)^ U′(x)eU(x) ln(| U(x) |) U

′(x) U(x)