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Esercitazione di Matematica Finanziaria
Corso di laurea in Economia e Management
02 Maggio 2019
Esercizio 1. Calcolare, secondo lo schema dellāammortamento americano, il piano dāam- mortamento completo di un prestito di 50 000 e rimborsabile in 5 anni ad un tasso di debito del 5% effettivo annuo ed essendo il tasso di accumulazione pari al 4% effettivo annuo.
Soluzione. Lāammortamento a due tassi si costruisce essenzialmente su due ipotesi:
(i) dalla prima alla (n ā 1)-esima scadenza il debitore rimborsa soltanto la quota in- teressi C Ā· i secondo un tasso di remunerazione i, mentre alla scadenza del prestito restituisce oltre agli interessi lāintera somma prestata: C(1 + i);
(ii) contemporaneamente, il debitore versa anche, ad un altro soggetto, una rata ad ogni periodo, accumulando del denaro che, capitalizzato ad un tasso di accumulazione j, in generale diverso da i, genera la somma C da restituire alla scadenza del prestito.
Quindi, ogni rata totale versata dal debitore ammonta a:
R =
i +
j (1 + j)n^ ā 1
C.
Detto questo il piano `e riportato nella seguente tabella:
N. rata Quota capitale Quota interesse Rata Debito residuo Quota Acc. 0 0 0 0 50 000 0 1 0 2 500 2 500 50 000 9 231, 2 0 2 500 2 500 50 000 9 231, 3 0 2 500 2 500 50 000 9 231, 4 0 2 500 2 500 50 000 9 231, 5 50 000 2 500 52 500 0 9 231,
Esercizio 2. Calcolare, secondo gli schemi dellāammortamento francese, italiano e tede- sco, il piano dāammortamento completo di un prestito di 6 000 e rimborsabile in 5 anni ad un tasso di debito del 2.5% effettivo annuo.
Soluzione. (i) Nellāammortamento francese, la rata `e costante e viene calcolata con lāusuale formula:
R =
D 0 Ā· i 1 ā (1 + i)ān^
1 ā (1.025)ā^5
Ogni riga del piano viene compilata utilizzando le seguenti formule:
Ik = Dkā 1 Ā· i, Ck = R ā Ik, Dk = Dkā 1 ā Ck.
Il piano `e riportato nella seguente tabella:
N. rata Quota capitale Quota interesse Rata Debito residuo 0 0 0 0 6000 1 1141,48 150,00 1291,48 4858, 2 1170,02 121,46 1291,48 3688, 3 1199,27 92,21 1291,48 2489, 4 1229,25 62,23 1291,48 1259, 5 1259,98 31,50 1291,48 0
(ii) Nellāammortamento italiano, la quota capitale `e costante e viene calcolata con lāusuale formula: C =
D 0
n
Ogni riga del piano viene compilata utilizzando le seguenti formule:
Ik = Dkā 1 Ā· i, Rk = C + Ik, Dk = Dkā 1 ā C.
Il piano `e riportato nella seguente tabella:
N. rata Quota capitale Quota interesse Rata Debito residuo 0 0 0 0 6000 1 1200 150 1350 4800 2 1200 120 1320 3600 3 1200 90 1290 2400 4 1200 60 1260 1200 5 1200 30 1230 0
(iii) Il piano di ammortamento di tipo tedesco si differenzia da quello francese per un fatto cruciale: le rate, anche se costanti, vengono corrisposte anticipatamente. Di conseguenza, la rata R `e legata al capitale D 0 da rimborsare dalla relazione:
D 0 = R Ā·
1 ā (1 + i)ān i
(1 + i).
La quota interesse va riportata sulla stessa riga in cui compare il debito residuo da cui e ottenuta, quindi rispetto allāammortamento francese la colonna delle quote interesse risulta spostata verso lāalto di un periodo. Una formula di ricorrenza ulteriore che si puo utilizzare per il debito residuo `e
Dk = (Dkā 1 ā R)(1 + i).
Il piano `e riportato nella seguente tabella:
N. rata Quota capitale Quota interesse Rata Debito residuo 0 0 146,341 146,341 6000 1 1.141,48 118,501 1.259,98 4.858, 2 1.170,017 89,964 1.259,98 3.688, 3 1.199,268 60,713 1.259,98 2.489, 4 1.229,249 30,732 1.259,98 1.259, 5 1.259,98 0 1.259,98 0
Il piano `e riportato nella seguente tabella.
N. rata Quota capitale Quota interesse Rata Debito residuo 0 0 0 0 1000 1 200 34.408 234.408 800 2 162.48 27.52 190 637. 3 197.379 21.931 219.31 440. 4 440.141 15.141 455.282 0
Esercizio 4 (Esercizio per casa). Si consideri lāammortamento di una somma S pari a e 15 000 in 4 anni, a rata costante pagata posticipatamente alla fine di ciascun anno e con tasso di interesse annuo del 5%. Compilare il piano di ammortamento riportando, relativamente a ciascuna scadenza, il valore della rata, la sua decomposizione in quota capitale e quota interesse e il debito residuo dopo il pagamento della rata. Nellāipotesi che la rata non possa superare i 4 000 e, in quanti anni potr`a essere ammortizzato il debito?
Esercizio 5 (Esercizio per casa). Si consideri lāammortamento a quota capitale costante di una somma S pari a e 15 000 in 3 anni, con rata pagata posticipatamente alla fine di ciascun anno ed essendo il tasso annuo pari al 3.50%. Compilare il piano di am- mortamento riportando, relativamente a ciascuna scadenza, il valore della rata, la sua decomposizione in quota capitale e quota interesse e il debito residuo dopo il pagamento della rata. Nellāipotesi che la rata non possa superare i 5 000 e, in quanti anni potr`a essere ammortizzato il debito?
Esercizio 6 (Esercizio per casa). Ripetere lāesercizio 2, nel caso in cui lāammortamento sia a rata anticipata (di tipo tedesco) ma con quota capitale costante.
