Mathematical Logic Material, Slides of Mathematics

Download Mathematical Logic Material and more Slides Mathematics in PDF only on Docsity!

Logika ( logic )

Logika

• (^) Logika adalah ilmu yang

membantu kita dalam

berpikir dan menalar

( reasoning )

• (^) Menalar artinya mencapai

kesimpulan dari berbagai

pernyataan.

A thinker

• (^) Perhatikan urutan pernyataan di bawah ini: Indra, Ical, Parry adalah sekelompok pembunuh. Mereka tertangkap dan sedang diinterogasi oleh polisi dengan poligraph : Indra berkata : “Ical bersalah dan Parry tidak bersalah” Ical berkata : “Jika indra bersalah maka Parry bersalah” Parry berkata : “Saya tidak bersalah, tetapi Ical atau Indra bersalah”. Tentukan siapa sajakah yang bersalah bila tes poligraph menunjukkan bahwa Ical telah berbohong, sementara kedua temannya mengatakan kebenaran! Alat bantu untuk menjawab pertanyaan ini adalah adalah Logika

• (^) Banyak teorema di dalam Ilmu Komputer/Informatika yang membutuhkan pemahaman logika.
• (^) Contoh:
  1. Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika gcd ( a , b ) = 1.
  2. Syarat cukup graf dengan n simpul mempunyai sirkuit Hamilton adalah derajat tiap simpul  n /2. 3. T ( n ) = ( f ( n )) jika dan hanya jika O ( f ( n )) = ( f ( n )).

Aristoteles, peletak dasar-dasar logika

• (^) Logika didasarkan pada hubungan antara

kalimat pernyataan ( statements ).

• (^) Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja

yang menjadi tinjauan  proposisi

• (^) Proposisi : pernyataan yang bernilai benar

( true ) atau salah ( false ), tetapi tidak keduanya.

Proposisi

Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Permainan

“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? YA TIDAK Permainan

TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? Permainan

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

YA YA Apakah ini pernyataan? Apakah ini proposisi? … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR Permainan

Contoh-contoh proposisi lainnya :

(a) 13 adalah bilangan ganjil (b)Soekarno adalah alumnus UI. (c) 1 + 1 = 2 (d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f) Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2 n adalah bilangan genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh-contoh di bawah ini bukan proposisi

(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di

Gambir?

(b) Isilah gelas tersebut dengan air!

(c) x + 3 = 8

(d) x > 3

• (^) Kembali ke kalkulus proposisi
• (^) Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p , q , r ,

• (^) Contoh:

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Soekarno adalah alumnus UGM.

r : 2 + 2 = 4

Bentuk-bentuk Proposisi

• (^) Proposisi dapat dinyatakan dalam empat bentuk: 1. Proposisi atomik 2. Proposisi majemuk 3. Implikasi 4. Bi-implikasi