Set Theory: Definitions, Intersections, Unions, and Complements, Slides of Mathematics

Download Set Theory: Definitions, Intersections, Unions, and Complements and more Slides Mathematics in PDF only on Docsity!

BAB 1

HIMPUNAN

2.1 DEFINISI HIMPUNAN

 DEFINISI 1.1.  HIMPUNAN ( SET ) ADALAH KUMPULAN OBJEK-OBJEK YANG BERBEDA.  OBJEK YANG TERDAPAT DI DALAM HIMPUNAN DISEBUT ELEMEN, UNSUR, ATAU ANGGOTA.  KATA “ BERBEDA “ DI CETAK TEBAL UNTUK MENEKANKAN MAKSUD BAHWA ANGGOTA HIMPUNAN TIDAK BOLEH SAMA.

Enumerasi Dengan sifat A = { 1, 2, 3 , 4 ,5} A = { x | x^ ^ Z, 1≤ x ≤ 5 B = { kucing, meja, buku, air } (^) B tidak dapat dinyatakan dengan cara menuliskan sifat – sifatnya karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota – anggotanya C tidak bisa dinyatakan dengan menuliskan anggotanya karena jumlah anggota C yang tak berhingga banyaknya C = { x | x  R, x > 1}

Contoh:

 (^) Contoh-contoh himpunan lainnya :  (^) R = {a, b, {a, b, c}, {a, c} }  (^) C = {a, {a}, {{a}} }  (^) K = { { } }  (^) Pada contoh 2.3, C adalah himpunan yang terdiri dari 3 elemen, yaitu a, {a}, dan {{a}}.  (^) Contoh 2.3 memperlihatkan bahwa suatu himpunan dapat merupakan anggota himpunan lain.  (^) Sedangkan K hanya berisi satu elemen, yaitu { }, disebut himpunan kosong, sering dilambangkan dengan Ø.

Contoh 2.4 :

 Misalkan  A = {1, 2, 3, 4},  R = {a, b, {a, b, c}, {a, c} }, dan  K = { { } }, Maka  3 ∈ A ;  (^) {a, b, c} ∈ R ;  {a} ∉ R ;  { } ∈ K ;  (^) { } ∉R.

2. SIMBOL – SIMBOL BAKU  Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain :  P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3,…} N = himpunan bilangan alami (natural) = {1, 2, 3,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

3. NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN  (^) Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.  (^) Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}  Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan : a) Bagian di kiri tanda ‘ | ‘ melambangkan elemen himpunan b) Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau sedemikian sehingga c) Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan d) Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh

i. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = {x | x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} ii. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebgai B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama dengan 8} atau dalam notasi yang lebih ringkas : B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≤8} yang ekuivalen dengan B = {2, 4, 6, 8}

Contoh 2.6 :  Misalkan A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.  Ketiga himpunan tersebut digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut :  A B 1 2 3 5 2 5 6 8

2.3 KARDINALITAS  (^) Misalkan A merupakan himpunan yang elemen- elemennya berhingga banyaknya.  (^) Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.  (^) Notasi : n(A) atau |A|  (^) Contoh 2.7 : i. B = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, maka |B| = 8, dengan elemen-elemen B adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. ii. T = { kucing, a, Amir, 10, paku} maka |T| = 5, dengan elemen-elemen T (yang berbeda) adalah kucing, a, Amir, 10 dan paku.

2.4 HIMPUNAN KOSONG

 DEFINISI 2.2.  Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong ( null set).  Notasi : ∅ atau { }  Contoh : i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0 iii. A = {x | x adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2

• 5x + 10 = 0, xQ}, n(A) = 0

 Perhatikan bahwa {∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu ∅.  Istilah seperti kosong, hampa, nihil, ketiganya mengacu pada himpunan yang tidak mengandung elemen, tetapi istilah nol tidak sama dengan ketiga istilah di atas, sebab nol menyatakan sebuah bilangan tertentu.

TEOREMA 2.1.  (^) Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut : a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A) b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (∅ ⊆ A) c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C. Dari Teorema 2.1(a) dan teorema 2.1(b) di atas yang menyatakan bahwa ∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya ( improper subset ) dari himpunan A. Sebagai contoh,jika A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ∅ adalah improper subset dari A.

 Perhatikan bahwa A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B. Jika ingin menekankan bahwa A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B maka ditulis A ⊂ B, dan dikatakan bahwa A adalah himpunan bagian sebenarnya ( proper subset ) dari himpunan B.  (^) Sebagai contoh, himpunan {1} dan {2, 3} merupakan proper subset dari {1, 2, 3}.  (^) Sebaliknya, pernyataan A ⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian ( subset ) dari B yang memungkinkan A = B.