Download Mathematics Induction for High School and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity!
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita panjatkan kepada hadirat Allah SWT yang telah memberikan kita rahmat kesehatan dan kesempatan, sehingga bisa menyusun atau menyelesaikan penyusunan makalah Teori Bilangan ini yang berjudul INDUKSI MATEMATIKA. Shalawat dan rangkaian salam kehadirat nabi Muhammad SAW yang kita dari alam kegelapan menuju terang benderang. Pembuatan makalah ini bertujuan sebagai tugas kelompok Teori Bilangan dan sebagai bahan pembelajaran. Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Sahat Saragih, M. Pd yang telah membimbing penulis dan pihak-pihak yang telah membantu dalam pembuatan makalah ini.Makalah ini penulis yakini jauh dari kesempurnaan dan masih banyak kekurangannya seperti pepatah yang mengatakan “tak ada gading yang tak retak“, baik isi maupun penyusunnya. Atas semua itu dengan rendah hati penulis harapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat. Cirebon, 14 September 2018
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR...............................................................................................................
DAFTAR ISI.............................................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN.....................................................................................................
A. Latar belakang.................................................................................................. B. Identifikasi Masalah......................................................................................... C. Pembatasan Masalah........................................................................................ D. Rumusan Masalah............................................................................................ E. Tujuan Pembahasan......................................................................................... F. Manfaat Pembahasan....................................................................................... BAB II PEMBAHASAN........................................................................................................ A. Pengertian Induksi Matematik......................................................................... B. Tahapan Induksi Matematik............................................................................. C. Prinsip Induksi Matematik D. Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik................................................... E. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi............................................. BAB III PENUTUP................................................................................................................. A. Kesimpulan...................................................................................................... B. Saran................................................................................................................ DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................
- Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik.
- Induksi matematik bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema. C. Pembatasan Masalah Untuk mempermudah arah pembahasan masalah ini penulis membuat batasan masalah sebagai berikut:
- Sejarah dari Induksi Matematik.
- Pengertian dari Induksi Matematik.
- Tahapan Induksi Matematik.
- Prinsip Induksi Matematik.
- Contoh soal penggunaan Induksi Matematik.
- Konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi ∑ (sigma) D. Rumusan Masalah Dari latar belakang dan identifikasi masalah yang ada maka rumusan masalah yang digunakan adalah:
- Bagaimana sejarah adanya Induksi Matematik?
- Apa yang dimaksud dengan Induksi Matematik?
- Bagaimana tahapan Induksi Matematik?
- Bagaimana prinsip Induksi Matematik?
- Bagaimana contoh soal penggunaan Induksi Matematik?
- Bagaimana konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi ∑ (sigma)? E. Tujuan Pembahasan Tujuan dari makalah ini, antara lain:
- Mengetahui sejarah dari Induksi Matematik.
- Memahami konsep Induksi Matematik.
- Mengetahui tahapan Induksi Matematik.
- Mengetahui prinsip Induksi Matematik.
- Mengetahui contoh soal penggunaan Induksi Matematik.
- Mengetahui konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi ∑ (sigma). F. Manfaat Pembahasan Penulis berharap makalah ini memiliki manfaat bagi kita semua. Dimana dengan adanya makalah ini dapat membantu semua kalangan baik itu mahasiswa, pelajar dan masyarakat umum dalam mendalami Induksi Matematik dengan sejarah, konsep, prinsip, dan hubungan prinsip. Selain itu dapat menambah wawasan mengenai contoh soal penggunaanya.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Sejarah Induksi Matematik Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi, yang menggunakannya untuk membuktikan teorema binomial dan sifat segitiga Pascal. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas. Tidak satupun ahli matematika kuno yang dapat membuktikan induksi matematika secara eksplisit. Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul arithmétique segitiga du Traité. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano. Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikan interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano. B. Pengertian Induksi Matematik Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang disebut induksi matematika. Meskipun namanya induksi matematik, namun metode ini merupakan penalaran deduktif. Induksi matematik merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaranya kumpulan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli. Melalui induksi matematik ini kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Induksi matematik yang sesungguhnya merupakan salah satu aksioma yang dipenuhi oleh sistem bilangan asli. Bentuk umum induksi matematik sebagai berikut: Misalkan N adalah himpunan semua bilangan asli. Dapat dituliskan sebagai berikut: N =.
1 + 3 + 5 + … + (2 k – 1) + (2 k + 2-1) = ( k + 1)^2 k^2 + (2 k + 1) = ( k + 1)^2 ( k + 1)^2 = ( k + 1)^2 (Terbukti) Jadi, p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n^2. D. Prinsip Induksi Matematika
Prinsip Induksi Sederhana Misal p (n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat positif.Kita ingin me mbuktikan bahwa p(n) benar utnuk semua bilangan bulat positif. Langkah induksi:
Basis : tunjukan p ( 1 ) benar.
Induksi : Misal p (n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1.
Kesimpulan : Buktikan bahwa p (n+ 1 ) benar. Contoh Soal:
Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = untuk setiap bilangan asli n. Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + … + n = p = 1 1 = 1 = 1 = 1 (benar) Jadi, p (1) benar (ii) Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
n = k 1 + 2 + 3 + … + n = 1 + 2 + 3 + … + k = Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu: n = (k+1) 1 + 2 + 3 + … + k + n = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ((k+1)+1)
- (k + 1) = (k+2)
- = (k+2)
- = (k+2)
- = (k+2) = (k+2) = (k+2) = (k+2) = (k+2) (Terbukti) Jadi, p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)= (k+2), berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.
(iii) Kesimpulan: , untuk semua bilangan bulat positif.
- Prinsip Induksi Kuat Misal p(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Kita akan buktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilanagn n. Langkah induksi:
- Basis : p(n 0 ) benar.
- Induksi : Andaikan untuk semua bilanagn bulat n , p (n 0 ), p (n 0 +1), … p(n) benar.
- Kesimpulan : Buktikan bahwa p (n+1) benar. Contoh Soal: Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Penyelesaian: Kita akan buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n , dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima. (i) Langkah Basis: Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai perkalian satu bilangan prima) benar. (ii) Langkah Induksi : Misalkan 2, 3. 4. …..n dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima. Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima. Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1) Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1). Dengan kata lain: (n+1) = ab (Terbukti)
(iii) Kesimpulan : Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima. E. Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik Pembuktian dengan In duksi matematik dapat diilustrasikan dengan fenomena yangterkenal dengan Efek Domino. Sejumlah batu domino diletakan berdiri dengan jarak ruangyang sama satu dengan yang lain. Untuk merebahk an domino kita hanya cukupmendorong domino 1 ke kanan. Jika Domino 1 didorong kekanan, ia a kan memdorongdomino ke 2 , domino 2 mendorong domino 3 , dst sampai semua domino rebah k ekanan. Adapun beberapa contoh soal penggunaan induksi matematika sebagai berikut ini:
- Buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku: Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah
(Terbukti) Jadi, p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan : Dari langkah-langkah (i) dan (ii) disimpulkan bahwa p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.
- Untuk semua , buktikan dengan induksi matematika bahwa habis dibagi 3. Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah P (1) 13 + 2(1) habis dibagi 3 = 3 habis dibagi 3 (benar) Jadi p (1) benar. (ii) Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k yaitu:untuk n = k benar, yaitu: n = k habis dibagi 3 = k habis dibagi 3 Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :
n = (k+1) habis dibagi 3 = habis dibagi 3 = habis dibagi 3 = habis dibagi 3 = habis dibagi 3 Karena adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi di atas). = habis dibagi 3 maka juga habis dibagi 3. (Terbukti) Jadi adalah jumlah dua buah bilangan yang habis dibagi 3, karena itu juga habis dibagi 3. Jadi, p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan: Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa untuk semua , habis dibagi 3.
- Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3 n^ < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 7. Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah 3 n^ < n! Misalnya n = 7 n = 7 37 < 7! = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 < 7 x 6 x 5 x4 x 3 x2 x = 2187 < 5040 (benar) Jadi p (7) benar. (ii) Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu: n = k 3 n^ < n! = k n^ < k! Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :
n = (k+1) 5 n^ − 1 habis dibagi 4 = (5) k+1^ − 1 habis dibagi 4 = [5k.5] – 1 habis dibagi 4 = 5k^ (1 + 4) – 1 habis dibagi 4 = 5k^ +4. 5k^ − 1 habis dibagi 4 = (5k^ – 1) + 4. 5k^ habis dibagi 4 (Terbukti) Jadi, p (k+1) benar. Karena n = k = 1, 2, … Maka jika n = k =1 (5k^ – 1) + 4. 5k^ habis dibagi 4 = (5^2 -1) + 4.5^2 habis dibagi 4 = (25-1) + 4.25 habis dibagi 4 = 24 + 100 =124 habis dibagi 4 Jadi, 124 dibagi 4 akan bernilai 31 (iii) Kesimpulan : Dari langkah basis dan induksi dapat disimpulkan bahwa 5n^ − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1, 2, ... F. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi (Sigma) Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis lebih singkat dengan mengguankan notasi (sigma). Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-contoh penggunaan notasi-notasi
- , dengan c = konstanta
Keterangan: dengan n = suku ke-. Contoh Soal:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n. Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan p (n) menyatakan P (1) 3 - 2 = 1 = 1 (benar) Jadi, p (1) benar. (ii) Langkah Induksi : Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan asli t, yaitu:
Contoh di atas dapat dibuktikan meggunakan sifat-sifat notasi sebagai berikut:
menggunakan contoh sebelumnya, maka ingat bahwa = = =
- Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, 7n^ – 2n^ selalu terbagi habis oleh 5. Penyelesaian: (i) Langkah Basis: Misalkan p (n) menyatakan 7n^ – 2n^ selalu terbagi habis oleh 5. p (1) 71 - 2 1 terbagi habis oleh 5 = 7 – 2 terbagi habis oleh 5 = 5 terbagi habis oleh 5 Jadi, p (1) benar. (ii) Langkah Induksi : Diasumsikan p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu : n = k 7 n^ – 2n^ terbagi habis oleh 5 = 7 k^ – 2k^ terbagi habis oleh 5 Tunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu :
n = (k+1) 7 n^ – 2n^ terbagi habis oleh 5 = 7k+1^ – 2k+1^ terbagi habis oleh 5 = terbagi habis oleh 5 = terbagi habis oleh 5 = terbagi habis oleh 5 = terbagi habis oleh 5 = terbagi habis oleh 5 = 7 terbagi habis oleh 5 (Terbukti) Telah diasumsikan bahwa (7k^ - 2k) terbagi habis oleh 5. Maka 7 (7k^ - 2k) terbagi habis oleh 5 pula. (2k.5) jelas terbagi habis oleh 5, sebab mempunyai faktor 5. Sehingga 7 terbagi habis oleh 5. Jadi 7k+1^ – 2k+1^ terbagi habis oleh 5. Maka p (k+1) benar. (iii) Kesimpulan: dari langkah (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 7n^ – 2nterbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.
- Misalkan, banyaknya elemen himpunan Sn adalah n (suatu bilangan asli). Berapakah banyaknya semua himpunan bagian dari Sn. Penyelesaian: Misalkan Sn = Jika S 1 = maka himpunan bagian dari S 1 adalah dan. Sehingga banyaknya himpunan bagian dari S 1 adalah 2. Coba periksalah banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut ini! Banyaknya himpunan bagian dari S 2 = adalah 4. Banyaknya himpunan bagian dari S 3 = adalah 8. Banyaknya himpunan bagian dari S 4 = adalah 16 dan seterusnya. Untuk melihat hal ini dengan lebih jelas perhatikan Tabel 1.
