Mathématiques Ch1, Schemes and Mind Maps of Business Mathematics

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Mathématiques

Issam Elhattab

École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université de Hassan II

Sommaire

1 Les ensembles

2 Opérations sur les ensembles

3 Produit cartésien et cardinalité

4 Fonction

5 Fonction inverse

Les ensembles

Définition

Un ensemble est une collection d'objets bien déterminés. On appelle ces objets les éléments de l'ensemble.

Un ensemble est déni soit par une liste de ses éléments, soit par une propriété qui dénit ses éléments.

Exemple

N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .} : l’ensemble des entiers naturels.

Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 ,.. .} : l’ensemble des entiers relatifs.

Q = { mn : m ∈ Z, n ∈ N} : l’ensemble des nombres rationnels.

R : l’ensemble des nombres réels.

Vocabulaires

x ∈ A : x appartient à A. Ex : 1 ∈ N.

x ∈/ A : x n'appartient pas à A. Ex : − 1 ∈/ N.

A ⊆ B : tous les éléments de A appartiennent à B. Ex : N ⊆ N, N ⊆ Z.

A ⊂ B : tous les éléments de A sont dans B et il existe au moins un élément de B qui n'appartient pas à A. Ex : N ⊂ Z.

A * B : il existe au moins un élément de A n'est pas dans B. Ex : {− 2 , 1 } * N, Z * N.

A = B : les ensembles A et B sont composés des mêmes éléments. Ex : {les faces paires d'un dé} = { 2 , 4 , 6 }.

∅ : l'ensemble vide qui ne contient aucun élément. Ex : {n : n est un entier impair multiple de 2 } = ∅.

Opérations sur les ensembles

Considérons deux sous-ensembles A et B d'un ensemble Ω. Réunion La réunion de A et B est l'ensemble composé des éléments de A et des éléments de B. La reunion de A et B, notée A ∪ B, qui se lit A union B, est dénie par : A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}. Ex : { 2 , 5 , 7 } ∪ { 1 , 3 , 4 , 5 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }.

Intersection L'intersection de A et B est l'ensemble composé des éléments communs de A et B. L'intersection de A et B, notée A ∩ B, qui se lit A inter B, est dénie par : A ∩ B = {x : x ∈ A et x ∈ B}. Ex : { 3 , 5 , 7 } ∩ { 1 , 3 , 4 , 5 } = { 3 , 5 }.

Opérations sur les ensembles (suite)

La différence La différence entre A et B est l'ensemble composé des éléments de B qui n'appartiennent pas à A. La différence entre A et B, notée B \ A, est dénie par : B \ A = {x : x ∈ B et x ∈/ A}. Ex : { 2 , 3 , 5 , 7 } \ { 1 , 3 , 5 } = { 2 , 7 }.

Le complémentaire Le complémentaire de A est l'ensemble composé des éléments de Ω qui n'appartiennent pas à A. Le complémentaire de A, noté A, qui se lit complémentaire de A, est déni par : A = {x : x ∈ Ω et x ∈ A}. Ex : Soit Ω = Z, {n : n = 2 k, k ∈ Z} = {n : n = 2 k + 1 , k ∈ Z}.

Produit cartésien et cardinalité

Produit cartésien et cardinalité

Produit cartésien On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F, l'ensemble des couples ordonnés (x, y) où x ∈ E et y ∈ F. On le note E × F et on lit E croix F. E × F = {(x, y) : x ∈ E et y ∈ F}.

Cardinalité Un ensemble est dit ni s'il contient un nombre ni d'éléments. Le nombre d'éléments d'un ensemble s'appelle cardinal de l'ensemble. On le note Card(E). Un ensemble qui n'est pas ni est dit inni.

Fonction

Fonction

Définition

Soit E et F deux ensembles donnés. Supposons qu'à chaque

élément x ∈ E, on associe un et un seul élément y ∈ F.

L'ensemble de ces associations dénit une fonction ou

application de E dans F, ce qu'on écrit :

f : E → F

x 7 → y = f (x).

Remarque

À chaque fonction f : E → F correspond le sous-ensemble de

E × F déni par :

{(x, y) : x ∈ E et y = f (x) ∈ F}.

Fonction (suite)

Vocabulaires

Soit la fonction f : E → F. On dit que f est :

Injective : si les images de deux éléments distincts de E

sont des éléments distincts de F.

Surjective : si chaque élément de F est une image d'un

élément de E.

Bijective : si elle est à la fois injective et surjective.

Exemple

Soit les fonctions :

f : Z −→ Z x 7 −→ 2 x,

g : [ 0 , 2 ] −→ [ 0 , 4 ] x 7 −→ x^2 ,

h : [− 2 , 2 ] −→ [ 0 , 4 ] x 7 −→ x^2.

Sont-elles injectives, surjectives ou bijectives?

Fonction inverse

Définition

Considérons la fonction f : E → F. Si la fonction f est bijective,

on peut associer à chaque élément y ∈ F un et un seul élément

x ∈ E, tel que y = f (x). La fonction ainsi dénie est dite

fonction inverse de la fonction f : E → F, on la désigne par

f −^1 : F → E.

Exemple Considérons la fonction :

f : R −→ R x 7 −→ f (x) = 2 x + 3.

On vérifie que la fonction f est inversible et que son inverse est la fonction :

f −^1 : R −→ R y 7 −→ f −^1 (y) = 12 (y − 3 ).