Partial preview of the text
Download maths prepa sup mine and more Exercises Calculus in PDF only on Docsity!
Mines Maths toutes fili¢res 2001 — Enoncé 1/4 CONCOURS COMMUN 2001 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAT, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filiéres) id i 2001 de 14n00 a 18h Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 el 4/4 Tes candidats sont invités 4 porler une attention particuligre a la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées scront pénalisées Les candidats colleront sur leut premiere feuille de composition étiquette a code barres correspondante. PROBLEME 1 Les partics A et B sont indépendantes, mais sont utilisées par la partie C. PARTIE A: Pour tout réel a positif ou nul, on note gq la fonction définie sur IR par ga(t) = t. A.1. Montrer que la fonction gq est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours go la fonction ainsi prolongée, qui est done définie et continue sur Ry). Préciser la valeur de ga(0). Montrer que la fonction gq est de classe C' sur IRy pour a> 1. Soient a et 5 deux réels positifs ou nuls. On pose 4 Hat) = [ galt) go(1 —#) dé . 0 A.2, Justifier existence de l'intégrale I(a, b). Comparer I(a,) et I(b,a). 1 On écrira abusivement I(a, b) =[ #(1 — t)° dt. 0 A.3, Soient a et 6 deux réels positifs ou nuls. Trouver une relation entre I(a + 1,8) ct Ta,b+1). A.A. Calculer J(a, 0). Bn déduize que, pour tout entier naturel n, on a nt Han)= ers (a+n+})° A.B. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I(p,) & l'aide de factorielles. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr 
