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Chapitre IV :
CONTRAINTES DANS UN MILIEU
CONTINU^ Postulat
de
Cauchy *^
Les
efforts
exercés
sur
une
partie
I- Vecteur contrainte:
n
T(M,n) dS
M
Postulat
de
Cauchy *^
Les
efforts
exercés
sur
une
partie
d'un milieu continu par le complémentaire dedans le système
peuvent être représentés par
une répartition surfacique de forces.
- Cette densité surfacique ne dépend
du
domaine
considéré
que
par
la^
normale
extérieure au domaine pour le point d'étude. On a donc une représentation par un vecteurappelé
vecteur contrainte.
M
T(M,n) dS
σ n
n
n r τ^ n
(^
) (^
)^
(^
)^
n σ n M, T n
n M, T n τ
n. n M, T σ
n
n n
r r r r r r r r
r r
r
−
= ∧
∧ = =
:la contrainte normale.:le
vecteur
contrainte
tangentielle
(encore appelé cission ou contrainte decisaillement).
n
σ
n
r τ
.
Ce qui caractérise l'état de contrainte, c'est la relation existanteentre le vecteur contrainte et la direction de normale à la facette
Etude de l'équilibre d'un domaine matériel de forme tétraédrique
(^
)
(^
)
(^
)
=
=
=
3 23
2 22
1 21
2
3 13
2 12 1 11
1
E E E E M T E E E E M T E E E E M T r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
, , ,
n^
n^1 n^2 n^3
E^3
(^
)
^
=
3 33
2 32 1 31
3
E E E E M T σ
σ
σ
,
On utilise alors la notation suivante :
ij
σ
premier indice
i^
indice de
normale
deuxième indice
j^
indice de projection
n
T(M,n)
T T T
3 1 2 3
M
E^1
E^2
représente la contrainte normale pour un
facette de
normale
ii
σ
r Ei
ij σ
(avec
les
indices
différents)
représente
une
composante tangentielle du vecteur contrainte pourla facette de normale
i
r E
.
L'équation d'équilibre est donc :
∫
∫
∫
∫^
− + − + − + =
3
2
1
3
2
1
0
S
S
S
S
dS E M T
dS E M T
dS E M T
dS n M T
) , ( ) , ( ) , ( ) ,
(^
r r r r r r r r r
3 3 2 2 1 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 dS E
M T
dS E
M T
dS E
M T dS n M T
r r r r r r r r
r^
− + − + − +
≈^ (
) dS E M T n E M T n E M T n n M T
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 3 3 2 2 1 1 r r r r r r r r
r^
− + − + − + ≈
L'équation d'équilibre est donc :
(^
) 3 2 1
, ,^
T T T^
(^
n M T^
r
r
(^
) 3 2 1
E E E^
r r r^
, ,
Avec :
composantes du vecteur contrainte^ dans la base
=
=
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
n
n
n
T
n
n
n
T
n
n
n
T
j
ij
i^
n
T
σ
(^
) 3 2 1
E E E^
, ,
dans la base
n
n
M
T
r
r
r
σ =)
,
(
σ
Le tenseur
est appelé
tenseur des
contraintes
ou encore tenseur de
Cauchy. Il est fonction uniquement dupoint d'étude.
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
II.2- Equilibre dynamique : (Le 11/3/2013)
Appliquons le principe fondamental de la dynamique
au tétraèdre défini précédemment :
∫^
∫^
∫
∫
∫
∫^
→
→
→ D^
D^
D
D
D
D
dS n P T
OM
dmt M f
OM
dm R t M
OM
dS n P T
dmt M f
dm R t M
∂
∂
r r
r
r
r r
r
r
g
g
En utilisant le théorème de la divergence, il est possible de redéfinir
D
comme
domaine
d'intégration
du
torseur
des
dv div
dSn
dS n P T
D
D
D
σ
σ ∂
∂
∫
∫
∫^
→
=^
r
r r^
) , (
redéfinir
D
comme
domaine
d'intégration
du
torseur
des
efforts intérieurs.L'équation de la résultante devient alors :
dmt M f
dv div
dm R t M
D
D
D
∫
∫
∫^
=^
→
(^
r
r
γ^
g
(^
t M f
div R t M
r
r
=^
→ g
ρ
On peut en déduire
l’équation d’équilibrel’équation d’équilibre
:^
masse volumique du domainematériel au point considéré.
II.3- Propriétés du tenseur des contraintes : Le tenseur des contraintes étant symétrique à coefficients réels,il est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles. Il existe donc trois
contraintes principales (valeurs propres)
associées
à
trois
directions
principales
(vecteurs
propres)
a- Contraintes principales :
associées
à
trois
directions
principales
(vecteurs
propres)
Nous avons ainsi des relations du type :
I I
I
I^
E
E
E M T
r
r
r
r
σ
σ
=
= )
, (
) , , (^
III II I^
E E E
r r r
=
III
II
I
σ
σ
σ σ
0
0
0
0
0
0
Dans la base des vecteurs propres la matrice représentant l'étatdes contraintes est diagonale
S σ
D
D Généralement, on décompose le tenseur des contraintes en une sommed'un σ
tenseur sphérique
et d'un tenseur déviatorique
est un tenseur ayant une trace nulle. La décomposition est alorsunique.
(^
)^
0
=^ σ
σ^ tr
D
S
b- Décomposition du tenseur des contraintes :
(^
(^
)^
(^
) I
(^03)
=
=^ σ
tr tr
tr tr
S
S
D
D σ
D σ
est symétrique et il admet les mêmes directions principales que letenseur des contraintes.représente la partie "cisaillement".
d- Cercles de Mohr :
b- Cisaillement simple :
c- Contraintes planes :
² /
13
0
3 3
0
25
0
3 3
0
7
mm daN
^ −
−
= σ
La matrice associée au tenseur des contraintes en un point M est :
1. Déterminer les contraintes et les directions principales.
.
TD
^
) (^0) ; (^2) ; 2 (^22) n
(^
) 3 2 1
, ,, ,^
y y y M 1 1
y
x^
=^
(^
)^
° =^30 ,^22 yx
1. Déterminer les contraintes et les directions principales. 2. Calculer les composantes du vecteur contrainte en M sur
la facette de normale
3. Tracer les constructions de Möhr relatives aux questions
précédentes.
4. Déterminer le tenseur des contraintes dans le repère direct
défini par :
et
