Download Complex Numbers: Calculations, Conjugates, and Roots and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
Numere complexe
Forma algebric ă a numărului complex z este z = a + bi , unde a şi b sunt numere reale.
Numărul a se numeşte partea real ă a numărului complex z şi se scrie a = Re z , iar numărul b
se numeşte partea imaginar ă a numărului complex z şi se scrie b = Im z. Simbolul i se
numeşte unitate imaginar ă şi 1
2 i =−.
Numerele complexe z (^) 1 = a 1 + b 1 i şi z (^) 2 = a 2 + b 2 i sunt egale , dacă şi numai dacă a 1 (^) = a 2 ,
b 1 (^) = b 2.
Numărul complex z = a − bi se numeşte num ă r conjugat numărului z = a + bi , iar
numărul − z =− a − bi se numeşte număr opus lui z = a + bi.
Fie z 1 =a 1 +b 1 i şi z 2 =a 2 +b 2 i două numere complexe. Suma z 1 (^) + z 2 , diferen Ń a z 1 (^) − z 2 ,
produsul z 1 (^) ⋅ z 2 şi câtul ( 2 0 )
2
1 z ≠ z
z a numerelor complexe z 1 şi z (^) 2 se calculează conform
formulelor:
z (^) 1 + z 2 =( a 1 + a 2 )+( b 1 + b 2 ) i , (1)
z (^) 1 − z 2 =( a 1 − a 2 )+( b 1 − b 2 ) i , (2)
z (^) 1 ⋅ z 2 =( a 1 a 2 − b 1 b 2 )+( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i , (3)
i a b
ab ab
a b
aa bb
a b
a bi a bi
z z
z z
z
z 2 2
2 2
2 1 1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
2
OperaŃiile de adunare şi înmulŃire a numerelor complexe sunt comutative şi asociative,
înmulŃirea este distributivă faŃă de adunare.
Modulul numărului complex z = a + bi este numărul
2 2 z = a + bi = a + b. Au loc
egalităŃile | z |=| z |şi
2 z ⋅ z =| z |. Se va folosi notaŃia | z |= r.
Argumentul numărului complex z = a + bi este numărul ϕ determinat din egalităŃile
2 2
cos a b
a
r
a
ϕ = = , 2 2
sin a b
b
r
b
ϕ = =. (5)
Argumentul numărului complex (^) z se notează (^) arg z.
Din egalităŃile (5) rezultă
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ (6)
şi obŃinem forma trigonometric ă a numărului complex z = a + bi :
z = r (cos ϕ + i sin ϕ). (7)
Argumentul principal arg z al numărului complex z este acea valoare a lui ϕ care
aparŃine intervalului (− π , π].
Între mulŃimea numerelor complexe C şi mulŃimea punctelor (razelor-vectoare) ale
planului înzestrat cu un sistem de axe ortogonale xOy se stabileşte o bijecŃie astfel:
z = a + bi ⇔ M ( a , b ) ⇔ OM ={ a , b }.
Această bijecŃie permite ca numerele complexe să fie interpretate ca puncte ale planului
de coordonate sau ca raze-vectoare OM (vezi figura).
Modulul r al numărului complex z = a + bi se interpretează ca lungimea segmentului
OM (lungimea vectorului OM ), unde M ( a , b ), iar argumentul numărului complex z ≠ 0 este
egal cu mărimea unghiului dintre direcŃia pozitivă a axei absciselor şi semidreapta OM.
Modulul şi argumentul determină numărul complex în mod univoc. Numărul complex z = 0 nu are argument, dar are modulul egal cu zero.
Orice două argumente ale numărului complex diferă printr-un număr multiplu al lui 2 π.
Pentru orice numere complexe z , z 1 , z 2 ≠ 0 , z = r (cos ϕ + i sin ϕ),
z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )au loc relaŃiile:
1 2
1 2 1 2 k k Z
r r z z ϕ ϕ π
z 1 ⋅ z 2 = r 1 ⋅ r 2 (cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+ i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )), (9)
( cos( 1 2 ) sin( 1 2 )) 2
1
2
1 = ϕ −ϕ + i ϕ − ϕ r
r
z
z , (10)
z r (cos n ϕ i sin n ϕ)
n n = + ( formula lui Moivre ), (11).
R ă d ă cina de ordinul n , n ∈ N *, n ≥ 2 a numărului complex z este numărul complex
u cu proprietatea u z
n =.
Toate rădăcinile ecuaŃiei u z
n = se notează prin
n z.
Dacă z = r (cos ϕ + i sin ϕ), atunci fiecare din cele n rădăcini
n z se obŃin din formula:
O (^) Axa reală
Axa imaginară
M ( a , b )
b
r
a
ϕ
c). 4
i
i
i i
i i
i
i
i i
i = − −
d) 1. 4
[( 1 )( 1 )]
2
3 3
2 2
i i
i i
i
i
i
i
3. Să se simplifice fiecare din expresiile: a)
41 i ; b)
62 i ; c)
79 i ; d)
84 i.
SoluŃii
Avem ,
1 i = i ,
2 i = − i ,
3 2 i = i ⋅ i =− i ( 1 ) ( 1 ) 1 ,
4 2 2 i = i ⋅ i = − ⋅ − = ,
5 4 i = i ⋅ i = i
1 1 ,
6 4 2 2 i = i ⋅ i = ⋅ i =− ,
7 4 3 i = i ⋅ i =− i ( ) 1
8 4 2 i = i = , prin urmare, puterile naturale ale lui i
sunt egale ciclic cu i , 1 ,− i şi 1.
Astfel, pentru ∀ n ∈ N , 1 ,
4
n i ,
4 1 i i
n
1 ,
4 2 =−
n + i.
4 3 i i
n =−
De aici:
a) ;
41 401 40 i = i = i ⋅ i = i
b) 1 1 ;
62 415 2 2 = ⋅ = ⋅ =−
⋅ i i i i
c) ;
79 4193 i = i =− i
⋅ +
d) (^1).
84 421 = =
⋅ i i
4. Să se determine numerele reale x şi y astfel încât au loc egalităŃile:
a) 2 ;
y x
i i i x
b) ( 2 + 3 i )( x − 1 )+( 2 − 3 i )( x − y + 1 )= 8 − 3 i ;
c) ( 3 x + 4 yi )( 3 x − 4 yi )+ 2 yi = 73 + 4 i ;
d) 65 ( 20 ).
3 2 3 2 x + xy i = − y + − x yi
SoluŃii
Utilizând definiŃia egalităŃii a două numere complexe, în fiecare caz se obŃine şi se rezolvă
un sistem de două ecuaŃii cu două necunoscute.
În cazul a) avem
y x
x ⇔
x
y
x 6 2 4
y
x
Răspuns: x =1, y =1.
În cazul b), efectuând operaŃiile, avem
y
x
x x y
x x y
Răspuns: x =2,5; y =1.
În cazul c) similar b) se obŃine
2 2 2
y
x
y
x
y
x
y
x y .
Răspuns: x = 1 , y = 2 sau x = − 1 , y = 2.
În cazul d) avem
3
2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
3 3
xy x y
x y
xy x y
x y
xy x y
x y
xy x y
x y
xy x y
x y
y
x
y
x
xy
x y .
Răspuns: x = 1 , y = 4 sau x = 4 , y = 1.
5. Să se rezolve în C ecuaŃia:
a) ( 4 3 ) 1 5 0 ;
2 z − + iz + + i =
b) ( 2 2 ) 6 3 0 ;
2 iz + − iz − + i =
c) ( 2 ) 1 7 0 ;
2 z + − iz − − i =
d) ( 2 ) ( 5 ) 2 2 0.
2 − iz − + i z + + i =
SoluŃii
EcuaŃia de gradul al doilea (^0)
2 az + bz + c = , unde^ a , b , c sunt numere complexe are
rădăcinile , 2
2
1 a
b b ac z
2
2 a
b b ac z
= unde b 4 ac
2 − = ∆ şi
− b − 4 ac =− ∆
2 sunt rădăcinile pătrate ale numărului complex 4.
2 ∆= b − ac
În cazul a)
2 2 ∆ =( 4 + 3 i ) − 4 ( 1 + 5 i )= 7 + 24 i − 4 − 20 i = 3 + 4 i =( 2 + i ) ,^ ∆ = 2 + i şi
1 i
i i z = +
2 i
i i z = +
= Deci, S = { 1 + i , 3 + 2 i }.
În cazul b)
2 ∆ =( 4 + 2 i ) şi z (^) 1 = 3 i , z (^) 2 = 2 − i. Deci, S = { 3 i , 2 − i }.
În cazul c) (^) ( 4 3 ),
2 ∆ = + i z 1 (^) = − 3 − i , z 2 (^) = 1 + 2 i .Deci,^ S = {− 3 − i , 1 + 2 i }.
c)
2
2
2
1 2 b
a
a b
a b b z z.
Răspuns: Numerele z 1 şi z 2 sânt conjugate pentru a = ± 1 , b = 1.
8. Să se scrie sub formă trigonometrică numărul: a) z = 2 i ; b) z = 3 + i ; c)
z = 2 − 3 + i ;d) (^)
= − − <α< π
π α α 2 2
z 1 cos 2 i sin 2.
SoluŃii
a) (^). 2
sin 2
2 0 2 2 cos
π π z i i i
b). 6
sin 6
2 cos 2
π π z i i i
c) Calculăm modulul numărului z:
2 2 2 r = z = − + = − = − = − = −
Găsim arg z conform egalităŃilor (5):
cos
ϕ =
sin
ϕ=
De aici obŃinem
o
ϕ = 75. Prin urmare, conform formulei (7) ( ).
sin 12
2 3 1 cos
π π z i
d) | | 2 |sin | 2 sin ,
2 sin sin 2 2 sin (sin cos )
2
α α
α α α α α
= = = −
r z
z i i , deoarece , 2. 2
∈ π
π α
De aici. 2
sin 2
2 sin ( sin cos ) 2 sin cos
=− − + =− + α
π α
π z α α i α α i
9. Să se calculeze: a) 80 + 18 i ;b) − 1 − 4 3 i ;c) ; 3 4
i
i
− +
d). 5 12
i
i
SoluŃii
Fie z (^) 0 şi z 1 rădăcinile pătrate ale numărului complex (^) z = a + bi. Dacă (^) b > 0 , atunci
avem:
1 0
0
a z i
a z z z
a z i
a z z
Dacă b < 0 , atunci avem:
0
a z i
a z z
= , z 1 (^) = − z 0. (14)
În cazul a) avem 81 9 , 2
z (^) 0 i = + i = + i
= z 1 (^) =− 9 − i.
În cazul b) avem 3 2 , 2
z 0 (^) i = − i
= z 1 (^) =− 3 + 2 i.
În cazul c) avem i
i
i i
i i
i
i 5 12 25
şi
z 0 (^) i = − i
= z (^) 1 = − 3 + 2 i.
În cazul d) 13
3 4 i i i
i
i −
şi
z 0 (^) i = − i
z 1 (^) =− − i
10. Să se calculeze: a) ;
3 − i b) 1 3 ;
4
3 2 + 11 i.
SoluŃii
a) Scriem numărul complex − i = 0 +(− 1 )⋅ i în forma trigonometrică. Avem | − i |= 1 şi
arg( )
π − i = − De aici. 2
sin 2
cos (^)
π π i i În conformitate cu formula (12)
sin 3
(^3) cos
π π π k π i
k i unde k = 0 , 1 , 2.
Notând aceste rădăcini prin z (^) k avem:
sin 6
z 0 (^) cos i = − i
π π
sin 2
cos 3
sin 3
z 1 (^) cos i = + i = i
π π π π π π
Ele sunt vârfurile pătratului înscris în cercul de raza 4 2 şi centrul O. MenŃionăm că
0
π m ∠ AOM =
Observa Ń ie. Cele patru rădăcini z (^) 0 , z 1 , z 2 , z 3 se pot obŃine şi astfel:
(^4 1) + i 3 = 1 + i 3.
Conform formulelor (13), ( 3 ).
1 i 3 i =± + i
Conform aceleaşi formule (13),
4
2 2
4 4
i
i i i
Conform formulelor (14),
4
2 2
4 4 4
i
i i i i
c) Forma trigonometrică a numărului z = 2 + 11 i este. 125
z = + i
Deci, ,
125
cos ϕ =. 125
sin ϕ = De aici rezultă că. 2
arg 0 ,
π z
Deoarece, conform formulei (12), cele trei rădăcini de ordinul trei ale lui z = 2 + 11 i se
obŃin din formula
4 2 x
y
M 2
M 3
M 0
M 1
O
sin 3
2 11 125 cos 3 3
ϕ π ϕ k π i
k i pentru k = 0 , 1 , 2.
trebuie să calculăm 3
cos
ϕ şi 3
sin
ϕ având valorile luicos ϕ şisin ϕ.
Folosim formula lui Moivre şi scriem
cos sin. 3
sin 3 3
cos 3 3
sin 3
cos
3
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ i (^) = ⋅ + i ⋅ = + i
Explicităm partea stângă, utilizăm definiŃia egalităŃii a două numere complexe şi obŃinem
sistemul:
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
sin 3
sin 3
sin 3
3 cos
cos 3
sin 3
3 cos 3
cos
2 3
3 2
ÎmpărŃim ecuaŃia a doua, parte cu parte, la prima şi obŃinem ecuaŃia
sin 3
3 cos 3
cos
sin 3
sin 3
3 cos
3 2
2 3
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
Aceasta se reduce la o ecuaŃie omogenă de gradul trei care se reduce la ecuaŃia
3 2 − − + =
ϕ ϕ ϕ tg tg tg Dintre rădăcinile , 2
ϕ tg 8 75 3
ϕ tg şi 8 75 3
ϕ tg
ale acestei ecuaŃii doar 2
ϕ tg verifică condiŃia. 6
ϕ π
Din 2
ϕ tg rezultă 5
cos =
ϕ şi. 5
sin =
ϕ
În fine revenim la formula pentru calcularea 3 2 + 11 i şi obŃinem:
sin 3
0 5 cos i
i z i = +
ϕ ϕ
sin 3
1 5 cos
i
z i i
ϕ π ϕ π
a) | z |= 2 ; b) z =| z |; c) ; 4
arg
π z = d) 1 <| z |< 9 ; e) | 2 z + 1 |≥ 2 ; f) | z + i |<| z |; g)
1 ≤| z − 1 − i |≤ 4.
8. Să se calculeze: a) ; 1
100
b) ; 2
2006
4 i d) 2 2 3 ;
4 − i e) 3 − 1 ; f)
3 − +
9. Un triunghi echilateral are două vârfuri în punctele z 1 (^) =− 1 şi z (^) 2 = − 2 + i 3 .Să se afle
al treilea vârf.
10. Să se determine numărul complex z de modul maximal astfel încât are loc relaŃia:
| z − 3 − i |= 10.
