Optimization of Everyday Wrapping Area, High school final essays of Mathematics

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Optimización del área de envoltorios de

uso diario

Número de páginas: 15

Índice de contenido

Introducción ...................................................................................................................................... 3

Pregunta de investigación.................................................................................................................. 4

Contextualización de la investigación ................................................................................................ 4

Objetivo ............................................................................................................................................ 7

Procedimiento ................................................................................................................................... 8

Objeto 1: Botella de Chufi ................................................................................................................. 9

Objeto 2: Botella de Juver ............................................................................................................... 13

Resultados obtenidos ....................................................................................................................... 15

Conclusiones ................................................................................................................................... 16

Extensión y reflexión ....................................................................................................................... 17

Bibliografía ..................................................................................................................................... 19

Índice de ilustraciones y tablas

Ilustración 1- Imagen del tetraedro regular modelizado por Rausing. Elaboración propia. .................... 4

Ilustración 2- Imagen del tetraedro regular con medidas para calcular x. Elaboración propia. .............. 5

Ilustración 3- Modelización tetraedro regular, para calcular la altura del cuerpo geométrico.

Elaboración propia. ............................................................................................................................... 5

Ilustración 4-Modelización tetraedro regular, cálculo de la altura de los triángulos. Elaboración propia.

.............................................................................................................................................................. 6

Ilustración 5-Imagen botella Chufi. ........................................................................................................ 9

Ilustración 6-Modelización de la botella mediante funciones. ................................................................. 9

Ilustración 7-Imagen botella Juver. ...................................................................................................... 12

Ilustración 8-Modelización de la botella mediante funciones. ............................................................... 12

Tabla 1-Comparativa del cálculo volumen/área de los envases estudiados. .......................................... 14

Tabla 2-Comparación de la razón del área superficial y volumen entre los distintos envases analizados.

............................................................................................................................................................ 15

Pregunta de investigación

¿En qué medida es óptima la relación entre el volumen y el área los siguientes

envoltorios del supermercado, de manera en que sean envases económicos y respetuosos con

el medioambiente (al usar la mínima cantidad de material posible)?

Contextualización de la investigación

En 1950, el ingeniero sueco Rubén Rausing realizó una investigación que condujo a

una nueva forma de embalaje (Corroto, 2019). Desarrolló un contenedor completamente

sellado. Este tenía la forma de un tetraedro regular, y constaba de 4 caras iguales. De este

modo y en base al sistema diseñado por Rausing, cuestione si realmente esta manera de

embalaje era la más eficiente.

El envase que Rubén Rausing introdujo al mercado en 1950, se trataba de un tetraedro

regular que contenía aproximadamente 100ml (Tetra Pak, 2019), definido de la siguiente

forma:

Donde podemos decir que los ángulos de la figura son de 60º, debido principalmente aque al

tratarse de un triángulo equilátero: todos sus ángulos y lados miden lo mismo, y la suma de sus

ángulos es de 180º. Sin embargo, con el objetivo de obtener las medidas de dicha figura, es

necesario la descomposición de la misma:

Ilustración 1 - Imagen del tetraedro regular modelizado por Rausing. Elaboración propia.

Ilustración 2 - Imagen del tetraedro regular con medidas para calcular x. Elaboración propia.

Ilustración 3 - Modelización tetraedro regular, para calcular la altura del cuerpo geométrico. Elaboración propia.

tan 30 =

𝑥

𝐿

2

→ √ 3 =

𝑥

𝐿

2

→ 𝑥 =

√ 3 × 𝐿

2

Con el objetivo de calcular el volumen y tras haber despejado la x, calcularíamos el teorema

de Pitágoras con el objetivo de saber la altura del tetraedro (h), teniendo como resultado de esta

manera:

• h= es la altura del tetraedro

Con el objetivo de obtener el área de dicha figura, es necesario encontrar la altura (ht)

de lostriángulos equiláteros; en base al teorema del seno:

Hemos de clarificar que el objetivo es de obtener el valor de L a partir de los 100ml de

volumen dado y, por tanto, una vez calculado el volumen solo quedaría encontrar el área de

dicha figura, que sea igual a cuatro veces de uno de los triángulos equiláteros.

∆

× 4 = 4 ×

𝐿 ×

× 𝐿

2

×

Donde 𝐿 = 6 , 90 → 𝐴 = 2 ( 6 , 90 )

2

× √

17

2

2

Con el fin de calcular correctamente el coeficiente volumen/área, es necesario hacer

una aproximación del área aportándole sus unidades cuadradas, al igual que en el caso del

volumen aportándole sus unidades cúbicas. De esta forma obtendremos el cociente ideal para

comparar distintas figuras con interpretación sencilla. Por ello aplicaremos este método de

cálculo de áreas a la optimización del tetraedro de Rausing.

Finalmente, el cociente volumen/área es:

𝑉

𝐴

3

2

=

100

4625 , 43

≈

0 , 0216

Objetivo

El principal objetivo de este trabajo es calcular el cociente entre el volumen y el área

de unos envases del supermercado haciendo uso de a las fórmulas de área y volumen de los

cuerpos de revolución, calculando en primer lugar el volumen y más tarde el área. Concluyendo

con un estudio comparativo del ratio estudiado entre dichos envases y el analizado por Rausing.

Procedimiento

En primer lugar, cogí dos envases de mi casa con distintas formas geométricas, y calculé

su área y volumen de la siguiente manera: Primeramente, tomé las medidas con un metro de

la forma más exacta posible para después trasladar dichos datos a la aplicación: Geogebra, un

programa de software matemático destinado al diseño de funciones y gráficas entre otros

muchos usos. Se situará la figura en simetría con el eje x y eje y. Un vez obtenidos y

trasladados los datos es necesario hacer las fotografías de los envases en práctica en un fondo

neutro y pasarlos a la aplicación Geogebra. Con el objetivo de controlar los errores de

paralelaje, es vital que las fotografías estén realizadas en horizontal para que el perímetro de

cada envase sea delimitado por una función a trozos, determinando finalmente cuáles son esas

funciones y sus intervalos.

En cuanto a volumen del cuerpo de revolución, hemos de aclarar que se trata de hacer

girar la función entorno a una generatriz o eje de simetría. Obteniendo así una figura completa

que podremos denominar como funciones a trozos, calculándolo utilizando integrales

definidas. Utilizando la fórmula de los discos para encontrar el volumen de los cuerpos:

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓

( 𝑥

) )

2

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Donde a y b, se establecen como los extremos del intervalo en el que se define la función.

Y más tarde aplicando los resultados a la formula del cálculo de áreas de cuerpos de

revolución:

𝐴 = 2 𝜋 ∫

𝑓

( 𝑥

)√ 1 + (𝑓′(𝑥)

2

)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Para el área escogí envases con formas geométricas reconocibles, realizando

finalmente, los cálculos necesarios para optimizar relación área/volumen.

Finalmente, y en relación a los instrumentos utilizados para hacer las operaciones y

cálculos utilice la calculadora gráfica TI-84 Plus CE-T. Para visualización gráfica, utilice

GeoGebra y para las simulaciones numéricas utilizadas en la planificación utilizan

herramientas de diseño 3D (principalmente AutoDesk).

La función que delimita el recinto es:

𝑓(𝑥) {

− 0 , 000078 𝑥

4

• 0 , 0040 𝑥

3

− 0 , 0673 𝑥

2

− 0 , 353 𝑥 + 3 , 842 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 11

0 , 0060 𝑥

3

− 0 , 33 𝑥

2

• 5 , 78 𝑥 − 27 , 88 𝑠𝑖 11 < 𝑥 ≤ 22

− 0 , 360 𝑥 + 10 , 35 𝑠𝑖 22 < 𝑥 ≤ 24

El significado de los puntos identificados en la gráfica se debe principalmente a la demarcación

de los intervalos de la función. De esta misma forma es necesario encontrar el volumen de los

siguientes cuerpos, mediante la formula:

𝑉

𝑇

= ∫ 𝜋(𝑓

( 𝑥

) )

2

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

En primer lugar, debemos estudiar el volumen del cuerpo de revolución en base a la

fórmula de la integral estudiada con anterioridad. Dando el volumen 𝑉

𝑇

como:

𝑉

𝑇

= 𝑉

1

• 𝑉

2

• 𝑉

3

𝑉

1

= ∫ 𝜋

( − 0 , 000078 𝑥

4

• 0 , 0040 𝑥

3

− 0 , 0673 𝑥

2

− 0 , 353 𝑥 + 3 , 842

)

2

𝑑𝑥

11

0

𝑉

2

= ∫ 𝜋

22

11

( 0 , 0060 𝑥

3

− 0 , 33 𝑥

2

• 5 , 78 𝑥 − 27 , 88

)

2

𝑑𝑥

𝑉

3

= ∫ 𝜋

( − 0 , 360 𝑥 + 10 , 35

)

2

𝑑𝑥

24

22

Por consiguiente, deberemos calcular el valor de cada una de las integrales con ayuda

de la calculadora gráfica, para después sumar los resultados y resolver el volumen de dicho

envoltorio:

𝑇

3

Utilizaremos las funciones que definen dicho envase, para más tarde calcular la

derivada de las mismas y calcular el volumen conforme a la suma de esas funciones delimitada

bajo la siguiente forma: 𝐴 = 2 𝜋 ∫ 𝑓

2

𝑏

𝑎

La función que delimita el recinto es:

4

3

2

3

2

De este modo, integraré las funciones tal y como he explicado durante el procedimiento,

y después haciendo la suma de las mismas con el objetivo de tomar en cuenta nuestra figura

curva al completo. Dando el área 𝐴 𝑇

como:

𝑇

1

2

3

Podemos sustituir los valores en la formula de la siguiente forma:

𝑨

𝟏

= 2 𝜋

∫ − 0 , 000078 𝑥

4

• 0 , 0040 𝑥

3

− 0 , 0673 𝑥

2

− 0 , 353 𝑥

11

0

• 3 , 842 √ 1 + (− 0 , 000312 𝑥

3

• 0 , 012 𝑥

2

− 0 , 1346 𝑥 − 0 , 353 )

2

𝑑𝑥

𝑨

𝟐

= 2 𝜋 ∫ 0 , 0060 𝑥

3

− 0 , 33 𝑥

2

• 5 , 78 𝑥 − 27 , 88 √ 1 +

( 0 , 018 𝑥

2

− 0 , 66 𝑥 + 5 , 78

)

2

𝑑𝑥

22

11

𝑨

𝟑

= 2 𝜋 ∫ − 0 , 360 𝑥 + 10 , 35 √ 1 +

( − 0 , 360

)

2

𝑑𝑥

24

22

Después de haber hecho el estudio del área y del volumen por separado, es momento de

crear una relación entre los mismos con el fin de poder comparar las ratios a posteriori. En este caso

la relación queda delimitada por:

𝐴

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 14 , 696 + 304 , 753 + 27 , 64 = 347 , 089 𝑐𝑚

2

Tal botella vendrá dada por la relación a continuación:

𝑉

𝐴

3 / 2

=

858 , 9714

6466 , 38

= 0 , 133

Los puntos identificados en la gráfica se ejemplifican como intervalos de la función, trazados

con el objetivo de calcular el área y el volumen en base a la siguiente formula:

𝑉

𝑇

= ∫ 𝜋(𝑔(𝑥))

2

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Así mismo, hemos de aplicar las funciones trazadas a la formula del volumen estudiada.

Dando el volumen 𝑉 𝑇

como:

𝑉

𝑇

= 𝑉

1

• 𝑉

2

𝑉

1

= 𝜋 × ∫ (− 0 , 0008 𝑥

3

• 0 , 0195 𝑥

2

− 0 , 171 𝑥 + 4 , 471 )

2

𝑑𝑥)

18 , 5

0

𝑉

2

= 𝜋 × ∫

( 0 , 076 𝑥

2

− 3 , 253 𝑥 + 34 , 44

)

2

𝑑𝑥)

18 , 5

24 , 4

Se ha introducido minuciosamente la ecuación en la calculadora correspondiente obteniendo

así́ el valor 𝑉 𝑇

≃ V

1

+V

2

Utilizaremos las funciones que definen dicho envase, para más tarde calcular la

derivada de las mismas y calcular el volumen conforme a la suma de esas funciones delimitada

bajo la siguiente forma:

𝐴 = 2 𝜋

∫

𝑓

( 𝑥

) √ 1 + (𝑓′(𝑥)

2

)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Las funciones delimitadas son:

𝑔

( 𝑥

) = {

− 0 , 0008 𝑥

3

• 0 , 0195 𝑥

2

− 0 , 171 𝑥 + 4 , 471 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 18 , 5

0 , 076 𝑥

2

− 3 , 253 𝑥 + 34 , 44 𝑠𝑖 18 , 5 ≤ 𝑥 ≤ 24 , 4

De este modo, integraré las funciones tal y como he explicado durante el procedimiento, y

después haciendo la suma de las mismas con el objetivo de tomar en cuenta nuestra figura curva al

completo:

𝐴 = 2 𝜋

∫

− 0 , 0008 𝑥

3

• 0 , 0195 𝑥

2

− 0 , 171 𝑥 + 4 , 471

√ 1 +

( 0 , 0024 𝑥

2

• 0 , 039 𝑥 − 0 , 171

)

2

𝑑𝑥

18 , 5

𝐴 = 2 𝜋 ∫

− 0 , 0008 𝑥

3

• 0 , 0195 𝑥

2

− 0 , 171 𝑥 + 4 , 471

√ 1 +

( 0 , 0024 𝑥

2

• 0 , 039 𝑥 − 0 , 171

)

2

𝑑𝑥

18 , 5

0

• 2 𝜋 ∫ 0 , 076 𝑥

2

− 3 , 253 𝑥 + 34 , 44 √ 1 + ( 0 , 152 𝑥 − 3 , 253 )

2

𝑑𝑥

24 , 4

18 , 5

=

Sumamos las áreas de los polígonos:

𝐴

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

≈ 517 , 309 + (− 5 , 477 ) = 511 , 83 𝑐𝑚

2

Tal botella vendrá dada por la relación a continuación:

𝑉

𝐴

3

2

=

867 , 64

11579 , 539

= 0 , 075

Resultados obtenidos

Tabla 1 - Comparativa del cálculo volumen/área de los envases estudiados.

Envase Relación A/V

0,

0,

0,

Botella 1

Botella 2

Tetraedro

regular

Fuente de elaboración propia

De esta manera fueron obtenidos todos los datos necesarios para poder extraer

conclusiones en el proceso de estudio. Asimismo, es de vital importancia tener en cuenta de

que a pesar de que el propósito fuera el utilizar cada vez menos plástico en los envases, el

objetivo principal era maximizar el cociente volumen/área

3/

de los cuerpos.

Limitaciones

Algunas de las limitaciones de la investigación han sido; en primer lugar, los aparatos

de medida de los objetos, ya que contábamos con un porcentaje de fallo que ha afectado a los

valores de volumen y área de los envases. Sin embargo, vemos que los resultados obtenidos no

son muy lejanos a los líquidos que portaban y que, por lo tanto, el margen de error es mínimo

e irrelevante.

Mayoritariamente esto se debe a que, a lo largo de la investigación, he ido ajustando

los campos en caso de redondeo; así como diferenciando los resultados con sus símbolos

correspondientes. Del mismo modo, se han producido errores en la simplificación de las figuras

geométricas para el cálculo del área. Limitando así los resultados, debido a es complicado

encontrar polinomios que describan correctamente dichas funciones y por ende el

desglosamiento de los mismos conlleva el riesgo de tener algún porcentaje de error mínimo.

Extensión y reflexión

En definitiva, un envase que cumpla su función con el menor uso de material posible ya que

se trata de materiales contaminantes. En primer lugar, se ha estudiado el tetraedro regular del

matemático Rausing, debido a que teóricamente había conseguido crear el modelo “ideal” a

partir de una figura tetraédrica. De este modo después del análisis del mismo y la

comparación con dos envases de supermercado se ha podido ver como, gracias a los datos

obtenidos, el envase es el menos óptimo con respecto a los utilizados actualmente, creando una

posible hipótesis respecto a los nuevos envases y a sus optimizaciones en mayores medidas

debido a procesos de marketing, comercialización y reciclaje entre otros.

Esta investigación me ha ayudado a volver a interesarme por los temas relacionados con el

medioambiente, pero esta vez de una manera mucho más analítica. Dándome cuenta de que no

es crucial el erradicar la contaminación de lleno, sino en estudiar cómo podemos pararla lo

máximo posible estudiando nuestros hábitos de vida de una forma analítica.

Asimismo, he descubierto las aplicaciones reales del cálculo de integrales, aprendiendo

más en profundidad el cálculo de volúmenes y sus errores por falta de precisión por las

aproximaciones. Del mismo modo, en el caso de que pudiese repetir dicha investigación con

más conocimiento, me adentraría en la interpolación cúbica por trozos y a la búsqueda de

superficies para obtener datos más exactos; con el objetivo de realizar un análisis más

exhaustivo. Al igual que la ampliación de mi conocimiento sobre el uso de la aplicación

GeoGebra.

Finalmente, un buen caso de aplicación adicional hubiera implementado sellos en los

envases, proporcionando la optimización del mismo, para que el consumidor en los

supermercados sea consciente de que envase está comprando y cuanto contiene.