GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sýu tầm by hoangly85
id11701062 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions, Schemes and Mind Maps of Mathematics
Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions
Typology: Schemes and Mind Maps
2023/2024
1 / 146
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Related documents
Partial preview of the text
Download Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!
B‡i 1 Giới hạn v‡ liÍn tục
I. SỐ THỰC V¿ H¿M SỐ
1.C·c số thực v‡ ˝ờng thẳng thực C·c số thực l‡ những số cÛ thể biểu diễn d˝ới dạng thập ph‚n nh˝ :
trong Û dấu ba chấm ( ) chỉ d„y c·c k˝ số sau dấu chấm thập ph‚n kÈo d‡i ến vÙ hạn. C·c số thực cÛ thể ˝ợc biểu diễn về mặt hÏnh học bởi c·c iểm trÍn 1 ˝ờng thẳng, ˝ợc gọi l‡ ˝ờng thẳng thực nh˝ minh họa d˝ới ‚y:
Tập hợp tất cả c·c số thực (hay ừng thẳng thực ) sẽ ˝ợc k˝ hiệu l‡ R. TrÍn tập hợp c·c số thực ta cÛ hai phÈp to·n cı bản + v‡ * với một số tÌnh chất ại số quen thuộc „ biết. Từ Û ta cũng cÛ phÈp to·n trừ (-) v‡ phÈp chia (/) cho số kh·c 0.
Ngo‡i ra trÍn R ta cũng cÛ một thứ tự thÙng th˝ờng v‡ với thứ tự n‡y ta cÛ một số tÌnh chất ˝ợc viết d˝ới dạng c·c bất ẳng thức nh˝ sau: Nếu a,b, v‡ c l‡ c·c số thực thÏ ta cÛ a < b a+c <b+c a < b a-c <b-c a < b v‡ c > 0 ac <bc
Ghi ch˙ : Ng˝ời ta cÚn chứng minh ˝ợc rằng R cÛ tÌnh chất ầy ủ. Theo tÌnh chất n‡y thÏ mọi tập số thực kh·c rỗng bị chặn trÍn ều cÛ cặn trÍn ˙ng (tức l‡ chặn trÍn nhỏ nhất). T˝ıng tự , mọi tập số thực kh·c rỗng bị cÛ chặn d˝ới ˙ng. K˝ hiệu "gi· trị tuyệt ối: Gi· trị tuyệt ối của một số thực x ,k˝ hiệu bởi |x|, ˝ợc ịnh nghĩa nh˝ sau :
Từ Û ta cÛ một số tÌnh chất d˝ới ‚y:
(1) Với mọi
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) L˝u ˝ rằng về mặt hÏnh học , x biểu diễn khoảng c·ch từ iểm x ến iểm 0 trÍn ˝ờng thẳng thực. Tổng qu·t hın l‡ : x-y = khoảng c·ch giữa x v‡ y
2. H‡m số - ịnh nghĩa: Một h‡m số f từ một tập D v‡o IR l‡ một quy tắc cho ứng với mỗi x D l‡ một phần tử duy nhất f (x) R. Một h‡m số th˝ờng ˝ợc cho d˝ới dạng cÙng thức nh˝ c·c vÌ dụ sau:
Khi h x m‡ g(x) x·c‡m số ˝ ợịc cho bnh ˝ợởc gi mọi l‡ột cÙng th miền x·cức nh ịnh c˝ h‡m sủa h‡m số g(x)ố (^) .ở trÍn thÏ tập hợp tất cả c·c
VÌ dụ: Miền x·c ịnh của h‡m số l‡ tập hợp c·c số thực x sao cho : x^2 4 0 x -2 hay x 2 Vậy miền x·c ịnh l‡ : ( - , -2 ] [ 2 , )
- ồ thị của h‡m số:
- ồ thị của h‡m số f l‡ ˝ờng biểu diễn trong mặt phẳng Oxy cÛ ph˝ng trÏnh y=f(x). NÛ bao gồm tất cả c·c iểm (x , f(x)) với x chạy trong miền x·c ịnh của h‡m số. VÌ dụ :
– ồ thị h‡m số y = x^2
– ồ thị h‡m số y = x3/
III. C¡C DẠNG V‘ – ỊNH
1. H‡m t˝ıng ˝ıng ,VCB ,VCL
- ịnh nghĩa 1: Cho hai h‡m số f(x)v‡ g(x) khÙng triệt tiÍu trong một khoảng quanh xo ( cÛ thể loại trừ xo). Ta nÛi f(x) t˝ıng ˝ıng với g(x) khi x -> xo nếu:
Khi ấy , ta viết : f(x) g(x) khi x -> xo Hoặc l‡ : khi x -> xo , f(x) g(x) TÌnh chất : Khi x -> xo (i) f(x) g(x) (ii) f(x) g(x) g(x) f(x) (iii) f(x) g(x) v‡ g(x) h(x) f(x) h(x) VÌ dụ : Khi x -> 0, ta cÛ : sin x ~ x ln(1+x) ~ x
tg x ~ x ex -1 ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x
- ịnh nghĩa 2: Cho f (x) x·c ịnh quanh xo (cÛ thể loại trừ xo). Ta nÛi f (x) l‡ một ại l˝ợng vÙ c˘ng bÈ khi x -> xo viết tắt l‡ VCB , khi
Trong tr˝ờng hợp ta cÛ (hoặc + , hoặc - ) ta nÛi f (x) l‡ vÙ c˘ng lớn (viết tắt l‡ VCL) khi x -> xo VÌ dụ:
Khi x -> 0 , ta cÛ x, ln(1+x), 1 cos x l‡ c·c VCB.
Khi x -> 0+, ta cÛ ln(x), l‡ c·c VCL Khi x -> + , ta cÛ x, ln(x), ex l‡ c·c VCL
Ghi ch˙ : C·c kh·i niệm về h‡m t˝ıng ˝ıng, VCB v‡ VCL cũng ˝ợc ịnh nghĩa t˝ıng tự nh˝ hai ịnh nghĩa trÍn khi xÈt giới hạn ở vÙ tận, tức l‡ khi xÈt x - > , hoặc x -> + , hoặc x -> -.
2. Bảy dạng vÙ ịnh. Giả sử ta xÈt giới hạn của f(x) v‡ g(x)trong c˘ng một q˙a trÏnh biến ổi của x.Khi Û
Ta nÛi f (x) g (x) cÛ dạng vÙ ịnh - nếu f (x) v‡ g (x) c˘ng tiến về + (hoặc l‡ - ).
Ta nÛi f(x).g (x) cÛ dạng vÙ ịnh o . nếu: f (x) l‡ VCB v‡ g (x) l‡ VCL , hoặc l‡: f (x) l‡ VCL v‡ g (x) l‡ VCB
Ta nÛi cÛ dạng vÙ ịnh nếu f(x) v‡ g (x) ều l‡ c·c VCB
Ta nÛi cÛ dạng vÙ ịnh nếu f(x) v‡ g(x) ều l‡ c·c VCL
Ta nÛi f(x) g(x)^ cÛ dạng vÙ ịnh 0^0 khi f (x) v‡ g (x) ều l‡ c·c VCB.
Ta nÛi f(x) g(x)^ cÛ dạng vÙ ịnh 0 nếu f(x) -> + v‡ g (x) l‡ VCB.
Ta nÛi f (x) g(x)^ cÛ dạng vÙ ịnh 1 nếu f(x) -> 1 v‡ g (x) l‡ VCL.
3. Quy tắc thay thế t˝ıng ˝ıng khi tÌnh giới hạn. - ịnh l˝ : Giả sử ta xÈt giới hạn trong một qu· trÏnh biến ổi của x. khi ấy : f (x) ~ g (x) v‡ g (x) cÛ giới hạn L f(x) cÛ giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vÙ hạn)
(i) f (x) cÛ c˘ng cấp với g (x) nếu
(ii) f(x) cÛ cấp cao hın g (x) nếu
(iii) f(x) cÛ cấp thấp hın g(x) nếu
VÌ dụ: Khi x -> + , ta cÛ x v‡ c˘ng cấp , x3/2^ cÛ cấp cao hın
- ịnh l˝: Giả sử f (x) v‡ g(x) l‡ c·c VCB khi x -> a .Ta cÛ: (i) Nếu f(x) cÛ cấp nhỏ hın g(x) thÏ f(x) g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f(x) c˘ng cấp g(x) v‡ f(x) ~ f 1 (x), g(x) ~ g 1 (x) thÏ : f(x) - g(x) ~ f 1 (x) - g 1 (x) với iều kiện f(x) v‡ g(x) khÙng t˝ıng ˝ıng. - ịnh l˝: Giả sử f(x) v‡ g(x) l‡ c·c VCL khi x -> a. Ta cÛ: (i) Nếu f(x) cÛ cấp lớn hın g(x) thÏ: f(x) g(x) ~ f(x) khi x->a (ii) Nếu f v‡ g c˘ng cấp nh˝ng khÙng t˝ıng ˝ıng, v‡: f(x) ~ f 1 (x), g(x) ~ g 1 (x) thÏ : f(x) - g(x) ~ f 1 (x) - g 1 (x) VÌ dụ: Khi x - > + , ta cÛ: 3x^4 + x + 1 ~ 3x^2
IV. KHỬ DẠNG V‘ – ỊNH
Nh˝ „ biết , ta cÛ thể d˘ng c·c quy tắc tÌnh giới hạn trong tr˝ờng hợp khÙng phải dạng vÙ ịnh v‡ c·c quy tắc thay thế t˝ıng ˝ıng ể tÌnh giới hạn. Trong tr˝ờng hợp
gặp c·c dạng vÙ ịnh : - , 0. , , v‡ ta cÛ thể ph‚n tÌch biểu thức ể ın giản hay thực hiện c·c quy tắc thay thế t˝ıng ˝ıng , ặc biệt l‡ ·p dụng việc thế t˝ıng ˝ıng cho VCB v‡ VCL ˝ợc trÏnh b‡y trong c·c ịnh l˝ ở mục II ở trÍn. – ối với c·c dạng vÙ ịnh 0^0 , 1 v‡ 0 ta th˝ờng d˘ng cÙng thức biến ổi sau ‚y :
(u > 0) rồi xÈt giới hạn của v. lnu
Hospitale. Quy t^ Ngo‡i ra ,^ ối vắc n‡y sới^ c·c dẽ ạng vÙ˝ợc tr^ Ïnh b‡y trong phịnh^ v‡^ ta cầÚn cÛ thn ·p dụểng c^ ·p dủaụ ng quy tạo h‡m trongắc L ch˝ıng sau. D˝ới ‚y ch˙ng ta sẽ xÈt một số vÌ dụ minh họa cho c·c ph˝ıng ph·p khử dạng vÙ ịnh nÍu trÍn. VÌ dụ 1 :
TÏm v‡ Khi x -> + , ta cÛ :
Khi x -> + , ta cÛ :
~
Vậy: VÌ dụ 4:
TÌnh giới hạn
Ta cÛ dạng vÙ ịnh. Biến ổi:
Khi x ,ta cÛ:
VÏ
Suy ra
V‡
V. H¿M SỐ LI N TỤC
1. – ịnh nghĩa (i) Cho h‡m số f(x) x·c ịnh trÍn một khoảng chứa xo. Ta nÛi f(x) liÍn tục tại xo nếu
(ii) Cho f (x) x·c ịnh trÍn với [ xo, xo + ] với s > 0. Ta nÛi f (x) liÍn tục bÍn phải tại xo nếu:
(iii) Cho f(x) x·c ịnh tÍn ( xo - , xo ] với s > 0 Ta nÛi f(x) liÍn tục bÍn tr·i tại xo nếu:
Mệnh ề: f liÍn tục tại xo <=> f liÍn tục bÍn tr·i v‡ liÍn tục bÍn phải tại xo
- ịnh l˝: Cho f(x) v‡ g(x) l‡ c·c h‡m số liÍn tục tại xo. Khi Û ta cÛ : (i) f(x) + g(x) v‡ f(x). g (x) cũng liÍn tục tại xo
(ii) liÍn tục tại xo với iều kiện (iii) f (x) liÍn tục tại xo.
- ịnh l˝: Nếu h‡m số f(x) liÍn tục tại xo v‡ h‡m số g(u) liÍn tục tại uo = f(xo) thÏ h‡m số hợp h (x) =gof(x) liÍn tục tại xo.
2.TÌnh chất của h‡m h‡m số liÍn tục trÍn một oạn
- ịnh nghĩa: H‡m số f(x) ˝ợc gọi l‡ liÍn tục trÍn oạn [a,b] nếu: (i) f(x) liÍn tục trÍn khỏang (a,b) ,tức l‡ f (x) liÍn tục tại mọi xo (a,b) (ii) f(x) liÍn tục bÍn phải tại a. (iii) f(x) liÍn tục bÍn tr·i tại b.
3.TÌnh giới hạn :
4.X·c ịnh a v‡ b sao cho c·c h‡m số sau ‚y l‡ liÍn tục trÍn IR.
5.Chứng minh rằng ph˝ıng trÏnh 2x^3 6x+1= CÛ 3 nghiệm trÍn oạn [-2,2] 6.Chứng minh rằng c·c ph˝ıng trÏnh sau ‚y cÛ nghiệm : 2x^2 5x^3 -2x-1= 2 x^ +3x^ = 6x
PT l‡ tiếp tuyến tại
Hệ số gÛc của tiếp tuyến với ˝ờng cong l‡ Vậy ph˝ıng trÏnh tiếp tuyến với ồ thị h‡m số y = f (x) tại Mo(xo f(x) l‡: y-yo = f(xo). (x- xo) trong Û yo =f(xo)
2. LiÍn hệ giữa ạo h‡m v‡ tÌnh liÍn tục - ịnh l˝: nếu f(x) liÍn tục tại xo thÏ f(x) liÍn tục tại xo 3. Bảng ạo h‡m thÙng dụng (1) C=0 (C l‡ hằng số)
(2)
ặc biệt: (3) (sin x)= cos x (4) (cos x) = -sin x
(5)
(6)
II. C¡C QUY TẮC TÕNH – ẠO H¿M
1.–ạo h‡m của tổng, hiệu, tÌch , th˝ıng
- ịnh l˝: Nếu u(x) v‡ v(x) ều cÛ ạo h‡m theo biến x thÏ ta cÛ: (u + v)= u+ v (u.v)= u.v+u.v
Hệ quả : (u 1 +u 2
un )=u 1 +u 2 +
+un
2. – ạo h‡m của h‡m số hợp - ịnh l˝: