Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
greaattttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt one
Typology: Exams
1 / 17
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
------ oOo ------ Họ và tên: Lê Minh Đức Mã số sinh viên: 20020291 Lớp: Toán rời rạc INT1050_ Giáo viên: Lê Phê Đô TIỂU LUẬN MÔN: TOÁN RỜI RẠC ĐỀ TÀI: HÃY TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP CAYLEY DÙNG CÂY ĐỂ TÍNH SỐ ĐỒNG PHÂN HIDROCACBON TP. Hà Nội, Ngày 21,Tháng 5, Năm 2021
Nhận xét của giáo viên : ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ………………………………………………………………
Năm 1875, Cayley đã cố gắng liệt kê các ankan C n H 2 n +2, hoặc tương đương n -node cây không có nhãn trong đó mỗi nút có mức độ tối đa là 4 và xuất bản một ghi chú ngắn [Cay75] chứa bảng: N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Trung tâm 1 0 1 1 2 2 6 9 20 37 86 183 419 (1) bicentered 0 1 0 1 1 3 3 9 15 38 73 174 380 (2) tất cả 1 1 1 2 3 5 9 18 35 75 159 357 799 (3) (Các thuật ngữ "trung tâm" và "bicentered" được định nghĩa phía dưới.) Bảng này được Busacker và Saaty tái bản vào năm 1965 [BuS65]và ba chuỗi được bao gồm trong [HIS]. Trên thực tế, hai cột cuối cùng là do nhầm lẫn, như đã được Herrmann chỉ ra vào năm 1880 [Her80]. Herrmann sử dụng một phương pháp khác với Cayley, và đưa ra các giá trị chính xác 355 (cho n = 12) và 802 (cho n = 13) cho chuỗi (3). Tuy nhiên, cả trong [Her80] cũng như trong hai ghi chú sau này của ông [Her97], [Her98] ông không đề cập đến các chuỗi (1) và (2). Trình tự alkane (3) cũng được thảo luận trong các tác phẩm của [Los97a], Henze và Blaire [HeB31],Perry [Per32], Polya [Polya36], [Polya37], Harary và Norman [HaN60], Lederberg [Led69], Schiff Losanitsch [Los97], Đọc [Rea76], Harary và Balaban [RoHB76], và Bergeron, Labelle và Leroux [BeLL98]. Hàm tạo đơn giản nhất là do Harary và
Một cây có đường kính 2 m có một nút độc đáo được gọi là trung tâm , ở điểm giữa của bất kỳ con đường nào có chiều dài 2 m. Một cây có đường kính 2 m + 1 có một cặp nút độc đáo được gọi là bicenters , ở giữa bất kỳ con đường nào có chiều dài 2 m + 1. Các thuật ngữ này được Jordan giới thiệu vào khoảng năm 1869([Har69],tr. 35). Cách tiếp cận của Cayley [Cay75] để đếm ankan sử dụng các khái niệm về trung tâm và trung tâm để giảm vấn đề cho các câu hỏi đơn giản hơn về cây rễ. Điều này hóa ra là một cách khó xử để tấn công vấn đề (vì khái niệm đường kính không liên quan) và có thể giải thích tại sao không ai khác sử dụng phương pháp này. Đơn giản hơn là sử dụng khái niệm "centroid" và "bicentroid", cũng do Jordan (xem Harary [Har69], tr. 36, để định nghĩa). Năm 1881, Cayley [Cay81] đã tìm thấy sự tái phát đối với số lượng cây n -node với một centroid (trình tự A676) và với một bicentroid (A677), cho ông một cách đơn giản hơn để liệt kê các cây chưa được trồng (A55). Tuy nhiên, theo như chúng ta biết Cayley đã không sử dụng phương pháp centroid / bicentroid để liệt kê ankan (A602). Điều này dường như lần đầu tiên được thực hiện bởi Polya [Polya36], [Polya37] vào năm 1936.
Tuy nhiên, mối quan tâm của chúng tôi ở đây là với những cây tập trung và hai trung tâm. Chúng tôi sẽ nói rằng một cái cây là k-valent nếu mức độ của mỗi nút là nhiều nhất k. Ankan chính xác là những cây 4 giá trị. Chúng tôi cũng xem xét cây có rễ và xác định một cây có rễ b-ary là cây trống hoặc cây rễ trong đó mức độ ngoài của mọi nút (hóa trị không bao gồm cạnh kết nối nó với gốc) nhiều nhất là b. Điều này khái quát hóa khái niệm về một cây có rễ nhị phân, trường hợp b = 2, đó là cây trống hoặc cây rễ trong đó mỗi nút có 0, 1 hoặc 2 con trai. (Tài liệu chứa một số định nghĩa khác về cây nhị phân và b - ary. Những thuật ngữ này đôi khi đề cập cụ thể đến cây planar. Cây của chúng tôi không phải là ván, và đặc biệt không có khái niệm về bên phải hay bên trái.) Chúng tôi sẽ tìm thấy các chức năng tạo cho cây k- valent trung tâm và hai trung tâm. Sửa chữa k, và để Th,n là số lượng ( k -1) -ary rễ cây với n nút và chiều cao nhiều nhất h. (Chiều cao của một nút trong cây đã root là số cạnh nối nút với gốc.) Theo quy ước, cây trống có chiều cao -1. Hãy để Th ( z ) = SUM (^) n > = 0 T (^) h, n z n
. Sau đó T -1 ( z ) = 1, T 0 ( z ) = 1 + z và đối với h >1, Th +1( z ) = 1 + z S k -1( T h ( z )), (4) trong đó S m ( f ( z )) biểu thị kết quả thay thế f ( z ) vào chỉ số chu kỳ cho nhóm đối xứng của thứ tự m !. Ví dụ, S 3 ( f ( z ) = ( f ( z ) 3 +3 f ( z ) f ( z 2 ) + 2 f ( z 3 )) / 3!.
valent hai trung tâm với n nút và để B ( z ) = SUM (^) n > = 0 B (^) n z n
. Vì một cây hai trung tâm tương ứng với một cặp cây có rễ không có thứ tự ( k -1) - cây có chiều cao chính xác h , chúng tôi có B 2 h +1( z ) = S 2 ( T h ( z ) - Th -1( z )) , và sau đó B ( z ) = SUM h > = 0 B 2 h +1( z ). Đối với k = 4 chúng tôi có được B ( z ) = z 2
Nếu chúng ta đặt k = 3 trong công thức trên (tương ứng với cây 3 giá trị trung tâm, hai trung tâm và không hạn chế), chúng ta sẽ có được các chuỗi A675, A673 và A672, trong đó các thuật ngữ ban đầu được Cayley xuất bản (chính xác) trong một bài báo năm 1875 khác [Cay75a], và các thuật ngữ khác đã được tính toán bởi R. W. Robinson vào năm 1975 [Rob75].
Hình 2. Ví dụ về (a) cây trung tâm và (b) cây hai tâm. Lấy cảm hứng từ công trình của Sylvester về việc trao đổi các biến trong tính toán vi phân, Cayley4 bắt đầu khái niệm cây toán học. Theo thuật ngữ hiện đại, cây có rễ được liệt kê bởi sự mở rộng chuỗi của một hàm f(x) của một biến độc lập x như được thể hiện trong phương trình ( ). f(x) = xe^f(x) (1) Sau đó, công thức của Otter( 8 ): F(x) = f(x)- 1/2{[f(x)]^2 –f(x^2)} được sử dụng để chiết xuất cây không có rễ (xem Hình 3). Cayley không giới hạn số lượng các dòng kết nối với một nút trong cây đến bốn, nhưng bốn tình cờ là hóa trị của một nguyên tử carbon trong tất cả các hợp chất hữu cơ. Chúng tôi có thể áp dụng sơ đồ của Cayley trong các hợp chất hữu cơ và bao gồm các nguyên tử thiết yếu khác như nitơ, oxy và halogen. Trong Phần III và IV, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ của Cayley trên lớp phân tử hữu cơ đơn giản nhất, chuỗi alkane (CnH2n +2), để minh họa hai điểm. Một là cho thấy kế hoạch của ông tuân thủ khái niệm cấu trúc hóa học như thế nào, mặc dù bản thân ông đã đối xử với loạt alkane khác nhau như thế nào - bằng cách đếm 4 cây trung tâm và hai tâm. Vấn đề khác là vấn đề trung tâm của bài báo này: Các nguyên tố hóa học
có thể đóng vai trò là các biến toán học và phương trình là nguồn tạo ra các công thức hóa học. Hình 3. Ví dụ về rễ trên cây: (a) rễ; (b) không có root. Về bản chất, bản năng vẽ của chúng ta không hoàn toàn hoạt động trên các cấu trúc hóa học. Chiến lược đúng đắn là lùi lại một bước và tìm tất cả các cấu trúc đã root (có nhãn) trước tiên, như được hiển thị trong Phần III, và sau đó bỏ gắn nhãn chúng, như trong Phần IV. Tham khảo A. Cayley, Rep. Br. Assoc. Adv. Sci., 257-304 (1875).
[Led69] J. Lederberg, Topology of molecules, tr. 37- of The Mathematical Sciences , M.I.T. Press, Cambridge, MA, 1969. [Los97] S.M. Losanitsch, Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe, Ber. deutsch. chem. Ges. , 30 (1897), 1917-1926. [Los97a] S.M. Losanitsch, Bemerkungen zu der Hermannschen Mittheilung: Die Anzahl der isomeren Paraffine, Ber. deutsch. chem. Ges. , 30 (1897), 3059-3060. [Per32] D. Perry, Số lượng đồng phân cấu trúc của một số đồng phân của một số đồng phân của metan và methanol, J. Amer. Chem. Soc. , 54 (1932), 2918-2920. [Polya36] G. Polya, Đại số Berechnung der Anzahl der Isomeren einiger organischer Verbindungen, Zeit. f. Kristall. , 93 (1936), 415-443. [Polya37] G. Polya, Kombinatorische Abzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen, Acta Math. 68 (1937), 145-
[Rea76] R.C. Read, Liệt kê các hợp chất hóa học tuần hoàn, các trang 25-61 của A. T. Balaban, chủ đề, Ứng dụng hóa học của lý thuyết đồ thị, Báo chí học thuật, NY, 1976. [Rob75] R. W. Robinson, giao tiếp cá nhân, 1975. [RoHB76] R. W. Robinson, F. Harary và A. T. Balaban, Số lượng ankan chiral và achiral và ankan thay thế đơn, Tứ diện , 32 (1976), 355-361. [Sch75] H. Schiff, Zur Statistik chemischer Verbindungen, Ber. deutsch. chem. Ber. , 8 (1875), 1542-
[HIS] N. J. A. Sloane, Cẩm nang trình tự số nguyên, Báo chí học thuật, NY, 1973. [EIS] N. J. A. Sloane, Bách khoa toàn thư trực tuyến về trình tự số nguyên , được xuất bản điện tử tại www.research.att.com/~njas/sequences/.
