Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
PORTFOLIO U3 MAT. METHODS MADE BY EMILIO HERNANDEZ 2025
Typology: Exercises
1 / 34
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
El presente documento de trabajo, correspondiente a la carrera de Ingeniería Civil
del Tecnológico de Mérida, elaborado por los alumnos Armando Pérez López y José
Emilio Hernández González para la materia de Métodos Numéricos del grupo 3CB,
tiene como objetivo mostrar de manera detallada y paso a paso la resolución de
problemas de interpolación.
Este documento permite comprender cómo se aplica el método de interpolación de
Newton por diferencias divididas para estimar valores desconocidos a partir de un
conjunto de datos discretos. Se destaca tanto el fundamento teórico de los
polinomios de órdenes 1 a 4 como las técnicas prácticas para su implementación
en hojas de cálculo.
Cada problema se analiza enfatizando la selección de los puntos base más
apropiados para alcanzar la mayor exactitud posible. Se detalla el cálculo de los
coeficientes del polinomio () y se evalúa la precisión de las estimaciones mediante
el cálculo del error absoluto y relativo. Además, se explora la interpretación de los
resultados —como el significado de que un coeficiente de orden superior sea cero—
y cómo esto revela la naturaleza del polinomio que genera los datos.
Finalmente, se subraya la importancia de estas técnicas en la práctica profesional
de la ingeniería civil para modelar comportamientos, completar datos
experimentales y tomar decisiones informadas a partir de mediciones limitadas.
La interpolación se usa para estimar valores intermedios entre datos definidos por
puntos.
La interpolación lineal busca unir dos
puntos con una línea recta, usando
triángulos semejantes. Se traza una
recta entre dos puntos conocidos, y para
encontrar el valor Y en un punto X
intermedio, simplemente se busca que
punto sobre esa recta corresponde a x.
Es rápida y sencilla, pero en ciertos casos no muy precisa. Solamente es un método
ideal para datos que se comportan de manera aproximadamente lineal.
Estime el logaritmo natural de 2 mediante la interpolación lineal. Primero, realice el
cálculo por interpolación en y. Después, repita el procedimiento |pero
use un intervalo menor de
Ln(1)= 0
Ln(6)= 1.
Pasos para realizar:
para x = 2
intervalo menor de ln(1) a ln(4), entonces quedaría de la siguiente forma:
Ln(1)=
Ln(4)=1.
Esto nos deja el ejercicio 1 de la siguiente forma:
Inciso a):
X f(x)
1 0
6 1.79175947 x 2
Posicion 1
xo 1 f(xo) 0
x1 6 f(x1) 1.
f(x) 0.
Inciso b):
X f(x)
1 0
4 1.38629436 x 2
Posicion 1
xo 1 f(xo) 0
x1 4 f(x1) 1.
f(x) 0.
Estime el logaritmo natural de 2 mediante la interpolación lineal entre 1.5 y 2.
Este ejercicio lo realizamos totalmente en Excel.
X f(x)
1.5 0.
2.5 0.91629073 x 2
Posicion 1
xo 1.5 f(xo) 0.
x1 2.5 f(x1) 0.
f(x) 0.
El polinomio de interpolación de Newton
de segundo grado es empleado para
encontrar la parábola única que pasa
exactamente por tres puntos
conocidos
𝑜
𝑜
1
1
2
2
para
tener una estimación más exacta.
2
0
1
𝑜
2
𝑜
1
0
𝑜
1
1
0
1
0
2
2
1
2
1
1
0
1
0
2
0
En Excel redactamos una plantilla que nos quedó así:
Donde x y f(x) son celdas vacías donde debemos poner los intervalos y la función
evaluada en esos intervalos, y donde I3 es el valor de x a interpolar, de forma tal que
I4 arroje el resultado de inmediato.
Para sacar b(o) =B
Para sacar b(1)=(B3-B2)/(A3-A2)
Para sacar b(2) =(((B4-B3)/(A4-A3))-D2)/(A4-A2)
Dándonos el siguiente resultado:
x f(x) b(0) b(1) b(2)
1 0 0 0.462098 - 0.
4 1.386294 VALOR DE X A INTERPOLAR 2
6 1.7917 VALOR INTERPOLADO F(X) 0.
Evaluar con los puntos dados para hallar Ln(2), calcule error relativo porcentual
con respecto al valor real:
Ln(1)=
Ln(3)=1.
Ln(4)=1.
x f(x) b(0) b(1) b(2) VALOR VERDADERO 0.
1 0 0 0.549306144 - 0.
3 1.09861229 VALOR DE X A INTERPOLAR 2
4 1.38629436 VALOR INTERPOLADO F(X) 0.
ERROR 8.17%
X f(x) VALOR VERDADERO 1
8 0.
12 1.079181246 x 10
Posicion 1
xo 8 f(xo) 0.
x1 12 f(x1) 1.
f(x) 0.991135617 Error 0.89%
X f(x)
9 0.
11 1.041392685 x 10
Posicion 1
xo 9 f(xo) 0.
x1 11 f(x1) 1.
f(x) 0.997817597 Error 0.22%
Ajuste un polinomio de interpolación de segundo orden para estimar el log 10, con los
datos del problema anterior en x=8, 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual
verdadero.
x f(x) b(0) b(1) b(2) VALOR VERDADERO: 1
8 0.90308999 0.903089987 0.051152522 - 0.
9 0.
VALOR DE X A
INTERPOLAR 10
11 1.04139269 VALOR INTERPOLADO F(X) 1.
Error: 0.03%
3
3
2
3
2
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
1
0
1
0
2
0
3
0
Los datos X(0)=1, X(1)=4 y X(2)=6 se utilizaron para estimar Ln(2) mediante una
parábola, ahora, agregando un cuarto punto X(3)=5 estime Ln(2) con un polinomio de
interpolación de Newton de tercer grado.
ln
ln
ln
( 0 , 1 )
( 1 , 2 )
( 2 , 3 )
( 0 , 1 , 2 )
( 1 , 2 , 3 )
5 − 4
( 1 , 2 , 3 )
Esta vez ajustamos b(3) para que quede de la siguiente forma:
Y ajustamos f(x) para que quede así:
A3)*(J3-Tabla681315[@x]))
x f(x) b(0) b(1) b(2) b(3)
1 0 0 0.46209812 - 0.051873113 0.
4 1.38629436 VALOR DE X A INTERPOLAR 2
6 1.79175947 VALOR INTERPOLADO F(X) 0.
5 1.
Valor real 0.
ERROR 9.29%
x f(x) b(0) b(1) b(2) b(3)
8 0.90309 0.90309 0.0511525 - 0.0025258 0.
9 0.9542425 VALOR DE X A INTERPOLAR 10
11 1.0413927 VALOR INTERPOLADO F(X) 1.
12 1.
Valor real 1
ERROR 0.0045%
Dados los datos:
F(x) 2 8 14 16 8 2
Calcule f(2.8) con el uso de polinomios de interpolación de newton de órdenes 1 a
posible para sus estimaciones.
( )
( )
( )
( )
( )
