Pruebas de Hipótesis para 2 o más Medias: ANOVA - EST218, Exercises of Global studies

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Estadística

para

Ingeniería

EST

Maria Teresa Villalobos Aguayo

[email protected]

Pruebas de

Hipótesis

para 2 o más medias

ANOVA

Introducción

¿Qué hacemos si nos piden comparar las medias de 3 grupos?

𝐻𝑜: 𝜇 1

= 𝜇 2

= 𝜇 3

En vez de usar comparación por pares, surge:

AN ALYSIS O F VA RIANCE - ANOVA

Sirve para analizar una variable 𝑋 en dos o más grupos!

Análisis de varianza de una vía

(one way ANOVA)

La hipótesis nula que se considera es que las muestras en dos o

más grupos vienen de poblaciones con la misma media.

Muestra 1 Muestra 2 Muestra k

ത 𝑋 1

𝑆 1

2

ത 𝑋 2

𝑆 2

2

ത 𝑋 𝑘

𝑆 𝑘

2

…

…

H

0

: 𝜇

1

= 𝜇

2

= ⋯ = 𝜇

𝑘

Supuestos

Variable de estudio sigue una distribución normal

dentro de cada grupo.

Se tiene muestras independientes (cada uno de los grupos es

independiente de los otros).

La varianzas de las muestras(grupos) son iguales.

independientes independientes

Variabilidad ENTRE grupos y DENTRO de los grupos.

Variabilidad ENTRE grupos Variabilidad DENTRO de los grupos

■ Variabilidad ENTRE grupos >> Variabilidad

DENTRO de los grupos

■ => Se rechaza 𝑯

𝟎

: que las medias son

iguales

y se acepta 𝑯

𝟏

: que al menos una de las

medias es diferente

𝑿 𝟏

𝑿 𝟑 𝑿 𝟐

Estadístico de prueba:

𝑜

Para probar la media para 𝑘 grupos

Fuente de

Variación

Suma de Cuadrados

(SC/SS)

Grados de

Libertad

Cuadrado Medio

(CM/MS)

𝑭 𝒐

𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓

Entre grupos

SSTrat = ෍ ෍

ഥ 𝑌 𝑖

−

ത 𝑌

2

𝑘 − 1 𝑀𝑆 𝑇𝑟𝑎𝑡

=

σ σ

ഥ 𝑌 𝑖

−

ത 𝑌

2

k − 1

𝑭 𝒐

=

𝑴𝑺 𝑻𝒓𝒂𝒕

𝑴𝑺 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓

𝑷(𝑭 > 𝑭 𝟎

)

Error (Dentro)

SSError = SSTo𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎𝑡

= ෍ Y ij

−

ഥ 𝑌 𝑖

2 𝑁– k 𝑀𝑆 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

=

σ Y ij

−𝑌 𝑖

2

𝑁−k

Total

𝑆𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍ ෍ Y ij

−

ഥ Y

2

𝑁– 1

𝑁: Número total de observaciones.

𝑛: Número de observaciones en cada grupo.

𝑘: Número de grupos.

Regla para rechazo 𝑯 𝟎

:

𝑭 𝟎

𝑭 𝟏 − 𝜶, 𝒌 − 𝟏, 𝑵 − 𝒌

ó

𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 < 𝜶

Tabla ANOVA

𝐻

: 𝜇

= 𝜇

= ⋯ = 𝜇

𝐻

: Existe 𝑖, 𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, tal que: 𝜇

≠ 𝜇

Tabla ANOVA

Origen de las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de

los cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F

Entre grupos 78.4216 4 19.6054 6.586508096 0.001497104 2.

Dentro de los grupos 59.532 20 2.

Total 137.9536 24

Ejemplo: Pastillas para la fiebre

Hipótesis:

H

: 𝜇

= 𝜇

= 𝜇

= 𝜇

= 𝜇

H

: Al menos una de las pastillas tiene un efecto diferente.

𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟗𝟕

es menor a 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

Se rechaza 𝐻 𝑜

. Se rechaza que

todas las pastillas tengan el mismo

efecto para aliviar la fiebre.

Ejemplo – cafeína y memoria

En un estudio sobre los efectos de la cafeína en la memoria a corto plazo. Se realizo

un experimento donde a 15 personas divididas en 3 grupos, se les dio 3 tipos de

gaseosas: gaseosa sin cafeína, gaseosa con cafeína y una mezcla de los dos (media

dosis de cafeína). Luego, se realizó una prueba de memoria. Los resultados fueron los

siguiente: (A mayor puntaje mejor memoria)

Realice una prueba de hipótesis acerca de las medias de los tres tipos de gaseosas.

Asuma que la puntuación en la prueba de memoria tiene distribución normal.

Con Cafeína 65 72 73 68 75

Mezcla (media dosis de

cafeína)

69 65 62 71 67

Sin Cafeína 60 63 52 65 64

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Con Cafeína 5 353 70.6 16.

Mezcla 5 334 66.8 12.

Sin Cafeína 5 304 60.8 27.

Resumen

𝑯 𝟎

Caso Estadística de Prueba 𝑯 𝟏

Rechazar 𝑯 𝟎

si

𝑯 𝟎

: 𝝁 = 𝝁 𝟎

𝜎

2 es conocida

y 𝑋 tiene distribución normal

o el tamaño de muestra 𝑛 es

suficientemente grande

𝑍 0

=

ത 𝑋 − 𝜇 0

𝜎/ 𝑛

𝐻 1

∶ 𝜇 > 𝜇 0

𝐻 1

∶ 𝜇 < 𝜇 0

𝐻 1

∶ 𝜇 ≠ 𝜇 0

𝑍 0

𝑧 1 −𝛼

= 1. 645

𝑍 0

< z α

= − 1. 645

𝑍 0

z 1 −α/ 2

= 1. 96

𝜎

2 es desconocida

y el tamaño de muestra 𝑛

es suficientemente grande

𝑍 0

=

ത 𝑋 − 𝜇 0

𝑆/ 𝑛

𝐻 1

∶ 𝜇 > 𝜇 0

𝐻 1

∶ 𝜇 < 𝜇 0

𝐻 1

∶ 𝜇 ≠ 𝜇 0

𝑍 0

𝑧 1 −𝛼

= 1. 645

𝑍 0

< z α

= − 1. 645

𝑍 0

z 1 −α/ 2

= 1. 96

𝑯 𝟎

: 𝒑 = 𝒑 𝟎

El tamaño de muestra 𝑛

es suficientemente grande

𝑍 0

=

ҧ 𝑝 − 𝑝 0

𝑝 0

𝑞 0

𝑛

𝐻 1

∶ 𝑝 > 𝑝 0

𝐻 1

∶ 𝑝 < 𝑝 0

𝐻 1

∶ 𝑝 ≠ 𝑝 0

𝑍 0

𝑧 1 −𝛼

= 1. 645

𝑍 0

< z α

= − 1. 645

𝑍 0

z 1 −α/ 2

= 1. 96

Para un parámetro y significancia 𝛼 = 0. 05

Para distintos valores de 𝜶

Cuando 𝛼 = 0. 05 : 𝑧 1 −α

= 1. 645 , 𝑧 α

= − 1. 645 , 𝑧 1 −α/ 2

= 1. 960

Cuando 𝛼 = 0. 01 : 𝑧 1 −α

= 2. 326 , 𝑧 α

= − 2. 326 , 𝑧 1 −𝛼/ 2

= 2. 576

Cuando 𝛼 = 0. 10 : 𝑧 1 −α

= 1. 282 , 𝑧 α

= − 1. 282 , 𝑧 1 −α/ 2

= 1. 645