Quadratic Function Properties and Graph, Summaries of Mathematics

Download Quadratic Function Properties and Graph and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!

КВАДРАТНА

ФУНКЦИЯ

Самуил Ростиславов Радилов 𝑦 𝑥

ФУНКЦИЯТА ,

Функцията , е определена за всяко 𝑥..

Нека построим нейната графика с няколко точки, пресметнати в таблицата долу: точки точки

Важно!

Функцията , е

растяща за интервала и намаляваща за интервала Сега нека видим какво ще представлява същата функция, но с някакво число пред Квадрант I II Квадрант I^ I

1 𝐴 1 𝐴 𝐵 − 2 − (^1) 𝑂 1 2 4 1

ФУНКЦИЯТА , Тази функция е определна също за всяко , но тук не може да е равно на 0, защото графиката би представлявала една точка. Нека сега построим графика на функция от вида Например. Изчисляваме координатите: точки точки

Можем да обобщим свойствата на функцията в общия случай:

1 𝐴 1 𝐴 𝐵 − 2 − (^1) 𝑂 1 2 2 8 Важно! Свойство 1 – графиката на функцията е парабола, разположена в първи и втори квадрант. Свойство 3 – функцията е растяща за интервала и намаляваща за интервала Свойство 2 – графиката е симетрично разположена спрямо ординатната ос

Свойства 1, 2 и 3 са ни познати от графиката на , но при имаме и две допълнителни.

1 𝐴 1 𝐴 𝐵 − 2 − (^1) 𝑂 1 2 2 8 Важно! Свойство 4 – функцията има най-малка стойност 0, която се получава при. Свойство 5 – функцията приема произволно големи стойности.

Получаваме следната графика: Построяването е аналогично на , разликата се състои в това, че тук при всяка стойност на съответната стойност на променя знака си. Вследствие на това графиката се разполага в третия и четвъртия квадрант.

1

1 𝐴 𝐵 − (^2) − (^1) 𝑂 1 2 − 2 − 8

Свойствата на функцията са аналогични на тези на. 𝐵 1

1 𝐴 𝐵 − (^2) − (^1) 𝑂 1 2 − 2 − 8 Важно! Свойство 1 – графиката на функцията е парабола, разположена в трети и четвърти квадрант. Свойство 3 – функцията е растяща за интервала и намаляваща за интервала. Свойство 2 – графиката е симетрично разположена спрямо ординатната ос

ФУНКЦИЯТА , , Всички предни графики, които построихме са всъщност части случаи на функцията , , , която се нарича квадратна функция. Нека построим графиката на една такава функция. Например Първо отделяме точен квадрат: Получаваме.

Задаваме стойности на и попълваме таблица с координатите на точките: точки точки Важно! Графиката на функцията получаваме, като преместим графиката на на разстояние 3 нагоре по ординатата. Както се досещате, тя представлява парабола.

АЛГОРИТЪМ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ ГРАФИКА НА КВАДРАТНА ФУНКЦИЯ Стъпка 1 – построяваме oста на симетрия и върха на ста на симетрия и върха на параболата (означава се с V) ) Точката, през която минава оста и която е връх на параболата, е Стъпка 2 – Намираме координатите на допълнителните точки. Стъпка 3 – Построяваме параболата върху оста на симетрия, тоест правата , която е успоредна на оста.

𝑂 Нека сега приложим този алгоритъм върху същата функция

1. Построяваме V) :

𝑉

𝑉

2

→𝑉 ( 2 ; 3 ) 3 𝑉 2

КОИ СА СВОЙСТВАТА НА КВАДРАТНАТА ФУНКЦИЯ?

Важно! Свойство 1 – графиката на квадратната функция е парабола Първото свойство ни е добре познато. За останалите две обаче са ни нужни няколко примера. С тях ще отговорим на въпросите кога квадратната функция е растяща и кога – намаляваща и в кои случаи приема най-голяма и съответно най- малка стойност.

За да изследваме свойствата на квадратната функция трябва да разгледаме двата възможни вида графика.

1. При Taкава например е функцията кава например е функцията. Намираме и допълнителните точки и Получава се тази графика: 𝑂 𝑉 − 2 𝐴 𝐵 2 − 6 − 4