queuing theory- networks, Lecture notes of Network Theory

Download queuing theory- networks and more Lecture notes Network Theory in PDF only on Docsity!

1

(Queuing Systems)

• Ουρές M/M/1 εν σειρά

• Θεώρημα Burke

Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Markov

• Θεώρημα Jackson

• Θεώρημα Burke : Η έξοδος πελατών από ουρά Μ/Μ/1 ακολουθεί κατανομή Poisson με ρυθμό τον ρυθμό εισόδου λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
• Θεωρούμε δύο εκθετικές ουρές 𝐐𝟏, 𝐐𝟐 (π.χ. μεταγωγείς πακέτου) με χρόνους εξυπηρέτησης ανεξάρτητες εκθετικές μεταβλητές με μέσους όρους 1 /𝜇 1 , 1 /𝜇 2
• Προσέγγιση με Παραδοχή Ανεξαρτησίας Leonard Kleinrock σε δίκτυα μεταγωγής πακέτου : Οι χρόνοι εξυπηρέτησης (ανάλογοι του μήκους πακέτου) δεν διατηρούν τα μεγέθη τους όταν προωθούνται μεταξύ συστημάτων (ουρών) εξυπηρέτησης. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ανατίθενται σε κάθε σύστημα σαν ανεξάρτητε ς εκθετικές τυχαίες μεταβλητές
• Η είσοδος στην 𝐐𝟏 είναι Poisson με ρυθμό 𝜆 (η 𝐐𝟏 είναι Μ/M/1 ), 𝜆 < {𝜇 1 , 𝜇 2 } για εργοδικότητα (ισορροπία)
• Η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται από το διάνυσμα 𝒏 = (𝑛 1 , 𝑛 2 ) όπου 𝑛 1 # πελατών στην 𝐐𝟏, 𝑛 2 # πελατών στην 𝐐𝟐
• Καταστρώνουμε το διάγραμμα μεταβάσεων καταστάσεων Markov σε δύο διαστάσεις και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας
• Εξετάζουμε αν οι εργοδικές πιθανότητες έχουν μορφή γινομένου ( product form solution ) 𝑃 𝒏 = 𝑃 𝑛 1 , 𝑛 2? = 𝑃 𝑛 1 𝑃 𝑛 2? = 1 − 𝜌 1 𝜌 1 𝑛 1 1 − 𝜌 2 𝜌 2 𝑛 2 = 𝐾𝜌 1 𝑛 1 𝜌 2 𝑛 2 όπου 𝜌 1 = 𝜆 𝜇 1 , 𝜌 2 = 𝜆 𝜇 2 και 𝐾 = ( 1 − 𝜌 1 )( 1 − 𝜌 2 ) η Σταθερά Κανονικοποίησης : 𝒏 𝑃 𝒏 = 1
• Οι εξισώσεις επαληθεύονται.
• Άρα οι δύο ουρές συμπεριφέρονται σαν δύο ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 σε ισορροπία με ρυθμούς εισόδου 𝜆 και ρυθμούς εξυπηρέτησης 𝜇 1 , 𝜇 2 Έπεται πως ο ρυθμός εξόδου της 𝐐𝟏 (και εισόδου στην 𝐐𝟐 ) είναι Poisson με ρυθμό 𝜆

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/3) Παραδοχές για Κατάσταση Δικτύου χωρίς Μνήμη (Markov)

• Έξοδος Ουράς Μ/Μ/1 – Θεώρημα Burke
  • Οι αναχωρήσεις πελατών από σύστημα Μ/Μ/1 αποτελούν

διαδικασία Poisson

• Άθροιση – Διάσπαση διαδικασιών Poisson
  • Άθροιση (aggregation) ανεξαρτήτων ροών Poisson 𝜆 1 , 𝜆 2 : Poisson με

• Τυχαία Διάσπαση (random split, routing) ροής Poisson μέσου ρυθμού

Παράγει διαδικασίες Poisson με ρυθμούς 𝑝𝜆, ( 1 − 𝑝)𝜆

Παράδειγμα Ανοικτού Δικτύου Ουρών

Θεώρημα Jackson

• Κατάσταση του δικτύου: Διάνυσμα 𝒏 = (𝑛 1 , 𝑛 2 , … , 𝑛𝑀) αριθμού πελατών 𝑛𝑖 στις ουρές (κόμβους κορμού) 𝐐𝑖
• Η Εργοδική Πιθανότητα των καταστάσεων 𝒏 (αν υπάρχει) έχει μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/ 𝑃 𝒏 = 𝑃 𝑛 1 , 𝑛 2 , … , 𝑛𝑀 = 𝑃 𝑛 1 𝑃 𝑛 2 … 𝑃 𝑛𝑀 𝑃 𝑛𝑖 = 1 − 𝜌𝑖 𝜌𝑖 𝑛𝑖 με 𝜌𝑖 = 𝜆𝑖 𝜇𝑖 όπου 𝜆𝑖 ο συνολικός μέσος ρυθμός ( Poisson ) των πελατών που διαπερνούν τον κόμβο κορμού (ουρά) 𝐐𝑖 με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης 𝜇𝑖
• Ουρά (κόμβος κορμού) συμφόρησης: Η 𝐐𝑖 με το μέγιστο 𝜌𝑖
• Μέσος αριθμός πελατών (πακέτων) στο δίκτυο: E 𝒏 = (^) 𝑖= 1 𝑀 E 𝑛𝜄 = (^) 𝑖= 1 𝑀 𝜌𝑖 1 −𝜌𝑖
• Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: E 𝑇 = E(𝒏) 𝜸 ( τύπος Little ) όπου 𝜸 ο συνολικός μέσος ρυθμός πελατών ( Poisson ) που εισέρχονται στο δίκτυο από εξωτερικές πηγές ( network throughput ) 𝜸 = (^) 𝑠= 1 𝑀 𝑑= 1 ,𝑑≠𝑠 𝑀 𝛾𝑠𝑑
• Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από κόμβο 𝑠 σε κόμβο 𝑑: E 𝑇𝑠𝑑 = 𝑖− 1 𝑀 𝛿𝑠𝑑 𝑖 1 𝜇𝑖 1 −𝜌𝑖 όπου 𝛿𝑠𝑑 𝑖 το κλάσμα της ροής 𝛾𝑠𝑑 που διαπερνά τον κόμβο 𝐐𝑖

• Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων.
  • Όλες οι γραμμές (FDX) θεωρούνται χωρητικότητας C𝑖 = C = 10 Kbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι E L = 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή).
  • Μεταξύ κόμβων θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς 𝑟 packets/sec (από άκρο σε άκρο).
  • Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται εξίσου στους δύο ισότιμους δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C). Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B- D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν.
• (Α) Βρείτε το ρυθμό 𝑟 ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50%
• (Β) Με το 𝑟 του (Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο)

B

D

C

Κόμβος Εισόδου (H/Y, Access Node, Customer Network - LAN) Κόμβος Δικτύου Κορμού (Δρομολογητής Κορμού, Backbone Router, Packet Switch) ΟΔΗΓΙΑ: Οι FDX γραμμές του δικτύου κορμού αναλύονται σε δύο ουρές με ροές πακέτων συνολικού μέσου ρυθμού 𝜆𝑖 (προκύπτει από την δρομολόγηση πακέτων) και μέσου ρυθμού εκθετικής εξυπηρέτησης 𝜇𝑖 = C𝑖 E(L). To ανοικτό δίκτυο ουρών ( επόμενη διαφάνεια ) αναλύεται σαν δίκτυο ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 με το Θεώρημα του Jackson