Download quiz work question hard work and more Summaries Mechanics in PDF only on Docsity!
Prof. Dr. Ersel CANYURT
1 - 1
DİNAMİK
BÖLÜM
Maddesel Noktaların
Kinematiği
Dinamik
R.C. Hibbeler
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Ders Notları:
Prof. Dr.
O. Ersel CANYURT
Gazi Üniversitesi
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 2
Giriş
- Dinamik
- Kinematik: hareketin geometrisinin etüdüdür. Kinematik,
hareketin nedenini araştırmadan; yer değiştirme (s), hız (v),
ivme(a) ve zaman(t) arasındaki bağıntıları kurar.
- Doğrusal Hareket: Maddesel noktanın, yer, hız ve ivmesi düz doğrusal
bir çizgi boyunca hareketi; Doğrusal Hareket olarak adlandırılır.
- Eğrisel Hareket: Maddesel noktanın, yer, hız ve ivmesi bir eğri
boyunca hareketi; Eğrisel Hareket olarak adlandırılır.
- Kinetik: Cisme etkiyen kuvvetlerle cismin kütlesi ve hareketi
arasındaki bağıntıyı kurar.
- Kinetik verilmiş kuvvetlerin sebep olacağı hareketi bulmak, veya
verilmiş bir hareketi oluşturacak gerekli kuvveti belirlemekte
kullanılır.
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 3
Giriş
- Maddesel Nokta
- Parçanın büyüklüğünü göz önüne almadan inceleyeceğimizi ifade eder
ve kendi ağırlık merkezi etrafındaki dönüşü ihmal edilir.
- Hareketin boyutları yanında, cismin boyutları göz önüne alınmayacak
kadar küçük ise maddesel nokta olarak tanımlanır.
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 4
Doğrusal-Eğrisel Hareket: Yer
- Bir doğru üzerinde hareket eden bir maddesel nokta, doğrusal hareket
eder
- Maddesel noktanın konumu, sabit bir noktaya olan pozitif veya negatif
mesafe olarak belirtilir.
x
x’
(Yer değiştirme)
- negatif mesafe
- Pozitif Yön
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 7
Doğrusal-Eğrisel Hareket: Hız
- Hız vektörel bir büyüklük olduğundan pozitif veya negatif olabilir.
Birimi (m/s) olarak gösterilir.
n > 0
P
P’
Pozitif Koordinat sistemi
O
x
n < 0
P
P’
Pozitif Koordinat sistemi
O
x
Pozitif hız
Negatif hız
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 8
Doğrusal-Eğrisel Hareket: Hız
dt
dx
t
x
v
t
D
D
D 0
lim
2
12 3
dx
v t t
dt
- @ t = 0 s, v = 0,
- @ t = 2 s, v = v
max
= 12 m/s,
- @ t = 4 s, v = 0,
- @ t = 6 s, v = -36 m/s,
NOT
n
n-
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 9
Doğrusal-Eğrisel Hareket: İvme
- t anında v hızında bulunan bir maddesel nokta ele alalım,
t+ Dt anında hız v’ olsun,
Ani ivme
t
v
a
t
D
D
D 0
lim
t
v
P
P’
O
x
v +Dv
t + D t
t anında hızı v
t + D t anında hızı v +Dv
v
t
D
D
Ortalama ivme
dv
a
dt
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 10
Doğrusal-Eğrisel Hareket: İvme Pozitif
Örn: 2 sn de hız
v=4 m/s den v’=10 m/s ye artıyorsa
2
3 m/s
a
a > 0
P P’ Pozitif Koordinat Sistemi O
x
Pozitif ivme
Pozitif yönde (Araç Hızlanıyorsa)
v
v’ =v +Dv
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 13
Doğrusal-Eğrisel Hareket: İvme
0
lim
t
v dv
a
t dt
D
D
D
a= 12 – 6.t
2
- @ t = 2 s, a = 0
- @ t = 4 s, a = – 12 m/s
2
2
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 14
Örnek
a= 12 – 6.t
Lineer
İlk hız v
o
Pozitif (Hız artacak),
Azalan miktarda, artacak
A
1
A
3
A
1
> A
3
hız v=12 m/s,
Negatif (Hız azalacak),
Artan miktarda, azalacak
A
1
A
3
A
3
> A
1
A 1
=6.
A
2
=4.
A
3
=1.
0
1.33 2
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 15
Kuadratik
Pozitif, Artan
A
1
A
3
A
3
> A
1
Pozitif, Azalan
A
1
A
3
A
1
> A
3
Negatif, Artan
A
1
A
3
A
3
> A
1
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 16
Maddesel Noktanın Hareketinin Belirtilmesi
- Hareket zamanın her anında bilinmektedir. Yani zamanın bir
fonksiyonudur.
- Çoğu zaman hareket koşulları maddesel noktanın sahip olduğu ivmenin
tipi ile belirtilir. Dolayısı ile hız ve yolun zamana göre fonksiyonunu
bulmak için ardışık iki integrasyon işlemine gerek duyulacaktır.
- En çok kullanılan üç hareket durumu:
- İvme; zamanın (t), bir fonksiyonu olarak verilmiştir, a = f(t)
- İvme; yolun (x), bir fonksiyonu olarak verilmiştir, a = f(x)
- İvme; hızın (v), bir fonksiyonu olarak verilmiştir, a = f(v)
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 19
Maddesel Noktanın Hareketinin Belirtilmesi
dv
a
dt
0
v
v
dv
t
f v
- İvme, hızın (v), bir fonksiyonu olarak verilmiş ise, a = f( v):
v dv
dx
f v
dv
a v f v
dx
0 0
x v
x v
v dv
dx
f v
0
0
v
v
v dv
x x
f v
dv
dt
f v
f v
0
0
v t
v
dv
dt
f v
NOT
a=f(v)=3.v – 1 Lineer Fonksiyon
a=f(v)= 2.v
2
0
0
v
v
v dv
x x
f v
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 20
Problem 1.
a)Herhangi bir t zamanında topun hızını ve yerden yüksekliğini
b)Topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve buna karşı gelen t
değerini
c)Topun yere değeceği zamanı ve buna karşı gelen hızı bulunuz?
Bir top 20 m yükseklikten 10 m/s hızla düşey olarak yukarı doğru
atılmıştır. Topun ivmesi sabit ve aşağı doğru 9.81 m/s
2
olduğuna
göre,
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 21
Problem 1.
dv
a
dt
- İvme belli iki kere integre edilince v (t) ve y (t).
dy
v
dt
t=0 için
t (sn)
v (m/s)
10
t (sn)
y (m)
20
= – 9.81 (m/sn
2
İlk hız v
o
= 10 (m/sn)
Yukarı doğru
İlk konum y
o
= 20 (m)
Koordinat Sisteminden 20 m Yukarıda
ʃ dv
v
o
v
= ʃ (– 9.81) dt
t
v – v
o
=–9.81 t
= 10 – 9.81 t
ʃ dy
y
o
y
= ʃ ( 10 – 9.81 t ) dt
t
y – y
o
=10 t
9.81 t
2
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 22
Problem 1.
- Top en yüksek noktaya ulaşınca hızı sıfır olur.
v 10 9.81 t 0
- t=1.02 s, anındaki yükseklik (hızın sıfır olduğu an)
2
y 20 + 10 t 4.905 t
t (sn)
v (m/s)
10
t (sn)
y (m)
20
Hızın sıfır olduğu zaman v=
t= 1.02 (s)
y= 25.1 (m)
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 25
Problem 1.
- a) Hızı bulmak için, İvmeyi integre et; v-t bağıntısı
dt
dv
a
v t
v
k dt
v
dv
0
0
0
ln
v
k t
v
a=–k•v
=–k • v
0
- t= , anındaki hız • v 0
t (sn)
v (m/s)
v
0
O
HIZ
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 26
Problem 1.
- b) Yol denklemini bulmak için, hızı integre et; x-t bağıntısı
kt
v t v e
a=-k•v
dx
v
dt
0
kt
v e
0
0 0
x t
kt
dx v e dt
0
0
1
t
kt
x v e
k
0
1
kt
v
x e
k
0 0
kt
v
x e e
k
t (sn)
x (m)
O
YOL
- t=0 s, anındaki yol
- t= , anındaki yol
0
v
x
k
0
v
x
k
0
v
k
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 27
Problem 1.
- c) v-x bağıntısı için; a = v dv/dx denkleminde ivmeyi koyarsak
dv
a v
dx
0
0
v x
v
dv k dx
dv k dx
= – k • v
x (m)
v (m/s)
O
YOL-HIZ
0
0
v
k
0
v
0
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 28
Düzgün Doğrusal Hareket (DDH)
sabit
dx
v
dt
0
x x v t
Maddesel Nokta, Düzgün Doğrusal Hareket yapıyorsa,
- Hız sabittir dolayısı ile ivme sıfırdır. (a=0)
0
0
x t
x
dx v dt
0
x x + v t
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 31
Problem 1. 4
Bir asansör boşluğunda 12 m yükseklikten yukarı doğru 18 m/s ilk hızla bir
top atılmıştır. Aynı anda üstü açık bir asansör yukarı doğru 2 m/s lik sabit bir
hızla 5 m yükseklikten geçmektedir.
a) Topun asansöre ne zaman ve nerede vuracağını
b) Asansöre vurduğu anda topun asansöre göre bağıl hızını bulunuz?
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 32
Problem 1.
- TOP: Başlangıç konumu (12 m) ve başlangıç hızı
(18 m/s) ve ivme (-9.81 m/s
2
- ASANSÖR: Başlangıç konumu (5 m) ve başlangıç
hızı (2 m/s) ve ivme (0 m/s
2
0
A
A
v v
0 0
A A
A
y y + v t
2 1
0 0 2
T T
T
y y + v +t a t
x
y
y
T
0
=12 m
O
v
T
0
=18 m/s
a=g= 9.
t
0
=0 sn
x
y
y
A
0
=5 m
O
v
A
0
=2 m/s
t
0
=0 sn
- değerleri düzgün doğrusal hareket denkleminde
yerine konursa
- değerleri düzgün değişen doğrusal hareket
denkleminde yerine konursa
0
T
T
v v + a t
m
2 sabit
s
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 33
Problem 1.
- Top Asansöre değdiğinde y
T
= y
A
2
T A
y 12 + 18 t 4.905 t 5 + 2 t 0
- t=3.65 saniyesinde; topun veya asansörün konumu denklemde yerine konulursa
A
y +
2
4.905 16 7 0
T A
y t + +t
y
T y
A
- veya bağıl konum sıfır olur. y
T/A
= y
T
A
2
T
y 12 + 18 3.65 4.905 3. T
y 12.3 m
VEYA
y
A
= 12.3 m
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 34
Problem 1. 4
T
v 17.81 m/s
2
4.905 16 7
T A
y t + +t
T/A T/A
v y
- t=3.65 saniyesinde ; Topun asansöre göre bağıl hızı,
y
T
y
A
18 9.81 3.
T
v 18 9.81t
T/A T A
v v v
16 9.81 t
VEYA
Prof. Dr. Ersel CANYURT 1 - 37
Çok Sayıda Maddesel Noktanın Hareketi : Bağımlı Hareket
x
B
x
A
x
A
Dx
A
B
B
= sabit
x
A
x
B
x
C
(x
A
C
x
C
B
= L
1
B
–x
C
x
A
B
= L
1
+2 L
2
B
= L
2
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 38
Problem 1. 5
A B blokları C, D ve E makaralarından geçen bir uzamaz bir ip
yardımı ile şekildeki gibi bağlanmıştır. C ve E makaraları sabittir. D
makarası ise 3 m/s lik sabit bir hızla aşağı doğru çekilmektedir.
t=0 iken A bloğu K konumundan ilk hızsız olarak sabit bir ivme ile
harekete başlamaktadır. L den geçerken A bloğunun hızının 12 m/s
olduğu bilindiğine göre,
A Bloğunun L den geçtiği sırada B bloğunun yükseklik değişimini,
hızını ve ivmesini bulunuz?
8 m
Prof. Dr. Ersel CANYURT
1 - 39
Problem 1.
- O dan geçen yatayı başlangıç düzlemi olarak ele alalım,
pozitif yön aşağı doğru yönelmiş olarak seçelim.
- A bloğunun K noktasından L noktasına hareketi,
A bloğu düzgün değişen doğrusal hareket yapar
(a=sabit)
2
2
0 0
A A A A A
v v + a x x
0
A A A
v v + a t
- İvme bulunduktan sonra; A bloğunun ilk hızından (v
o
) - son hızına (v)
ulaşması için gereken zaman bulunabilir.
- A nın ilk hızı, son hızı belli, kat edilen yol belli;
- Dolayısı ile ivme bulunabilir.
O
t
0
=0 sn
x
x
A
)
o
A
x
A
v
A
)
o
=
v
A
=12 m/s
K
L
x
A—
x
A
)
o
=8 m
A
2
A
a
12 0 + 9 t
Prof. Dr. Ersel CANYURT
MM 202 Dinamik
Mechanical Engineering
1 - 40
Problem 1.
O
t
0
=0 sn
x
x
D
)
o
x
D
v
D
)
o
=
v
D
=3 m/s
x
D—
x
D
)
o
DD
- D Makarası Düzgün Doğrusal Hareket
0
D D D
x x + v t
- (a=0, v=sabit).
- t=1.333 s aralığında; D makarasının yer değiştirme
miktarı bulunabilir.
v
D
=3 m/s
