Production Management: Mathematical Modeling and Optimization, Study Guides, Projects, Research of Mathematical logic

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UNIVERSITECHARLESDEGAULLE LILLE III

UFR DE MATHEMATIQUES,

SCIENCES ECONOMIQUES

ET SOCIALES

Deuxi `eme ann´ee de l’IUP IIES

Gestion de la Production

Daniel DE WOLF

Villeneuve d’Ascq, F´evrier 2003

4 Table desmati`eres

2.5 Exercices .............................. 29

3La gestion calendaire de stock 31

3.1 Introduction ............................ 31

3.2 Lespolitiques degestion destock

3.3 Les coˆuts associ´es aux stocks ................... 33

3.3.1 Les coˆuts de possession

3.3.2 Les coˆuts de rupture .................... 35

3.3.3 Les coˆuts de commande .................. 35

3.4 Gestioncalendairedestock `arotationnulle ............ 36

3.5 Casd’uneloi dedemande continue ................ 42

3.6 Les cons´equences ´economiques de la solution optimale

3.7 Casdestocks `arotationnonnulle ................. 47

3.7.1 D´etermination delasolutionoptimale

3.7.2 Cas d’une loi de demande discr`ete ............. 52

3.8 Exercices .............................. 53

4La gestion par point de commande 55

4.1 Introduction ............................ 55

4.2 D´etermination dupointdecommande

4.3 D´etermination de la quantit´e´economique de commande ...... 57

4.4 Cas d’une demande al´eatoire

4.4.1 D´etermination de q et s.................. 61

4.4.2 Cons´equences ´economiques du choix ........... 63

4.5 Exercices .............................. 65

II Lesd´ecisions tactiques 67

5La planification de la production 69

5.1 Introduction ............................ 69

5.2 La planification desbesoinsencomposants ............ 70

Table des mati`eres 5

5.3 Principes debasedela MRP .................... 72

5.3.1 D´etermination desbesoinsnetsd’uncomposant ...... 72

5.3.2 D´etermination delacouverture desbesoinsnets ...... 74

5.3.3 Utilisation encascade delalogique decalcul ....... 74

5.4 Ajustement chargecapacit´e .................... 78

5.5 Exercices

6 Lestechniquesdejuste `atemps 89

6.1 Origineetprincipe duJAT ..................... 89

6.2 Les deux approches duJAT .................... 91

6.2.1 Augmenter la r´eactivit´edusyst`eme logistique ....... 91

6.2.2 Larationalisation delaproduction

6.3 Les facteurs cl´es du JAT ...................... 92

6.3.1 Recherche d’un plus grande r´eactivit´e

6.3.2 Maˆıtrise des al ´eas ..................... 92

6.4 Lam´ethode Kanban ........................ 93

6.4.1 Systeme Kanbana une boucle ............... 93

6.4.2 D´etermination du nombre d’´etiquettes ........... 94

6.5 Exercice

III Les d´ecisions strat´egiques 99

7L ’ordonnancement de projets 101

7.1 Introduction ............................ 101

7.2 Formulation du probl`eme ..................... 103

7.3 Repr´esentation graphique du probl`eme

7.4 Calcul del’ordonnancement auplustˆot .............. 107

7.5 Chemin critique etcalcul desmarges

7.6 L’ordonnancement parlam´ethode PERT ............. 109

7.7 La minimisation des coˆuts ..................... 112

7.8 Exercices .............................. 115

Chapitre

Introduction

1.1 Objectifs ducours

L’objectif ducoursest dedonner une formation debase `al’approche quantitative

des probl `emes de gestion de l’entreprise tels que:

laplanification delaproduction;

l’ordonnancement deprojets;

la gestion desstocks;

la gestion de la capacit´e, ...

Pour cela, on essayer de d´evelopper une double comp ´etence:

La capacit edeformuler´ ces problemes en des modeles math ´ematiques:

c’estadire, partant de problemes ´enonc´es de mani `ere litt ´eraire, de les tra

duire sous formes d’´equations math ´ematiques (cfr section 1.5 `alafindece

chapitre).

Laconnaissance d’outils der ´esolution de ces probl `emes: en effet, une

fois le probleme formul ´e, souvent on tombe sur un probleme classique (tel

celui de la gestion de stock), pourlequel il existe desmethodes der´ ´esolution

adaptees´.

Comme r´ef ´erences, nous utiliserons les livres de Giard [6] et Baglin et al [1]

pour tous les mod `eles classiques de gestion de la production. Pource qui est de

la formulation en modeles math ´ematiques, une tres bonne r´ef´erence est le livre de

Williams [17].

8 Chapitre 1.Intro duction

1.2 D´efinitionde la gestionde production

Pour pouvoir donner une d´efinition de la gestion de production, il faut d’abord

d´efinirce quel’on entend parla production. Laproduction consiste en une

transformation de ressources (humaines ou mat ´erielles) en vue de la cr´eation de

biens ou services:

La production d’un bien s’effectue par une succession d’op´erations consom

mant des ressources et transformant les caract ´eristiques de la mati`ere.Un

exemple classique estla production devoitures.

La production d’un service s’effectue par une succession d’op´erations con

sommant des ressources sansqu’il n’y ait n´ecessairementtransformation

de mati ere.Desexemples classiques sontla miseadisposition deproduits

auxconsommateurs (lavente), letraitement dedossier(parunnotaire), la

maintenance d’ ´equipements.

On peut alors d´efinir la gestion de production comme suit.

D´efinition1.1 La gestion de la production consiste en la recherche d’une orga

nisation efficace de la productiondes biens et services.

La gestion de production consiste donc `a l’obtention d’un produit donn ´e dont les

caract ´eristiques sontconnues en mettant en œuvreunminimum de ressources.

En gestion de production, on consid ´erera, g´en ´eralement, comme donn´ees les ca

racteristiques du produit´ que sont:

lad ´efinition du produit;

le processus de fabrication;

la demande asatisfaire`.

Ces trois caract ´eristiques du produit rel`event des sciences de l’ingenieur´ et de la

gestion commerciale. Nousverronscependant auchapitre 7 la gestion deprojets

qui est souvent utilis ´ee pour optimiser le processus de conception d’un nouveau

produit. Nousverrons aussi au chapitre 8comment optimiser le processusde

fabrication.

Les outils de la gestion de la productionsont un ensemble de techniques

d’analyse et der esolution des probl´ emes de maniere `a produire au moindre coutˆ.

Nous verrons dans ce cours un certain nombre de probl`emes types rencontr ´es en

gestion de production. Pour situer ces diff´erents probl `emes entre eux, on classifie

souvent lesd´ecisions de gestionen trois classes:

10 Chapitre 1.Intro duction

1.3 Classification des syst`emes productifs

Onpeut classer lesmodesd’organisation de la production en quatre grandes

classes:

l’organisationens erie unitaire´ ;

l’organisationen atelierssp ecialis´ es´;

l’organisationenligne deproduction;

l’organisationen industries de process.

Nous examinerons dans chaque cas, letype de ressources a mettre en œuvre` et

le problemeprincipal de leurutilisation`.

1.3.1 Organisationdetypes´erie unitaire

D´efinition 1.2 La production de type “s´erie unitaire” est une production mobili

sant sur une p´eriode assez longue l’essentiel des ressourcesd’une entreprise pour

r´ealiser un nombre tres limit` edeprojets.´

Comme exemples,onpeut citer la construction denaviresdegrande taille

(qui sefont, le plussouvent, en quelques exemplaires), les grandstravauxpublics

(tel que le creusement d’untunnel sousla manche ou la construction d’un pont

suspendu, ... ).

En ce qui concerne les ressources mobilis ´ees, on fait le plus souvent appel `a

un personnel hautement qualifi ´evulecaract `ere non r ´ep ´etitif des t ˆaches.

En ce qui concerne le probleme d’ordonnancement, le probleme majeur est

l’arbitrage entre la recherche d’un cout compˆ etitif et le respect desd´ elais.´ En effet,

d’une part, les commandes seront rapidement honor ´ees si beaucoup de ressources

sont mises en œuvre. Mais, d’autre part, le co ˆut des ressources est g´en´eralement

croissantavec leur niveau d’utilisation: la location de machines suppl ´ementaires

et l’engagement d’int´erimaires co ˆutent g´en´eralement plus cher que l’utilisation des

ressources propres de l’entreprise. Nous verrons cela en d´etails au chapitre 7.

Dans les deux cas, l’ordonnancement des t ˆaches, c’est `adire la d´etermination

de l’ordre d’ex ´ecution des t ˆaches) est essentiel.En effet, nonseulement l’ordre

d’ex ´ecution des t ˆaches d ´etermine la date de livraison, mais, comme nous le verrons

au chapitre 7, il influence les co ˆuts dans la mesure o`u une mauvaise coordination

s’accompagne souvent de ch ˆomage technique pour certaines ressources et du paie

ment de p´enalit ´es pour non respect des d´elais.

Section 1.3.Classification dessyst`emes pro ductifs 11

1.3.2 Organisation en ateliers sp´ecialis´es

D´efinition 1.3 On parle d’organisation en ateliers sp´ecialis´es lorsque tous les

´equipements assurant une fonction sp´ecialis ´ee sontreunis en unm´ eme lieu.ˆ

Comme exemple, on peut citer un atelier d’emboutissage des tˆoles de voitures ou

unatelier de peinture dansune usine d’assemblage automobile.

En ce qui concerne les ressources mobilis ´ees,lamain d’œuvre est

plut ˆot

qualifi ´ee et les ´equipements sont polyvalents.

En ce qui concerne le probl `eme de l’organisation efficace des ressources,

deux probl emes principaux sonta consid´erer:

Lors de la conception de l’atelier,leprobl `eme principal est la gestion des

co ˆuts de manutention entre les diff´erents postes de travail.Afinde diminuer

ces co ˆuts on d´etermine la meilleure localisation des machines les unes par

rapport aux autres dansl’atelier. Ceci fait appel auxm´ethodesd’agencement

dans l’espace (cfr chapitre 8 consacr ´e` alaconfiguration d’un centre de

production).

Lors de la gestion quotidienne de l’atelier,leprobl `eme principal est de

d´eterminer l’ordre d’ex ´ecution des diff´erentes t ˆaches sur une ou plusieurs

machines. Nous verrons cela en d´etails au chapitre 2 consacr ´e`al’ordonnan

cement en ateliers sp´ecialis ´es.

1.3.3 Organisation enlignes deproduction

D´efinition1.4 On parle d’organisation en lignes de production lorsque qu’un

fluxr ´egulier de produits passed’un poste a l’autre,` l’ordre de passage ´etant fix ´e.

Commeexemple,onpeut citer les lignes d’assemblage d’automobiles.

En ce qui concerne les ressources mises en œuvre, les ´equipements sont

g´en ´eralementtr`es sp´ecialis ´es.Ence qui concernel’organisation efficace des

ressources, le probl eme majeur consiste en l’´equilibrage de la chaˆıne: c’esta

dire ad´efinir les tˆachesar´ealiser a chaque poste de maniere `aavoir le mˆeme temps

de r´ealisation `a chaque poste (cfr chapitre 8).Eneffet, unmauvais ´equilibrage de

la chaˆıne entraˆınera une sousutilisation desressourcespuisque la chaˆ ıne tourne `a

la vitesse de l’´el ´ement le plus lent.

Deux autres probl emes sont tres importants dans ce mode d’organisation de la

production. Ils’agit de: la fiabilit´edelacha ˆıne (un maillon d´efectueux et toute

la chaˆıne s’arr ˆete) et de la fiabilitedusyst´ eme d’informations.`

Section 1.5.Formulation en mod`eles math´ematiques 13

Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD

Marge 550 600 350 400 200

Tableau 1.1: Profitnet parproduit

vente et le co ˆut de production d’un produit, est donn´ee pour chacun des produits

au tableau 1.1.

Chaque produit n´ecessite le passage par trois´etapes de fabrication. Les temps

requis `a chaque ´etape sont donn ´es en heures pour chaque produit au tableau 1.2.

Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD

Etape1 12 20 0 25 15

Etape2 10 8 16 0 0

Etape3 20 20 20 20 20

Tableau 1.2: Tempsdefabrication (enheuresparproduit)

Enfin, il faut tenir compte des ressources en facteurs disponibles donn ´ees au

tableau 1.3. Les deux premi`eres ´etapes sont effectu ´ees sur machine tandis que la

Etape Ressourcesen facteurs heures par jour jourspar semaine

Etape1 3machines 16 6

Etape2 2machines 16 6

Etape3 8personnes 8 6

Tableau 1.3: Ressourcesenfacteurs

troisi `eme ne n´ecessite que l’intervention de main d’œuvre.Ence quiconcerne les

deux premi `eres ´etapes, l’usine travaille en deux pauses de huit heures par jour, et

ceci, au maximum sixjours parsemaine. En ce qui concerne la troisi `eme, chaque

personne travaille une pausede8 heures parjouret ceci aumaximum 6 jourspar

semaine.

Laquestionque seposele gestionnaire de l’usine est la suivante. Quelles sont

les quantit ´es `afabriquer de chaque produit pour maximiser le profit net?

La construction d’un mod`ele est, en g´en ´eral, une op´eration en trois ´etapes:

le choix desvariables ded´ecisions,

2. l’expressiondel’objectifen fonction de ces variables,

14 Chapitre 1.Intro duction

l’expressiondescontraintesen fonction de ces variables.

La premi ere ´etape consiste doncad´ efinir les variables de d´ecision.

D´efinition 1.6 Onappellevariable ded´ecisiontoute quantit

eutile´ alar` ´esolution

du probleme dont le modeled ´etermine la valeur.

G´en ´eralement, elles sont not ´ees par les lettres de la fin de l’alphabet( x , y , z , etc...).

Ici, onnotesimplement par x i

,laquantit ´eduproduit i fabriqu ´ee par semaine, i

allant deun `acinq.

Une premi `ere remarque importante s’impose. Il est fondamental de bien

pr

eciser les unit

es selon lesquelles sont exprim ´ees les variables.Eneffet, l’ordre

de grandeur des coefficients de l’objectif et des contraintes d´epend de ces unit ´es.

La deuxi `eme ´etape consiste en la formulation de l’objectif.

D´efinition1.7 L’objectifest la quantit

´eque l’on veut minimiser oumaximiser.

Ici, il s’agit dela somme descontributionsdechacune desproductions auprofit

net de l’usine. Elle s’exprimesimplement par:

max z = 550 x 1

+600 x 2

+350 x 3

+400 x 4

+200 x 5

La troisi `eme ´etape consiste en la formulation des contraintes.

D´efinition 1.8 Les contraintes sont toutes les relations entreles variables qui

limitent les valeurspossiblesque peuvent prendre ces variables.

Ici, il ya trois contraintes:

La premi ere concerne la limite d’utilisation des machinesal’ etape 1.´ Ily

atrois machines, utilis ´ees en deux pauses de huit heures et ceci au maxi

mum sixjoursparsemaine, ce quidonneunnombre maximum d’heurespar

semaine

1

×

×

×

6=288 heures disponibles.

Une unit ´edeproduit 1 demande 12 heures sur machine `al’´etape 1. Si x 1

unit ´es de produit 1 sont produites par semaine, cela demande 12 x 1

heures

sur la machine 1. Parunraisonnement semblable pourlesautresproduits,

onobtient finalement la contrainte:

12 x 1

+20 x 2

+0 x 3

+25 x 4

+15 x 5

1

Remarquez ici l’importance d’avoir pr´ecis ´e que les quantit ´esproduites

l’ ´etaient par semaine.

16 Chapitre 1.Intro duction

1.6 Exercices deformulation

Pour chacun des ´enonc´es qui suivent, on demande de formuler math ´ematiquement

le probl `eme (choix des variables, expression de l’objectif et des contraintes).

1.1. Un probl `eme de choix d’investissements. Un ´epargnant veut investir

1000 euros. Ila le choix entre troisinvestissements possibles:

A

B

et

C. Les valeurs attendues et les valeurs minimales garanties apr `es un an sont

donn ´ees au tableau 1.4 par euro investi.L’´epargnant souhaite un int ´erˆet mi

Type valeur valeur

d’investissement attendue garantie

A 1 , 4 0 , 9

B 1 , 2 1 , 2

C 1 , 6 0 , 5

Tableau 1.4: Valeursattendue etminimum garantie.

nimum garanti de 5 % sur un an. Cependant, ila promisd’investiraumoins

600 euros sur B et C ensemble. Comment l’ ´epargnant pourraitil r´epartir

son investissement pour maximiser la valeur attendue globale apr `es un an?

Onsupposeque l’investisseur utilise toute la somme disponible.

Un probl `eme de chargement d’un haut fourneau.

Une fonderie re¸coit

unecommande de 1000tonnes d’acier. Cet acier doit r´epondre aux ca

ract ´eristiques suivantes: il doit contenir au moins 0,45 % de mangan `ese

(Mn)tandis que sonpourcentage en silicium (Si) doit sesituer entre 3,

et 5,50. Pour couler cet acier, la fonderie dispose en quantit´es illimit ´ees de

trois types de minerais: A,B et C.Leurs teneurs en Siet Mnsontreprises

au tableau 1.5. Le proc ´ed ´edeproduction est tel qu’une addition directe

Minerai A B C

Si 4% 1% 0,6%

Mn 0,45 % 0,5% 0,4%

Tableau 1.5: Teneurs en Silicium et Mangan `ese des diff´erents minerais.

de mangan ese est envisageable.Ce manganese est disponible au prix de

millions la tonne. Les minerais coˆutent respectivement 21 millions les mille

tonnes pourle type A,25millions par mille tonnes pourB,et 15millions par

mille tonnes pourC.Sila fonderie envisage de vendre l’acier produit 450

Section 1.6.Exercices deformulation 17

millions lesmille tonnes, quel doit ˆetre sonplandeproduction pourmaxi

miser son profit, sachant que le co ˆut de fonte de mille tonnes de minerai est

de 5 millions? Le co ˆut de fonte ne s’applique pas au mangan`ese ajout´e.

Un probl`eme de planification sur co ˆut variable.

Unindustriel cherche

a´etablir sonplan deproduction pourlesquatre moisavenir, sachant que

les demandes sont d´ej a connues et se chiffrenta 900, 11001700et 1300

articles, respectivement. En r´egime normal, la capacit ´edeproduction est

de 1200articles parmois. A l’aide d’heures suppl´ementaires, ce niveau

peut ˆetre ´elev´e jusqu’ `a 400 articles en plus,maisil fautcompter, dans ce

cas, un surco ˆut de 7 euros par article. Lasituation esttelle qu’ilpeutse

permettre en r´egime normal de produire moins de 1200 articles par mois.

Cela n’aura aucune incidence sur les co ˆuts de production, ceuxci ´etant fixes

en r´egime normal, mais l’effet sur les co ˆuts de stockage peut ˆetre b´en´efique.

Les co ˆuts de stockage sont de 3 euros par article en stock en fin de mois.

Comment l’industriel doitil planifier sa production pour minimiser les co ˆuts

variables, c’est`adire les co ˆuts occasionn´es par les heures suppl´ementaires

et le stockage?

1.4. Affectation d’avions `a des lignes a´eriennes. Unecompagnie a´erienne

r´egionale d´esire affecter sa flotte d’avions aux 4 lignes qu’elle exploite (lignes

A, B, C et D). Le nombre de passagers d´esirant effectuer chaque jour un

parcours sur chaque ligne est donn ´eautableau 1.6. Lacompagnie dispose

de deux types d’avions: 8 petits avionsde40places et 3 avionsmoyens

de 180 places. Les avions, qu’ils soient du mod `ele petit ou moyen, peuvent

effectuer untrajet allerretour parjour. Le coˆut d’exploitation journalier d’un

avion d´epend de sa taille et de la ligne `a laquelle il est affect ´e.Ces coˆuts

sont donn ´es au au tableau 1.6. On d´esire minimiser le co ˆut d’exploitation

Ligne A B C D

Demande 100 200 150 300

Co ˆut d’un petit avion 40 30 70 40

Co ˆut d’un moyen avion 200 100 300 350

Tableau 1.6: Demande et co ˆuts d’exploitation des avions par ligne

ensatisfaisant la demande.

(a) Formulez math ´ematiquement le probl`eme de la meilleure affectation

dela flotte decette compagnie.

(b) Vos variables peuventelles prendre toutes les valeurs r´eelles non n´e

gatives?

PartieI

Les d ´ecisions op ´erationnelles