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RELACIONES BINARIAS
INTRODUCCION
Cuando decimos:
mayor que el segundo y estan incluidos en el producto carte siano A. B, formando el subcon- junto:
Ejemplos: i) Sean los conjuntos A y B:
Estamos sefialando 0 expresando RELACIONES de comparaci6n, entre los elementos de un conjunto de numeros.
Cada caso es un par ordenado que obedece ciertas condiciones. Las condiciones que debe cumplirse pa-
ra relacionar dos elementos deb en ser fiUy claras y
precisas. Sin par ordenado no existe relaci6n.
"3 + 7 es igual a 10" "Jt es menor que 9" "28 es divisible por 7" "4 es la raiz cuadrada de 16"
1R = {(3; 1), (4; 1), (4; 3), (5; 1), (5; 3)}
que es una relaci6n de A en B. Cas03: Que los primeros elementos sean menores que los segundos 10 cual cumplen: (3; 5), (3; 7), (4; 5), (4; 7), (5; 7) que son 5 pares ordenados, tambien configuran una relaci6n "91" y forman un sub- conjunto que esta incluido en el conjunto del producto cartesiano A. B
1R = {(3; 5), (3; 7), (4; 5), (4; 7), (5; 7)} que es una relaci6n de A en B. ii) Un estudiante de Biologia, a fin de investigar la RE- LACION entre el aumento de peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momenta en A = {3, 4, 5} ; B={l,3,5,7} que nace hasta que adquiere un maximo desarrollo. El producto cartesiano de estos conjuntos es: A. B ={(3; 1), (3; 3), (3; 5), (3; 7), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (4; 7), (5; 1), (5; 3), (5; 5), (5; 7))
La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados correspondientes a esas eda- des, expresado en kilogramos.
Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formani subconjuntos con las ca- racteristicas precisas siguientes:
Caso 1: Que los primeros elementos sean iguales a los se- gundos. De este modo: (3; 3) Y (5; 5) son dos pa- res ordenados que configuran una relaci6n "91" de pares ordenados cuyos elementos son iguales y estan incluidos en el producto A. B; es decir, for- man un subconjunto del producto A. B. Luego, 1R = {(3; 3) ,(5; 5)} es una relacion de A en B. Caso2: Que los primeros elementos sean mayores que los segundos. De la misma forma: (3; 1), (4; 1), (4; 3), (5; 1), (5; 3) son 5 pares ordenados que cumplen 0 configuran otra relaci6n "91", con las caracteristicas sefialadas: primer elemento es
Edad en Meses (^) nacidorecien^1 2 3 4 5 6 7 8
Peso en Kg. 0,1 0,6 2,1 4,0 6,2 8,4 10,6 12,7 14,6 14,
La tabla indica un conjunto de "parejas ordena- das" de numeros, el primero de los cuales es la edad y el segundo el peso; habiendose formado una relaci6n ordenada entre los dos numeros de cada pareja.
DEFINICION DE RELACION
Se llama RELACION a cualquier subconjunto de pare- jas ordenadas formadas par los elementos de dos con- juntos A y B. Tambien: se llama RELACI0N de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A. B.
NOTACION
Dados dos conjuntos A y B, la relaci6n de un elemen- to "a" del conjunto A con un elemento "b" del con- junto B, se denota asi:
am b 6 (a, b) E m DOMINIO^ Y RAN^ GO
Que se lee: "a esti relacionada con b".
Puesto que las relaciones vinculan elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B, £or- mando pares ordenados, la RELACION tambien pue- de escribirse simb6licamente de la siguiente manera:
DOMINIO es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados que forman la relaci6n m y se denota: Dom (m).
En el ejemplo sobre el estudiante de Biologia:
Dom (m) = {O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
m es una relaci6n de A en B ~ meA. B
Es decir "91 es una relaci6n de A en B, si y solamen- te si la relaci6n mes un subconjunto de A. B"
N6tese que si mes una relaci6n de A en A, se dice que mesta definida en A.
RANGO es el conjunto formado par los segundos componentes de los pares ordenados que forman la relaci6n m, y se denota: Ran (m).
En el ejemplo del estudiante de Biologia:
Ran (m) = {O,l; 0,6; 2,1; 4,0; 6,2; 8,4; 10,6; 12,7; 14,6; 14,8}
El experimento del estudiante de Biologia, vista anteriormente, calista de 10 pares ordenados, repre- sentando la relaci6n mcontenida en el conjunto: A (edad). B (peso):
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {l; 2; 3} Y B = {l; 2; 3; 4}
m={(O; 0,1); (1; 0,6); (2; 2,1); (3; 4,0); (4; 6,2); (5; 8,4); (6; 10,6); (7; 12,7); (8; 14,6), (9; 14,8)}
Graficar en un sistema de ejes coordenados los pares 0; 1), (3; 2) yO; 4), pertenecientes a A. B, Y hallar su dominio y rango.
Este conjunto de pares ordenados* se puede graficar en un Sistema de Ejes Coordenados; de esta manera, se representa en la linea horizontal las edades (ele-
mentos del conjunto A) yen la linea vertical los pe-
sos (elementos del conjunto B). Cada una de las pa- rejas es un punto en el grafico y un par ordenado, al mismo tiempo.
Soluci6n: Se trata de la relaci6n: m= {(1; 1), (3; 2), (1; 4)}
El grafico es el siguiente:
y (Rango)
4 ----~, 0; 4) ,, , 3 : , ,, 2 -----i------------T (3; 2) ,, ,, , I 1 ----+, (1; 1) I, ,, I, , , --t--t---+---+---+----i~ x 4 (Dominio) El dominio es el conjunto de los primeros elemen- tos de cada par, y el rango es el conjunto de los se- gundos elementos de cada par en la relaci6n 91. Por 10 tanto:
x
Edad en meses (Dominio)
-------------., , I, ,, ,, ,
---------. , -----,! --. :
I, ,, , I, ,, ,
y (Rango)
16 14 12 10 8 6 4 2
Tambien se usa el punto y coma ( ; ) para separar los elementos del par ordenado y evitar confusi6n con la coma decimal.
Dom (m) = {l; 3}
Ran (m) = {l; 2; 4}
ii) Decir si la relaci6n mes 0 no reflexiva.
m= {( a,a); (b, b); (c,d)}
Ejemplos:
i) Sea el conjunto: A = { 1; 2; 3; 4 } Y la siguiente relaci6n simetrica:
c d
m = {( 1; 2), (2; 1 ), (1; 4), (4; 1 )}
Que puede ser representada en el plano de ejes coordenados como sigue:
(Rango)
----~(l; 4) ,, ,, ,, ,, , -----~, (l (^) '2) , : (2; 1) (4; 1) ____J ~------------. : I I I:"^ ,I , ,
Esta relaci6n no es reflexiva, porque el par orde- nado (c,d) no cumple la relaci6n: "consigo mis- rno".
iii) Sea el conjunto:
A = { Chucho, Jacinto y Jose}
y una relaci6n en A, definida por "Ie gusta ju- gar consigo mismo". Entonces, la relaci6n corresponde al siguiente conjunto:
(^1 2 3 4) (Dominio)
m= {(Chucho, Chucho), Uacinto,Jacinto), Uose,Jose)}
La relaci6n R tambien se puede graficar sagital- mente como:
Que se puede graficar en un diagrama sagital como sigue:
---e 4
e
A
Chucho Jacinto Jose
Por otro lado la relaci6n: m={(1;2), (2;1), (3;2»)
PROPIEDAD SIMETRICA A
"91 es una relaci6n Simetrica si siempre que un ele- mento del conjunto A esti relacionado con otro del mismo conjunto a traves de 91, este ultimo, a su vez, esti relacionado con el primero a traves de 91".
Simb6licamente se denota asi:
m es simetrica .... ( a, b ) E m A ( b, a ) E m
No es slmetrlca porque: (3; 2) E 1R pero (2; 3) 'i 1R. En el diagrama sagital:
ii) Sea el conjunto: A = {Pedro, Juan, Andres} (^) A
1
4
. ---------.
1R 1 = {(Pedro, Juan), Quan, Pedro), (Pedro, Andres), (Andres, Pedro), Quan, Andres), (Andres, Juan)}
Se ha establecido una relaci6n de simetria 91 1 en A, definida por "viven en el mismo barrio".
Es decir, Pedro "vive en el mismo barrio que" Juan, entonces Juan "vive en el mismo barrio que" Pedro; Pedro "vive en el mismo barrio que" Andres, luego Andres "vive en el mismo barrio que" Pedro; Juan vive en el mismo barrio que" Andres, luego Andres "vive en el mismo barrio que" Juan.
N6tese que el elemento "3" esti relacionado con el elemento "1" de dos maneras; una directa y otra, indirecta.
Sin embargo la relaci6n:
En un diagrama sagital: (^) 1R 2 =^ {(4;^ 2), (2; 1), (4; 1),^ (3;^ 4)}
A
Pedro
AndrEs
Juan
No es transitiva, porque el par ordenado (3; 4) E 1R 2 , (4; 2) E 1R 2 , pero (3; 2) 'i 1R 2.
ii) Sea el conjunto: A = {Pedro, Juan, Andres} Y, una relaci6n transitiva en A, definida como: "juega par el mismo equipo que".
1R = {(Pedro, Juan), (Juan, Andres), (Pedro, Andres)}
PROPIEDAD TRANSITIVA
Que, en el diagrama sagital se grafica como sigue:
"91 es una relaci6n transitiva cuando siempre que un elemento del conjunto A esta a su vez relacionado con otro, y este esta relacionado con un tercero, en- tances el primero esta relacionado con el tercero, a traves de 91".
Simbolicamente, se denota asi:
51 (a, b) E 1R A (b, c) E 1R ~ (a, c) E 1R
~ Pedro. • Juan
~.~ Andres
A
RELACION DE EQUIVALENCIA
Ejemplos:
i) Sea el conjunto A = {l; 2; 3; 4}
Y una relaci6n en A definida como: "es mayor que". Entonces:
1R 1 = {( 3; 2), ( 2; 1 ), (3; 1 )}
Jl m de A en A es una cuando es reflexiva, simultaneamente".
relaci6n de Equivalencia, simetrica y transitiva
4.- Sea B = { I; 2; 3; 4 } Y las relaciones:
m, = {(x,y) E B. B / Y = x} m, = {(x,y) E B. B / Y < x} m 3 = {(x,y) E B .B/x<y}
Soluci6n: Conviene escribir todas las relaciones por exten- si6n, con la finalidad de averiguar su cardinal:
m, = {(I; I), (2; 2), (3; 3), (4; 4)} ~ n (m,) = 4
m, = {(2; I), (3; I), (3; 2), (4; I), (4; 2), (4; 3)} ~ n (m,) = 6
m 3 = {(I; 2), (I; 3), (I; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
~ n (m) = 6
:. n (m) + n (m,) - n (m,) = 6 + 6 - 4 = 8
Rpta.: 8
5.- Sea A = {x E I\j / X" 9}
R = {( x, y) EA'/y= x'} S = {( x, y) EA'/y= 2x} T = {(x,y) EA'/x<4 A y> 7}
Hallar nCR) + n(S) + neT) Soluci6n: Por conveniencia, expresamos los conjuntos por extension: A = { 0; I; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } Si Y = x 2 : R = {CO; 0), (I; I), (2; 4), (3; 9)} ~ n (R) = 4 Si Y = 2x: S = {CO; 0), (I; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)} ~ n (S) = 5
Si x < 4 A y> 7:
T = {CO; 8), (I; 8), (2; 8), (3; 8),
(0; 9), (I; 9), (2; 9), (3; 9)}
~ n (T) = 8
.. n (R) + n (S) + n (T) = 4 + 5 + 8 = 17
Rpta.: 17
E,ERCICIOS PROPUESTOS
I. Si m = { (x,y) E I\j. I\j / x + Y = 6 }
Hallar el numero de elementos del rango de la re-
laci6n 91.
e){l;4}
3. Sea la relaci6n mdefinida en los mimeros natura- les por: m = { (x;y) E I\j' / x + 3y = 12 } a) 5 b) 6 e)7 d) 8 e) (^9) Determinar:
m = {(x,y) E I\j' / x + Y = 5 }
Hallar: Dam (m) n Ran (m)
- Sim= {(x;y) E I\j'/x+ 5y= 15} 2. Dada la relaci6n:
a){2;3;4}
e) {I; 2; 3; 4; 5}
b) {I; 2; 3; 4}
d) {O; I; 2; 3; 4; 5}
a) {6; 9; 12}
e) {2;4}
e) {3; 6; 9}
Ran (m) - Dam (m)
b){2;3;4}
d) {I; 2; 4}
Hallar el numero de elementos de
Ran (1R) n Dam (1R). a) 4 b) 3 c) 2 d) I e) 0 B = {x E ;Z / -2" x < 2} Se define la relaci6n msiguiente:
c) 8
- Sea A = {-2; -I; 0; I; 2}
Si 1R= {(x,y) EA'/x'+y'= 5}
1R = {(x, y) E B. A / 2x < y} Hallar n (1R). a) 0 b) 9 Hallar: Dam (1R) - Ran (1R)
d) 7 e) N. A.
a) A b){-1;2} c) 0
- Se define las relaciones:
Entonces, n (91) es:
- Si: A = {x E ;Z / x 3 = x}
1R = {(x; y) E A' / y' = x'}
d) {OJ e) {-2; I, -I; 2} 1R 1 = {(I, a), (2, b), (3, c), (3, d), (4, d)}
1R, = {(a, 2), (c, 3), (c, 4), (d, I)}
(x, y) E 1R 3 ~ (x, z) E 1R 1 A (Z, y) E 1R,
Hallar: Ran ( 1R) - Dam (1R)
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) (^7) a) {I; 2} b) {2} c) {I; 2; 3}
- LCu<iles de las relaciones siguientes son de equi- valencia?
- Si A = {x E !\j / x " 2}
B = {x E ;Z / -2 < x < l}
LCuantas relaciones diferentes de A en B existen?
d) {I; 2; 3; 4} e) 0
- Si el numero de elementos del conjunto A es 9 y
el numero de elementos del conjunto B es 10.
t emil es el numero de elementos del conjunto pa-
tencia de A. B?
e) Ninguna de las anteriores
I. La relaci6n de igualdad para conjuntos. II. La relaci6n de perpendicularidad para rectas en el plano. III. La relaci6n menor para numeros naturales.
d) 5610 I Y II e) 5610 III
a) Todas b) 5610 I c) 5610 I Y II
a) 2 b) 6 c) 36
d) 64
a) 90 b) 90' c) 2 90 13.^ Sea^ 1R^ = {(^ x,^ y ) E^ !\j'^ /^ x,^ y es par}
- Sea B = {I; 2; 3; 4} Y las relaciones:
d) (^2 19) e) Ninguna de las anteriores
Se afirma 10 siguiente:
I. mes reflexiva II. mes simetrica
.:Que afirmaciones son verdaderas?
1R 1 = {(x, y) E B. B / Y = x } III. mes transitiva
1R, = {(x, y) E B. B / Y < x }
1R 3 = {(x, y) E B. B / x < Y }
Hallar: n(1R) + n(1R,) - n(1R 1 )
a) 5610 I
d) II Y III
b) 5610 II
e) I, II Y III
c) 5610 III
a) 12 b) 6 c)4 d) 8 e) 10 14.^ Consideramos^ las^ siguientes^ relaciones^ defini-
das en iZ:
- Sea:A={xE!\j/-4"x<3} (^) 1R = {(2; 3), (4; 6), (9; 3), (5; 13), (8; 9)}
