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Polynômes
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Vidéo ■ partie 1. Définitions Vidéo ■ partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo ■ partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo ■ partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polynômes Exercices Fractions rationnelles
Motivation
Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX 2 +bX +c = 0. Savez-vous que la résolution des équations de degré 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l’objet de luttes acharnées dans l’Italie du X V Ie^ siècle? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente équations en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmé- tique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q , R ou C.
1. Définitions
1.1. Définitions
Définition 1 Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme
P(X ) = an X n^ + an− 1 X n−^1 + · · · + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ,
avec n ∈ N et a 0 , a 1 ,... , an ∈ K. L’ensemble des polynômes est noté K[X ].
- Les ai sont appelés les coefficients du polynôme. - Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul , il est noté 0. - On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai 6 = 0 ; on le note deg P. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. - Un polynôme de la forme P = a 0 avec a 0 ∈ K est appelé un polynôme constant. Si a 0 6 = 0, son degré est 0.
Exemple 1
- X 3 − 5 X + 34 est un polynôme de degré 3. - X n^ + 1 est un polynôme de degré n. - 2 est un polynôme constant, de degré 0.
1.2. Opérations sur les polynômes
- Égalité. Soient P = an X n^ + an− 1 X n−^1 +· · ·+ a 1 X + a 0 et Q = bn X n^ + bn− 1 X n−^1 +· · ·+ b 1 X + b 0 deux polynômes à coefficients dans K.
P = Q ssi ai = bi pour tout i
et on dit que P et Q sont égaux.
- Addition. Soient P = an X n^ +an− 1 X n−^1 +· · ·+a 1 X +a 0 et Q = bn X n^ +bn− 1 X n−^1 +· · ·+b 1 X +b 0. On définit :
P + Q = (an + bn)X n^ + (an− 1 + bn− 1 )X n−^1 + · · · + (a 1 + b 1 )X + (a 0 + b 0 )
- Multiplication. Soient P = an X n^ + an− 1 X n−^1 + · · · + a 1 X + a 0 et Q = bm X m^ + bm− 1 X m−^1 + · · · + b 1 X + b 0. On définit
P × Q = cr X r^ + cr− 1 X r−^1 + · · · + c 1 X + c 0 avec r = n + m et ck =
i+ j=k
ai b (^) j pour k ∈ {0,... , r}.
- Multiplication par un scalaire. Si λ ∈ K alors λ ·P est le polynôme dont le i-ème coefficient est λ ai. Exemple 2 - Soient P = aX 3 +bX 2 +cX +d et Q = α X 2 + β X + γ. Alors P+Q = aX 3 +(b+ α )X 2 +(c+ β )X + (d+ γ ), P ×Q = (a α )X 5 +(a β +b α )X 4 +(a γ +b β +c α )X 3 +(b γ +c β +d α )X 2 +(c γ +d β )X +d γ. Enfin P = Q si et seulement si a = 0, b = α , c = β et d = γ. - La multiplication par un scalaire λ · P équivaut à multiplier le polynôme constant λ par le polynôme P.
L’addition et la multiplication se comportent sans problème :
Proposition 1
Pour P,Q, R ∈ K[X ] alors
- 0 + P = P, P + Q = Q + P, (P + Q) + R = P + (Q + R) ; - 1 · P = P, P × Q = Q × P, (P × Q) × R = P × (Q × R) ; - P × (Q + R) = P × Q + P × R.
Pour le degré il faut faire attention :
2. Arithmétique des polynômes
Il existe de grandes similarités entre l’arithmétique dans Z et l’arithmétique dans K[X ]. Cela nous permet d’aller assez vite et d’omettre certaines preuves.
2.1. Division euclidienne
Définition 3 Soient A, B ∈ K[X ], on dit que B divise A s’il existe Q ∈ K[X ] tel que A = BQ. On note alors B|A.
On dit aussi que A est multiple de B ou que A est divisible par B. Outre les propriétés évidentes comme A|A, 1|A et A|0 nous avons :
Proposition 3
Soient A, B, C ∈ K[X ].
- Si A|B et B|A, alors il existe λ ∈ K∗^ tel que A = λ B.
- Si A|B et B|C alors A|C.
- Si C|A et C|B alors C|(AU + BV ), pour tout U, V ∈ K[X ].
Théorème 1. Division euclidienne des polynômes
Soient A, B ∈ K[X ], avec B 6 = 0, alors il existe un unique polynôme Q et il existe un unique polynôme R tels que :
A = BQ + R et deg R < deg B.
Q est appelé le quotient et R le reste et cette écriture est la division euclidienne de A par B. Notez que la condition deg R < deg B signifie R = 0 ou bien 0 … deg R < deg B. Enfin R = 0 si et seulement si B|A. Démonstration Unicité. Si A = BQ +R et A = BQ′^ +R′, alors B(Q −Q′) = R′^ −R. Or deg(R′^ −R) < deg B. Donc Q′^ −Q = 0. Ainsi Q = Q′, d’où aussi R = R′. Existence. On montre l’existence par récurrence sur le degré de A.
- Si deg A = 0 et deg B > 0, alors A est une constante, on pose Q = 0 et R = A. Si deg A = 0 et deg B = 0, on pose Q = A/B et R = 0. - On suppose l’existence vraie lorsque deg A … n −1. Soit A = an X n^ +· · ·+ a 0 un polynôme de degré n (an 6 = 0). Soit B = bm X m^ + · · · + b 0 avec bm 6 = 0. Si n < m on pose Q = 0 et R = A. Si n m on écrit A = B · (^) bamn X n−m^ + A 1 avec deg A 1 … n−1. On applique l’hypothèse de récurrence à A 1 : il existe Q 1 , R 1 ∈ K[X ] tels que A 1 = BQ 1 + R 1 et deg R 1 < deg B. Il vient :
A = B
( (^) a n bm^ X^
n−m (^) + Q 1
)
Donc Q = a bmn X n−m^ + Q 1 et R = R 1 conviennent.
Exemple 4 On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si A = 2 X 4 − X 3 − 2 X 2 + 3 X − 1 et B = X 2 − X + 1. Alors on trouve Q = 2 X 2 + X − 3 et R = −X + 2. On n’oublie pas de vérifier qu’effectivement A = BQ + R.
2 X 4 − X 3 − 2 X 2 + 3 X − 1 X 2 − X + 1
2 X 2 + X − 3
− 2 X 4 − 2 X 3 + 2 X 2 X 3 − 4 X 2 + 3 X − 1 − X 3 − X 2 + X − 3 X 2 + 2 X − 1 − − 3 X 2 + 3 X − 3 −X + 2
Exemple 5
Pour X 4 − 3 X 3 + X + 1 divisé par X 2 + 2 on trouve un quotient égal à X 2 − 3 X − 2 et un reste égale à 7X + 5.
X 4 − 3 X 3 + X + 1 X 2 + 2
X 2 − 3 X − 2
− X 4 + 2 X 2 − 3 X 3 − 2 X 2 + X + 1 − − 3 X 3 − 6 X − 2 X 2 + 7 X + 1 − − 2 X 2 − 4 7 X + 5
2.2. pgcd
Proposition 4
Soient A, B ∈ K[X ], avec A 6 = 0 ou B 6 = 0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B.
Cet unique polynôme est appelé le pgcd (plus grand commun diviseur) de A et B que l’on note pgcd(A, B).
Théorème 2. Théorème de Bézout
Soient A, B ∈ K[X ] des polynômes avec A 6 = 0 ou B 6 = 0. On note D = pgcd (A, B). Il existe deux polynômes U, V ∈ K[X ] tels que AU + BV = D.
Ce théorème découle de l’algorithme d’Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le voit sur l’exemple suivant.
Exemple 8
Nous avons calculé pgcd(X 4 − 1, X 3 − 1) = X − 1. Nous remontons l’algorithme d’Euclide, ici il n’y avait qu’une ligne : X 4 − 1 = (X 3 −1)× X + X −1, pour en déduire X − 1 = (X 4 −1)× 1 +(X 3 −
- × (−X ). Donc U = 1 et V = −X conviennent.
Exemple 9
Pour A = X 5 +X 4 + 2 X 3 +X 2 +X +2 et B = X 4 + 2 X 3 +X 2 −4 nous avions trouvé D = pgcd(A, B) = X 2 + X + 2. En partant de l’avant dernière ligne de l’algorithme d’Euclide on a d’abord : B = (3X 3 + 2 X 2 + 5 X − 2) × 19 (3X + 4) − 149 D donc
− 14 9
D = B − (3X 3 + 2 X 2 + 5 X − 2) × 1
(3X + 4).
La ligne au-dessus dans l’algorithme d’Euclide était : A = B × (X − 1) + 3 X 3 + 2 X 2 + 5 X − 2. On substitue le reste pour obtenir :
−
9 D^ =^ B^ −^
A − B × (X − 1)
×
9 (3X^ +^ 4).
On en déduit − 14 9
D = −A × 1
(3X + 4) + B
1 + (X − 1) × 1
(3X + 4)
Donc en posant U = 141 (3X +4) et V = − 141
9 +(X −1)(3X +4)
= − 141 (3X 2 +X +5) on a AU +BV = D.
Le corollaire suivant s’appelle aussi le théorème de Bézout.
Corollaire 1
Soient A et B deux polynômes. A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
Corollaire 2
Soient A, B, C ∈ K[X ] avec A 6 = 0 ou B 6 = 0. Si C|A et C|B alors C| pgcd(A, B).
Corollaire 3. Lemme de Gauss
Soient A, B, C ∈ K[X ]. Si A|BC et pgcd(A, B) = 1 alors A|C.
2.4. ppcm
Proposition 5
Soient A, B ∈ K[X ] des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaire M de plus petit degré tel que A|M et B|M.
Cet unique polynôme est appelé le ppcm (plus petit commun multiple) de A et B qu’on note ppcm(A, B). Exemple 10
ppcm
X (X − 2)^2 (X 2 + 1)^4 , (X + 1)(X − 2)^3 (X 2 + 1)^3
= X (X + 1)(X − 2)^3 (X 2 + 1)^4.
De plus le ppcm est aussi le plus petit au sens de la divisibilité :
Proposition 6
Soient A, B ∈ K[X ] des polynômes non nuls et M = ppcm(A, B). Si C ∈ K[X ] est un polynôme tel que A|C et B|C, alors M|C.
Mini-exercices
- Trouver les diviseurs de X 4 + 2 X 2 + 1 dans R[X ], puis dans C[X ].
- Montrer que X − 1 |X n^ − 1 (pour n 1).
- Calculer les divisions euclidiennes de A par B avec A = X 4 − 1, B = X 3 − 1. Puis A = 4 X 3 + 2 X 2 − X − 5 et B = X 2 + X ; A = 2 X 4 − 9 X 3 + 18 X 2 − 21 X + 2 et B = X 2 − 3 X + 1 ; A = X 5 − 2 X 4 + 6 X 3 et B = 2 X 3 + 1.
- Déterminer le pgcd de A = X 5 + X 3 + X 2 + 1 et B = 2 X 3 + 3 X 2 + 2 X + 3. Trouver les coefficients de Bézout U, V. Mêmes questions avec A = X 5 − 1 et B = X 4 + X + 1.
- Montrer que si AU + BV = 1 avec degU < deg B et deg V < deg A alors les polynômes U, V sont uniques.
3. Racine d’un polynôme, factorisation
3.1. Racines d’un polynôme
Théorème 3. Théorème de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme à coefficients complexes de degré n 1 a au moins une racine dans C. Il admet exactement n racines si on compte chaque racine avec multiplicité.
Nous admettons ce théorème. Exemple 11
Soit P(X ) = aX 2 + bX + c un polynôme de degré 2 à coefficients réels : a, b, c ∈ R et a 6 = 0.
- Si ∆ = b^2 − 4 ac > 0 alors P admet 2 racines réelles distinctes −b+
p∆ 2 a et^
−b−p∆ 2 a.
- Si ∆ < 0 alors P admet 2 racines complexes distinctes −b+i
p|∆| 2 a et^
−b−ip|∆| 2 a.
- Si ∆ = 0 alors P admet une racine réelle double − 2 ba. En tenant compte des multiplicités on a donc toujours exactement 2 racines.
Exemple 12 P(X ) = X n^ − 1 admet n racines distinctes. Sachant que P est de degré n alors par le théorème de d’Alembert-Gauss on sait qu’il admet n racines comptées avec multiplicité. Il s’agit donc maintenant de montrer que ce sont des racines simples. Supposons –par l’absurde– que α ∈ C soit une racine de multiplicité 2. Alors P( α ) = 0 et P′( α ) = 0. Donc α n^ − 1 = 0 et n α n−^1 = 0. De la seconde égalité on déduit α = 0, contradictoire avec la première égalité. Donc toutes les racines sont simples. Ainsi les n racines sont distinctes. (Remarque : sur cet exemple particulier on aurait aussi pu calculer les racines qui sont ici les racines n-ième de l’unité.)
Pour les autres corps que les nombres complexes nous avons le résultat plus faible suivant :
Théorème 4
Soit P ∈ K[X ] de degré n 1. Alors P admet au plus n racines dans K.
Exemple 13
P(X ) = 3 X 3 − 2 X 2 + 6 X − 4. Considéré comme un polynôme à coefficients dans Q ou R, P n’a qu’une seule racine (qui est simple) α = 23 et il se décompose en P(X ) = 3(X − 23 )(X 2 + 2). Si on considère maintenant P comme un polynôme à coefficients dans C alors P(X ) = 3(X − 23 )(X − i
p 2)(X + i
p
- et admet 3 racines simples.
3.3. Polynômes irréductibles
Définition 8 Soit P ∈ K[X ] un polynôme de degré 1, on dit que P est irréductible si pour tout Q ∈ K[X ] divisant P, alors, soit Q ∈ K∗, soit il existe λ ∈ K∗^ tel que Q = λ P.
Remarque
- Un polynôme irréductible P est donc un polynôme non constant dont les seuls diviseurs de P sont les constantes ou P lui-même (à une constante multiplicative près). - La notion de polynôme irréductible pour l’arithmétique de K[X ] correspond à la notion de nombre premier pour l’arithmétique de Z. - Dans le cas contraire, on dit que P est réductible ; il existe alors des polynômes A, B de K[X ] tels que P = AB, avec deg A 1 et deg B 1.
Exemple 14
- Tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles. Par conséquent il y a une infinité de polynômes irréductibles. - X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) ∈ R[X ] est réductible. - X 2 + 1 = (X − i)(X + i) est réductible dans C[X ] mais est irréductible dans R[X ]. - X 2 − 2 = (X −
p 2)(X +
p
- est réductible dans R[X ] mais est irréductible dans Q[X ].
Nous avons l’équivalent du lemme d’Euclide de Z pour les polynômes :
Proposition 9. Lemme d’Euclide
Soit P ∈ K[X ] un polynôme irréductible et soient A, B ∈ K[X ]. Si P|AB alors P|A ou P|B.
Démonstration Si P ne divise pas A alors pgcd (P, A) = 1 car P est irréductible. Donc, par le lemme de Gauss, P divise B.
3.4. Théorème de factorisation
Théorème 5
Tout polynôme non constant A ∈ K[X ] s’écrit comme un produit de polynômes irréductibles unitaires : A = λ Pk 1 1 P 2 k 2 · · · Pk rr où λ ∈ K∗, r ∈ N∗, ki ∈ N∗^ et les Pi sont des polynômes irréductibles distincts. De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
Il s’agit bien sûr de l’analogue de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers.
3.5. Factorisation dans C[X ] et R[X ]
- Factoriser P(X ) = (2X 2 + X −2)^2 (X 4 −1)^3 et Q(X ) = 3(X 2 −1)^2 (X 2 − X + 14 ) dans C[X ]. En déduire leur pgcd et leur ppcm. Mêmes questions dans R[X ].
- Si pgcd(A, B) = 1 montrer que pgcd(A + B, A × B) = 1.
- Soit P ∈ R[X ] et α ∈ C\R tel que P( α ) = 0. Vérifier que P( α ¯) = 0. Montrer que (X − α )(X − α ¯) est un polynôme irréductible de R[X ] et qu’il divise P dans R[X ].
4. Fractions rationnelles
Définition 9 Une fraction rationnelle à coefficients dans K est une expression de la forme
F = P Q où P,Q ∈ K[X ] sont deux polynômes et Q 6 = 0.
Toute fraction rationnelle se décompose comme une somme de fractions rationnelles élémentaires que l’on appelle des « éléments simples ». Mais les éléments simples sont différents sur C ou sur R.
4.1. Décomposition en éléments simples sur C
Théorème 8. Décomposition en éléments simples sur C
Soit P/Q une fraction rationnelle avec P,Q ∈ C[X ], pgcd (P,Q) = 1 et Q = (X − α 1 )k^1 · · · (X − α r)kr^. Alors il existe une et une seule écriture : P Q =^ E^ +^
a 1 , 1 (X − α 1 )k^1
a 1 , 2 (X − α 1 )k^1 −^1
a 1 ,k 1 (X − α 1 )
a 2 , 1 (X − α 2 )k^2
a 2 ,k 2 (X − α 2 )
Le polynôme E s’appelle la partie polynomiale (ou partie entière ). Les termes (^) (X −a α )i sont les éléments simples sur C. Exemple 17
- Vérifier que (^) X 21 + 1 = (^) Xa +i + (^) Xb −i avec a = 12 i, b = − 12 i. - Vérifier que X(^4 X− −^8 2)X^22 (+X^9 +X3)^ − 7 = X + 1 + (^) (X− −^1 2) 2 + (^) X 2 − 2 + (^) X− +^13.
Comment se calcule cette décomposition? En général on commence par déterminer la partie poly- nomiale. Tout d’abord si degQ > deg P alors E(X ) = 0. Si deg P … degQ alors effectuons la division euclidienne de P par Q : P = QE + R donc PQ = E + RQ où deg R < degQ. La partie polynomiale est donc le quotient de cette division. Et on s’est ramené au cas d’une fraction RQ avec deg R < degQ. Voyons en détails comment continuer sur un exemple.
Exemple 18
Décomposons la fraction PQ = X^5 −^2 X X^3 3 +−^43 XX^2 +− 28 X^ +^11.
- Première étape : partie polynomiale. On calcule la division euclidienne de P par Q : P(X ) = (X 2 + 1)Q(X ) + 2 X 2 − 5 X + 9. Donc la partie polynomiale est E(X ) = X 2 + 1 et la fraction s’écrit (^) QP((XX^ )) = X 2 + 1 + 2 X^2 Q−(^5 XX )^ +^9. Notons que pour la fraction 2 X^2 Q−(^5 XX ) +^9 le degré du numérateur est strictement plus petit que le degré du dénominateur. - Deuxième étape : factorisation du dénominateur. Q a pour racine évidente + 1 (racine double) et −2 (racine simple) et se factorise donc ainsi Q(X ) = (X − 1)^2 (X + 2). - Troisième étape : décomposition théorique en éléments simples. Le théorème de décomposition en éléments simples nous dit qu’il existe une unique décomposition : P(X ) Q(X ) =^ E(X^ )^ +^
a (X −1)^2 +^
b X − 1 +^
c X + 2. Nous savons déjà que^ E(X^ )^ =^ X^2 +^ 1, il reste à trouver les nombres a, b, c.
- Quatrième étape : détermination des coefficients. Voici une première façon de déterminer a, b, c. On récrit la fraction (^) (X −a1) 2 + (^) Xb − 1 + (^) X c+ 2 au même dénominateur et on l’identifie avec 2 X^2 Q−(^5 XX )^ +^9 :
a (X − 1)^2
= (b^ +^ c)X^
(^2) + (a + b − 2 c)X + 2 a − 2 b + c (X − 1)^2 (X + 2)
qui doit être égale à 2 X^
2 − 5 X + 9
(X − 1)^2 (X + 2)
On en déduit b + c = 2, a + b − 2 c = −5 et 2a − 2 b + c = 9. Cela conduit à l’unique solution a = 2, b = −1, c = 3. Donc
P Q =^
X 5 − 2 X 3 + 4 X 2 − 8 X + 11
X 3 − 3 X + 2 =^ X^
(X − 1)^2 +^
X − 1 +^
X + 2.
Cette méthode est souvent la plus longue.
- Quatrième étape (bis) : détermination des coefficients. Voici une autre méthode plus efficace. Notons P Q′((XX )) = (^) (^2 XX −^2 1)− (^25) (XX^ + +^9 2) dont la décomposition théorique est : (^) (X −a1) 2 + (^) Xb − 1 + (^) Xc + 2 Pour déterminer a on multiplie la fraction P Q′ par (X − 1)^2 et on évalue en x = 1. Tout d’abord en partant de la décomposition théorique on a :
F 1 (X ) = (X − 1)^2
P′(X )
Q(X ) =^ a^ +^ b(X^ −^ 1)^ +^ c^
(X − 1)^2
X + 2 donc^ F^1 (1)^ =^ a D’autre part
F 1 (X ) = (X − 1)^2 P
′(X )
Q(X ) =^ (X^ −^ 1)
2 2 X^2 −^5 X^ +^9
(X − 1)^2 (X + 2)
= 2 X^
2 − 5 X + 9
X + 2 donc^ F^1 (1)^ =^2 On en déduit a = 2. On fait le même processus pour déterminer c : on multiplie par (X + 2) et on évalue en −2. On calcule F 2 (X ) = (X + 2) P
′(X ) Q(X ) =^
2 X 2 − 5 X + 9 (X −1)^2 =^ a^
X + 2 (X −1)^2 +^ b^
X + 2 X − 1 +^ c^ de deux façons et lorsque l’on évalue x = −2 on obtient d’une part F 2 (−2) = c et d’autre part F 2 (−2) = 3. Ainsi c = 3. Comme les coefficients sont uniques tous les moyens sont bons pour les déterminer. Par exemple lorsque l’on évalue la décomposition théorique P Q′((XX )) = (^) (X −a1) 2 + (^) Xb − 1 + (^) X c+ 2 en x = 0, on obtient : P′(0) Q(0) =^ a^ −^ b^ +^
c 2
