series numericas integrales, Summaries of Fourier Transform and Series

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SERIES NUMÉRICAS

Secciones 11.2 Y 11.3 (Parte I)

Steward J.

Sexta Edición

DEFINICIÓN :

Si {a n

} es una sucesión de números reales, entonces una serie numérica es una suma infinita de números reales; esto es, a 1

a 2

• a 3

• … + a n

• …

Se suele denotar a dicha suma infinita con la expresión:

  

 

     

n 1

1 2 3 n n

n ésimo

términ o n ésimo

términ o

a a a  a  a

Se denomina la n-ésima suma parcial a la suma de los primeros “ n” términos :



     

n

k 1

n 1 2 3 n k

S a a a  a a

SERIES DE SUMA CONOCIDA

SERIES GEOMÉTRICAS

Y

SERIES TELESCÓPICAS

Para éstas series resulta fácil saber si CONVERGEN (y su suma se conoce) ó DIVERGEN.

n 2

n 0

n

n=

ar a ar ar ...

converge si r 1 y su suma es:

a ar r < 1

1 r







   











SERIE GEOMÉTRICA

Definición: una serie  n

a n

, se dice que es geométrica si puede ser escrita en la forma:

      

.....

n

n n

n n^

a a r a r a r  a r  a r

Teorema: (Criterio de Series geométricas) La serie geométrica

La serie geométrica es divergente y no tiene suma si │r│≥ 1.

EJEMPLO 1:

 ^ ^  ^ ^  ^ 













 0 4

5

2 5

1

0 7

2 3

4

1. 1 ) 1. 2 ) 3. 1. 3 ) 2. n

n

n

n

n

n

Determine el comportamiento de las siguientes series y si es posible, halle su suma:

Rpta.: 28/ 15

Rpta.: 3/ 35

. Rpta.: Diverge a +∞.

Se concluye que la serie converge y su suma es dada por

Sol. Ej. (^)  ^ ^ ^ ^  



1. 1 )

n

n

n

n

 

 

 

 

 

..

7

5

3

4

7

2

3

4     

  r

a

n

n

n

n

a r

La serie es geométrica y como 1.

7

2 7

r ^2  

Se concluye que la serie converge y su suma es dada por

 ^ ^ ^ ^ ^ ^  ^ ^ ^ ^ ^  

  

1. 2 ) 3. 3.. 3.

m

m

n

n

n

n

            

 

3... 10

(^31) 25

1 1

3 25

1 25 1

1

0

25

1

0

5

1 25

1 5

6 5

   1  



 



  



 





  









   r

a

m

m

m

m ar

La serie es geométrica y como

r  ^1 5 ^15  1.

Series Desplegables ó Telescópicas

En tal caso, la suma parcial : S n

= b 1

• b 2

• ... + b n

puede ser simplificada como sigue :

        

lim S lim (a a ) lim(a ) lim (an ) n

1 n

1 n n

n n

Una serie infinita  n

b n

se dice telescópica , si esta escrita o puede ser escrita (como una diferencia de

términos consecutivos de una sucesión) en la forma:  n

(a n

• a n+

).

S n

= b 1

• b 2

• ... + b n

= (a 1

• a 2

) + (a 2

• a 3

) + +(a n-

• a n-

) + (a n-

• a n

)

= a 1

• a n

.

Por lo que:







 

      si {a }diverge a.

a L si {a }converge a L a lim a

n

1 n n n

1

SERIES TELESCÓPICAS

k=

1

Pr uebe que la serie es convergente

k +k

e indique cual es su valor.



Ejemplo 1:

OPERACIONES CON SERIES

n n

n

n n n n

Si a y b son series convergentes,

entonces también lo son las series:

ca (donde "c" es una cons tan te),

(a  b ) y (a  b )

Teorema:

n n n 1 n 1

n n n n n 1 n 1 n 1

n n n n n 1 n 1 n 1

PROPIEDADES DE LAS SERIES :

1. Ca C a

2. (a b ) a b

3. (a b ) a b

 

    

     

  

 

  

  

EJEMPLO 2:

 ^ ^  ^  ^ ^  ^  ^ 



 







 

      1

1 1

1 0 4

5 1

(^11)

7

2 3

4

1. 1 ) 2 2. 2 ) 2. 3 2. 3 ) ln( 1 ) ln( 1 ) n n n n

n

n n n

n

Determine el comportamiento de las siguientes series y si es posible, halle su suma:

Rpta.: 43/15 Rpta.: Diverge a +∞. Rpta.: -ln(2).

Ver la solución en la pizarra!!!

EJEMPLO 3:

Determine el comportamiento de las siguientes series y si es posible, halle su

suma:

Rpta.: 43/15 Rpta.: Diverge a +∞. Rpta.: -ln(2).

Ver la solución en la pizarra!!!

 ^ ^  ^  ^ ^  ^  ^ 



 







 

      1

1 1

1 0 4

5 1

(^11)

7

2 3

4

1. 1 ) 2 2. 2 ) 2. 3 2. 3 ) ln( 1 ) ln( 1 ) n n n n

n

n n n

n

 ^ ^  ^  ^ ^  ^  ^ 













   0 4 0

5 0 4

5

1. 2 ) 2. 3 2. 3 n n

n

n

n (^) la serie completa es una resta de

series divergentes, luego, no se

concluye nada!



Estudiemos la serie completa con otro procedimiento:

  

1. 2 ) lim 2. 3 2. lim lim 3 2. 3 4

5 4

5

n

n

n

n

n

lim   ,  

n

n^4

5 Donde usamos que pues r = 5/4  = 5/4 > 1.

Concluimos entonces que la serie completa es una serie divergente, por el criterio de la divergencia!

^ ^ 



 ^

   1

1 1

1

1. 3 ) ln( 1 ) ln( 1 ) n n^ n

Hágala usted!!!

Condición Necesaria Para La Convergencia

de una Serie Numérica

n n=

n^ n

Si la serie a es CONVERGENTE,

entonces lim a 0



 





Teorema:

Nota : El recíproco es FALSO !!!!

Existen series como y que son divergentes aunque 

n n 

 1 ln(  1 )

n n

lim ( ) 0 lim ( ) 0.

ln( 1 )

 

n

n

n

n

y

EJEMPLO 3:

 

 

 









0 1

1

1

( )

1

1

3. 3 ) ln( 1 )

n n

n

n

n

n e n

n

Utilice el teorema de la divergencia para determinar el comportamiento de las siguientes

series:

ver la solución en la pizarra!!

Sol.: 3.^1 )^2 .^1 ^ diverge pues lim lim^2 .^1 ^.

1

1

1    



  





 

n

n

n n n

n a

   

   

   

 







   

    

 ^1

lim 2. 1

lim 2. 1 lim 2 2

lim 2. 1 lim 2 2

n

n

k

k

k

k

k

k

y

Esto es inmediato si observamos que:

Sol. : 3. 2 ).  1  diverge pues lim . 1  1 0.

( )

1

( 1 )^1      



 (^) 

n n n e b n e n n n

lim n. e 1 . 0

( )

n

n

1

 

Esto es claro del hecho que:

 

  (^) 





  x^2

1

x^2

x^ ) 1 ( 1 e.

x

lim

0

e 1 0

x x

1

(^1 x )

lim  



  ^ ^

 

  



  '

e '

x

L´ H

x

1

(^1 x )

lim

lim e  e e 1 0.

( ) ( ) ( 0 )

x

1 x

1



 

  