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Systèmes de coordonnées
On note R le référentiel d’étude, lié le trièdre orthonormé direct (Oxyz), auquel est associé l’échelle de temps dont la date est t. I. Coordonnées cartésiennes
Les vecteurs de base sont les vecteurs unitaires e x ey ez
, , dirigeant les 3 axes du trièdre (Oxyz).
La base ( e x ey ez
, , ) est fixe dans R
Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) d’un point M sont les valeurs algébriques mesurées par rapport au point O des projections orthogonales de M respectivement sur les axes (Ox), (Oy) et (Oz).
Ce sont donc des réels : - ∞ < x < +∞ - ∞ < y < +∞ - ∞ < z < +∞.
Le vecteur position à l’instant t est : OM^ t xt ex yt ey z t ez
Soit un point M’ tel que x’ = x + dx, y’ = y + dy et z’ = z + dz.
Le vecteur déplacement élémentaire est : dl^ MM OM OM dOM dxex dyey dzez
Le vecteur vitesse de M par rapport à R est : vM^ R xex yey zez
/ ^
Le vecteur accélération de M par rapport à R est : a M R xex yey zez
/ ^
Les surfaces élémentaires sont (en indice les coordonnées qui varient sur la surface) : dSy,z = dy.dz dSx,z = dx.dz dSx,y = dx.dy Le volume élémentaire est dV = dx.dy.dz
II. Coordonnées cylindriques H est le projeté orthogonal de M dans le plan (Oxy). Les coordonnées cylindriques (r,,z) d’un point M sont telles que : r = OH ; 0 r < +∞ angle orienté entre l’axe Ox et OH ; 0 2 , - ∞ < z < +∞.
Les vecteurs de base sont les vecteurs unitaires er e ez
er est le vecteur unitaire qui dirige (^) OH , e est le vecteur unitaire appartenant au plan (Oxy), perpendiculaire à er , dans le sens des croissants. ez est le vecteur unitaire qui dirige l’axe Oz
Le vecteur position à l’instant t est : OM t rt er zt ez
La base ( er e ez
, , ) est mobile dans R, elle dépend de la position du point M à la date t.
Les dérivées dans R de ces vecteurs sont : e
dt
de
R r
r R e dt d e 0
R z
dt
de
Le vecteur déplacement élémentaire est : MM dOM drer rd e dzez
'
Le vecteur vitesse de M par rapport à R est : vM R rer r e zez
/ ^ Le vecteur accélération de M par rapport à R est : aM^ R r r er r r e zez ^ / ^2 ^2 Les surfaces élémentaires sont : dS,,z = rd.dz dSr,z = dr.dz dSr, = dr.rd Le volume élémentaire est dV = r.dr.d.dz
