Université Hassan II de Casablanca
Faculté des Sciences et Techniques Mohammedia
Département de Physique. Module Electricité I
TD1. Calcul vectoriel
I. Coordonnées : cartésiennes-cylindriques-sphériques
Dans les trois systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques (voir figures)
déterminer les expressions :
1) des coordonnées du vecteurOM
; 2) du vecteur déplacement élémentaire ()dOM d
; 3)
d'un élément de volume (dv).
II. Opérateur : gradient, divergence et rotationnel
1) Dans une base en coordonnées cartésiennes(, , )ijk
, on considère une fonction scalaire et
un champ de vecteur : 2
(,,) ; cos() .
z
f
xyz xy e A x zi yzj
Déterminer : ( ) ; ( ) ; ( ).grad f div A rot A
2) Même question en coordonnées cylindriques : (,,) ; sin()
z
f
zAu k
III. Circulation d’un vecteur
Dans une base en coordonnées cartésiennes, on considère un champ de vecteur
2
x
z
A
xe yze
. Déterminer la circulation C de
A
entre les points P(0,-1,1) et Q(1,1,2) :
.
Q
P
CAdl .
IV. Flux d'un vecteur
1. En coordonnées cartésiennes, un champ de vecteur a pour expression 1
y
Ae
x
. Une
surface S a une forme carré de côté a est placée dans le plan oxz (1<x<a et 0<z<a).
Déterminer le flux de
A
à travers S.
2. En coordonnées cylindriques, on considère un champ de vecteur 2
A
u
; S est une
surface cylindrique d'axe oz, de rayon R et de hauteur h. Déterminer le flux de
A
à travers S.
V. Relation de Geen-Ostrogradsky
En coordonnées cylindrique, on considère : ()
A
fu
, C : un cercle d'axe oz et de rayon R,
S : la surface plane de contour C. Montrer que le théorème de Stokes est vérifié.
