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Théorèmes généraux
Exercice 1
Soit une barre AB, homogène rectiligne, de longueur 2l, de centre d’inertie G et de masse m, en mouvement dans le plan vertical d’un repère fixe orthonormé direct galiléen R 0 (O, de manière à ce que l’extrémité A ( respectivement B )se déplace le long de Oz 0 sans frottement (respectivement Oy 0 ).
1- Paramétrer la position de la barre, et donner 2- Calculer l’énergie cinétique de la barre dans R 0. 3- Déterminer à l’aide des théorèmes généraux les équations du mouvement de la barre. Solution 1 - Paramétrage de la barre Soit RS(G, Xs, Ys, Zs) le repère lié à la barre tel que OZs suivant BA et Ys faisant l’angle θ avec Oy 0. La position de G est donnée par :
2- Energie cinétique de la barre.
L’axe Ys est axe de symétrie, donc axe principal d’inertie, et par conséquent les axes Xs et Zs sont axes principaux d’inertie, et la matrice d’inertie dans la base (G, Xs, Ys, Zs).est diagonale. la barre est suivant Zs, un élément de longueur dl de la barre n’a pas de composantes suivant GxS et GyS ( Xs=Ys=0)
C=0 ,
3- A) Calcul de la résultante dynamique
Bilan des forces agissant sur la barre AB
Z 0
Zs
Y 0
Ys
G
A
B
O
θ
A et B se déplacent respectivement sur OZ et OY sans frottement ; les réactions en ces points sont alors normales aux axes OZ et OY. Poids Réaction du bâti en A Réaction du bâti en B
B) Calcul du moment dynamique en G de AB par rapport à R 0
Calcul du moment cinétique
Avec
Calcul du moment dynamique
Calcul des moments des forces au point G
Théorème du moment dynamique Le moment dynamique en un point est égale à la somme des moments de toutes les forces extérieures qui s’exercent sur le système au même point.
En remplaçant RA et RB par leurs valeurs, on obtient:
Exercice 2
Un anneau homogène A de masse M, de rayon a, de centre C 1 roule dans le sens positif d’un axe Ox
du plan vertical xOy d’un repère fixe R. On désigne par x l’abscisse de C 1 sur l’axe Ox et I le
Or
D’où la condition de roulement sans glissement :
3- Energie cinétique du système (A+D) par rapport à R L’énergie cinétique du système est égale à la somme des énergies de ses constituants.
Energie cinétique de l’anneau
Or
Energie cinétique du disque
Energie cinétique du système
4- Torseur cinétique de l’anneau au point C 1
Résultante cinétique : Moment cinétique :
Torseur cinétique du disque au point C 2
Résultante cinétique :
Moment cinétique :
Torseur dynamique de l’anneau au point C 1
Résultante dynamique :
Moment dynamique :
Torseur dynamique du disque au point C 2
Résultante dynamique :
Moment dynamique :
5- Principe fondamental de la dynamique appliqué à l’anneau
Les forces extérieures qui s’exercent sur l’anneau sont : son poids, les réactions en I et J.
Ce qui donne en remplaçant chaque terme par sa valeur :
Moment du poids au point C 1 : Moment de la réaction en I au point C 1 :
Moment de la réaction en J au point C 1 :
Principe fondamental de la dynamique appliqué au disque
Les forces extérieures qui s’exercent su le disque sont : son poids et la réaction en J
Solution
1 - Coordonnées de G 2 et de G 1 Considérons le triangle rectangle OG 2 B rectangle en G 2 :
Et
2- Résultante des forces appliquées au système Les forces qui s’exercent sur le système sont : Poids de T 1 : ; Poids de T 2 : ; Réaction en O : ; Réaction en A : Et Réaction en B :
Puissance de la résultante des forces appliquées au système
Car O fixe, et il n’y a pas de frottement en A et B ce qui se traduit par
g 3- Energie potentielle L’énergie potentielle du système est donnée par :
4- Energie cinétique.du système.
Energie cinétique de T 1
Calculons la matrice d’inertie de la tige T 1 au point O. La tige T 1 est suivant Ou (Ou axe de symétrie), un élément de longueur dx a une masse dm=λdx. On a donc A=0 et B=C=
O
X 0
u
Y 0
θ
A
v
B
G 1
G 2
v
Ce qui donne :
Energie cinétique de T 2
Calculons la matrice d’inertie au point G 2 dans le repère (u, v, z), la tige T 2 est suivant Ov (Ov axe de symétrie)
Energie cinétique du système
5- Equation du mouvement Pas de frottement, et toutes les forces qui travaillent dérivent d’une énergie potentielle, donc l’énergie mécanique est constante et par conséquent sa dérivée par rapport au temps est nulle.
g
Avec : A=
Exercice 4
Dans le plan vertical (Ox, Oy ) d’un repère fixe orthonormé direct galiléen R 0 (O, x, y, z ) où Ox est la verticale ascendante, on considère le mouvement d’un pendule double ( S ) constitué de deux tiges rectilignes homogènes ( OA ) et ( OB ), respectivement de masses m 1 et m 2 , de longueurs l 1 et l 2 , et de centres de gravités G 1 et G 2 , articulées en A, où nous avons une articulation parfaite. 1- Déterminer le moment cinétique en O de la tige ( OA ) par rapport à R 0. 2- Déterminer le moment dynamique en O de la tige ( OA ) par rapport à R 0. 3- Donner l’expression de l’énergie cinétique de ( AB ) par rapport à R 0. 4- Déterminer le moment cinétique en G 2 de la tige ( OA ) par rapport à R 0. 5- Déterminer le moment dynamique en G 2 de la tige ( AB ) par rapport à R 0. 6- Donner l’expression de l’énergie cinétique de ( AB ) par rapport à R 0. 7- Ecrire, à l’aide des théorèmes généraux, les équations du mouvement.
L’accélération du centre de masse G 1 de OA est :
Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire :
Tige AB Les forces extérieures qui s’exercent sur AB sont : Le poids : La réaction en A :
L’accélération du centre de masse G 2 de AB est :
Or + =
Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire : La quantité d’accélération du centre de masse est égale à la somme des forces extérieures appliquées à la tige AB.
Le moment dynamique de la tige en G 2 est égal à la somme des moments des forces en ce point G 2.
En remplaçant par sa valeur ( donnée par l’équation 3 ) dans l’équation 5, on obtient :
Si on multiplie l’équation 4 par et on lui ajoute l’équation 6 , on obtient :
Les équations 7 et 8 sont les équations du mouvement du bi-pendule étudié. 8- Energie cinétique (S/R 0 )= (OA/R 0 )+ (AB/R 0 )
9- Energie potentielle La dérivée de l’énergie potentielle par rapport au temps est égale à la puissance totale des forces appliquées au système affectée du signe moins.
Or
Exercice 5
Soit un système constitué d’une tige filetée OA liée au repère. La tige de masse négligeable tourne autour de l’axe avec une vitesse de rotation. Un cylindre de masse m, de hauteur h et de centre d’inertie G, lié au repère s’enroule autour de cette tige et il a deux mouvements : Un mouvement de translation de son centre d’inertie G lié au repère , suivant l’axe de la tige avec une vitesse linéaire Un mouvement de rotation autour de l’axe avec une vitesse de rotation et tel que : ( On prendra R 2 comme repère relatif et de projection. Déterminer : 1- Le tenseur d’inertie du cylindre au point G par rapport aux repères R 3 et R 2. 2- La vitesse de rotation instantanée du cylindre par rapport au repère R 0.
Vitesse d’entraînement de M
Vitesse de M
Accélération relative de M
Accélération d’entraînement de M
Or
Accélération de Coriolis de M
Accélération de M
4- Torseur cinétique au point O
Or
Torseur dynamique au point O
Or
Or
R 2 est en rotation par rapport à R 0 , et R 3 est aussi en rotation par rapport à R 0.
1- vitesses et les accélérations des points Gi avec i = 1,2, Vitesses des centres d’inertie Gi (i=1, 2, 3)
Accélérations des centres de masse Gi (i=1, 2, 3 )
2- Moments cinétiques des solides (Si) en Gi avec i=1, 2, 3
3- Moments dynamiques des solides (Si) en Gi avec i= 1, 2, 3
α G 1
α
Z 0
Y 0
Z 2
Y 2
X 0 =x 2
Z 3
Y 0
β
G 3
Z 0
X 0 Y^3
β
4- Moment dynamique du système en G 1. Le moment dynamique du système au point G 1 est égale à la somme des moments dynamiques des solides constituant le système au même point G 1. On calcule d’abords les trois moments dynamiques au point G 1 en utilisant la loi de transfert du torseur dynamique.
Ainsi, on a :
D’où :
5- Energie cinétique du système par rapport à R 0. L’énergie cinétique du système est la somme des énergies des solides constituant le système, ce qui donne :
2- Ecrire le théorème du moment dynamique en O du disque seul. 3- Appliquer le théorème de la résultante dynamique à (∑) 4- A partir des relations trouvées aux questions 2 et 3, déduire l’expression de l’accélération en fonction de μ, m, g et α. Quelle est alors la nature du mouvement?
III Etude du mouvement sous l’effet d’un couple
Nous supposons maintenant qu’en plus des efforts précédents la tige exerce sur le disque (D) des
efforts moteurs engendrant un couple ; inversement le disque (D) exerce sur la tige le couple opposé C.
1- Calculer la puissance de chaque action appliquée au système (∑). 2- En appliquant de théorème de l’énergie cinétique, trouver l’équation différentielle du second ordre en x. 3- A quelle condition doit satisfaire la valeur de C pour que le système (∑) puisse grimper la pente, sachant que (∑) est lâché sans vitesse initiale. 4- On suppose dans cette question que μ/m<<1. A l’instant initial =0. En appliquant la loi de Coulomb écrire la condition que doit maintenant satisfaire C pour que le système ‘’monte la côte’’.( utiliser l’équation des moments pour la tige seule ).
Solution
I Questions préliminaires
1- Matrice d’inertie du disque au point O
Oz 1 axe de révolution, donc axe principal d’inertie et par conséquent la matrice d’inertie est diagonale et les moments d’inertie par rapport aux axes Oy 1 et Ox 1 sont égaux.
X 1
P X^1
α
Y 1
(D)
G
θ
O 1
P
α
(T)^ β
A
2- a ) Torseur cinétique de (D) en O
b) Torseur dynamique de (D) en O
3- a) Torseur cinétique de (T) en O
car
b) Torseur dynamique de (T) en O
4- Energies cinétiques
