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S´eance n
o
Introduction aux EDP et aux diff´erences finies
15 Novembre 2005
Exercice 1. Principes du maximum discret et continu -
Convergence L
Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de IR
n
. On considere l’unique solution u du probleme :
−∆u + u = f dans Ω
u = 0 sur Γ
On admettra le r´esultat suivant :
(2) f ∈ C
m (
Ω) =⇒ u ∈ C
m+ (
Ω), pour tout entier m ≥ 1 ,
avec l’estimation (¸onstante C d´ependant de m) :
‖u‖ C
m+ ( ¯ Ω)
≤ C ‖f ‖ C
m ( ¯ Ω)
, ( ‖f ‖ C
m ( ¯ Ω)
= max
|α|≤m
sup
x∈ ¯ Ω
|D
α f (x)| )
1.1 - En supposant que f ∈ C
1 (
Ω), d´emontrer le principe du maximum :
min (0, min
x ∈ ¯ Ω
f (x)) ≤ u(x) ≤ max (0, max
x ∈ ¯ Ω
f (x)) ∀x ∈
En d´eduire l’unicit´e de la solution.
1.2 - On suppose maintenant que Ω est le carr´e ]0, 1[×]0, 1[ auquel cas (2) reste vrai si
on suppose f a support compact dans Ω. On considere un maillage uniforme de pas h de
Ω, M
ij d´esignant le point de coordonn´ees (ih, jh)
0 ≤ i, j ≤ N, h =
1
N
, N ∈ IN
∗
On approche la solution de (1) par le sch´ema aux diff´erences finies :
u i+1,j
- u i− 1 ,j
- u i,j+
- u i,j− 1 − 4 u ij
h
2
uij = 0, si Mij ∈ Γ.
Montrer que la recherche de la solution approch´ee ´equivaut a la r´esolution d’un systeme
lin´eaire dont on pr´ecisera la matrice.
1.3 - D´emontrer que si u i,j est solution de (3), alors :
min (0, min
i,j
fij ) ≤ uij ≤ max (0, max
i,j
fij )
En d´eduire l’existence et l’unicit´e de la solution du sch´ema (3).
1.4 - Nous d´esignons par u h la solution de (3) et posons :
‖ u − u h
∞ = max
i,j
| u(M ij ) − u ij
Dans le cas o`u f ∈ C
2 (
Ω), ´etablir une estimation d’erreur pour ‖ u − u h
∞ en fonction de
h et ‖ f ‖ C 2 ( ¯ Ω)
1.5 - G´en´eraliser les r´esultats des questions 1.2 a 1.3a l’exemple suivant :
−div(a(x)∇u) + q(x)u = f dans Ω
u = 0 sur Γ
ou a(x) et q(x) d´esignent des fonctions r´egulieres satisfaisant en outre :
0 < a∗ ≤ a(x) ≤ a
∗ < +∞ ∀x ∈
0 < q ∗ ≤ q(x) ≤ q
∗ < +∞ ∀x ∈
(On construira en particulier un sch´ema d’approximation par diff´erences finies pour (4)).
Exercice 2. Sur l’´equation de la chaleur 1D.
On s’int´eresse `a u(x, t) solution de :
∂u
∂t
2 u
∂x
2
= 0 x ∈ ]0, 1[, t > 0
u(x, 0) = u 0 (x)
u(0, t) = u(1, t) = 0
(Indication : multiplier l’´equation par u et int´egrer sur ]0, 1[.)
On d´emontrera au pr´ealable que, comme u(0) = 0,
1
0
|u(x)|
2 dx ≤
1
0
∂u
∂x
(x)|
2 dx.
3.1 -(c) Calculer explicitement la solution du probl`eme.
3.2 - On s’int´eresse au probl`eme
∂x
a(x)
∂u
∂x
) = 0 x ∈ ]0, 1[,
u(0) = 0, u(1) = 1
On suppose que la fonction a(x) ne s’annule jamais mais qu’elle n’est plus de signe constant
(penser a une fonction constante par morceaux). Montrer que le probleme est bien pos´e si
et seulement si : ∫ 1
0
a(x)
− 1 dx 6 = 0.
3.3 - Ω d´esignant un ouvert born´e r´egulier et connexe de IR
N , on s’int´eresse au probl`eme :
−∆u = f dans Ω
∂u
∂n
= g sur Γ = ∂Ω
o`u f et g sont donn´es dans L
2 (Ω) × L
2 (Γ).
3.3 -(a) Montrer qu’il n’y a pas unicit´e de la solution. On rajoute alors la condition :
Ω
u dx = 0
qui permet, on l’admettra, de garantir l’unicit´e de la solution.
3.3 -(b) Montrer que si (9,10) admet une solution dans H
1 (Ω), n´ecessairement :
Ω
f dx +
Γ
g dσ = 0
