Data Structures and Practice (INA240) Note 10: Priority Queue: Heap and AVL Tree, Lecture notes of Data Structures and Algorithms

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©copyright 2005 자료구조 및 실습( INA240) NOTE 10

AVL 트리

우선순위 큐: 힙(heap)

AVL 트리: 균형 트리

우선순위 큐

일반적으로 큐는 FIFO 구조를 가진다.

FIFO 큐도 우선순위 큐로 볼 수 있다.

deq O(N) O(1) O(log 2 N)

enq O(1) O(N) O(log 2 N)*

힙

힙힙자료구조로서(heap)은 이진 트리를 이용하여 우선순위 큐를 구현하는, 다음 두 가지 특성을 만족해야 한다.

J

H

D G

B C E

I

F A

J

I

F G

B C D

H

E A

heap

힙: enqueue

힙에서 enqueue는 완전 이진 트리를 유지하기 위해서는 항상 가장

P

L

E F

B C A

N

K G

P

L

E F

B C A

N

K G

M

힙: enqueue – 계속

dequeue교체해야 한다와 비슷하게 순서 특성을 만족하도록 부모와 값을. 이런 교체는 트리가 순서 특성을 만족할 때까지

반복되어야 하며, 이런 재조정을 reheapupreheapup이라 한다.

P

L

E F

B C A

N

K G

M

P

M

E L

B C A

N

K G

F

힙의 구현

P

L

E F

B C

N

K G

P L N E F K G B C

부모의 위치 왼쪽 자식의 위치: (index-1)/2: (index2)+ 오른쪽 자식의 위치: (index2)+

Dequeue

M

E L

B C A

N

K G

F

hole nextHole

public Object deq() throws QueueUnderflowException{if(isEmpty()) throw new QueueUnderflowException(“…”); Comparable toMove = (Comparable)elements[lastIndex];Object tmp = elements[0]; lastIndexreheapDown(toMove);--; } return tmp; private void reheapDown(Comparable item){int hole = 0; int nextHole;nextHole = findNextHole(hole, item); while(nextHole != hole){elements[hole] = elements[nextHole]; hole = nextHole;nextHole = findNextHole(hole, item); }elements[hole] = item; }

Dequeue _private int findNextHole(int hole, Comparable item){int left = hole2+1;int right = hole2+2; Comparable leftChild = null;//_** hole이 자식이 없는 경우 if(left>lastIndex){return hole; }// hole이 왼쪽 자식밖에는 없는 경우 else if(left==lastIndex){if(item.compareTo(elements[left])>0) return hole; } else return left; // else{ hole이 왼쪽, 오른쪽 자식이 모두 있는 경우 leftChild = (Comparable)elements[left];if(leftChild.compareTo(elements[right])>0){ if(item.compareTo(leftChild)>0) return hole;else return left; }else{ if(item.compareTo(elements[right])>0) return hole;else return right; } } }

힙 VS. 다른 우선순위 큐 구현

O(log 2 N)

O(log 2 N)

deq O(log 2 N) O(1) O(N)

enq O(log 2 N) O(N) O(N)

AVL 트리(균형트리)

AVL(AdelsonAVL(Adelson-높이와 오른쪽 서브트리의 높이의 차이가-VelskiiVelskii and Landis)and Landis) 트리트리 : 1 각 노드의 왼쪽 서브트리의이하인 이진 검색 트리

이진 트리의 한 노드가 AVL 성질을 만족하는지 검사하는 방법

두 경로의 차이를 균형균형 인수인수(balance factor)라 한다.

AVL Tree non AVL Tree

LL, RR 회전

트리의 균형은 노드들을 회전회전(rotate)하여 맞춘다.

LL과 RR의 경우에는 단일 회전으로 균형을 맞출 수 있지만

LR과 RL의 경우에는 이중 회전을 해야 균형을 맞출 수 있다.

A

B

B

A

T2 T

A

B

T1 T1 T

B

A

T

LL Rotate (^) RR Rotate

T1 T2 T3^ T1^ T2^ T

LR 회전

A B C

B A

C

A

B

C

T1 T2 T

T

C

B A

T

A

B

C

T1 T2 T

T

C

B A

T1 T2 T3 T

T1 T2 T

RL 회전

A B C

A B

C

A

B

C

C

A B

T1 T2 T3 T

A

B

C

C

A B

T

T2 T

T1 T

T2 T

T1 T

T1 T2 T

AVL 트리: 삽입 예 15 30 15 30 45

RR

LL^02150

LR

AVL 트리: 삭제 – 고려사항 1

경우경우균형인수는 변경되지 않는다^ 2.2.^ 노드의 균형인수가^1. (또는바뀌기 전 인수 값은^ -1로 바뀌면 그것의 부모노드의 0)

경우경우해야 하며^ 3.3.^ 노드의 균형인수가, 재조정되면 그 노드의 균형인수는^2 또는^ -2로 바뀌면 그 위치에서 재조정 0 이 된다.

경우 2.^0

AVL 트리: 삭제 – 고려사항 2

LL

RR

AVL 트리: 삭제 예

RR

RR^0

이 경로에 있는 노드들이 회전에 사용되는 B노드, C노드가 되지 않는다. (삽입과 차이점)

AVL 트리: 삭제 예 – 계속