Trigonometry Exercises: Basic and Intermediate Level, Study Guides, Projects, Research of Latin

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IV BIMESTRE

SECUNDARIA

Una educación plasmada

en proyectos

Trigonometría

T R I G O N O M E T R Í A

Capitulo

En este capítulo aprenderemos ...

M^ arco Teórico

Transformaciones

trigonométricas I

1

• A enunciar las transformaciones trigonométricas.
• A aplicar las transformaciones trigonométricas en la simplificación de

expresiones.

Las identidades se pueden obtener de la siguiente forma: De: sen(a+b) = sena · cosb + senb · cosa sen(a – b) = sena · cosb – senb · cosa

• Sumando: sen(a+b) + sen(a – b) = 2sena · cosb Si: a + b =A a – b = B Entonces: A B 2 A B 2

α =^ +

β = −

Luego:

senA senB 2sen A^ B^ cosA^ B 2 2

• = ^ +^ ^ ⋅ ^ −      ... (1)

• Restando: sen(a+b) – sen(a – b) = 2cosa · senb Si: a + b =A a – b = B Entonces: A B 2 A B 2

α =^ +

β = −

Luego:

senA senB 2cos A^ B^ senA^ B 2 2

− = ^ +^ ^ ⋅ ^ −      ... (2)

De: cos(a+b) = cosa · cosb – sena · senb cos(a – b) = cosa · cosb + sena · senb

• Sumando: cos(a+b) + cos(a – b) = 2cosa · cosb Si: a + b =A a – b = B Entonces: A B 2 A B 2

α =^ +

β = −

Luego:

cosA cosB 2cos A^ B^ cosA^ B 2 2

• = ^ +^ ^ ⋅ ^ −      ... (3)

• Restando: cos(a+b) – cos(a – b) = –2sensa · senb Si: a + b =A a – b = B Entonces:

2sena · cosb = sen(a+b) + sen(a – b)

2cosa · senb = sen(a+b) – sen(a – b)

2cosa · cosb = cos(a+b) + cos(a – b)

2sena · senb = cos(a – b) – cos(a + b)

senA senB 2sen A^ B^ cosA^ B 2 2

• = ^ +^ ^ ⋅ ^ −     

senA senB 2cos A^ B^ senA^ B 2 2 − = ^ +^ ^ ⋅ ^ −     

cosA cosB 2cos A^ B^ cosA^ B 2 2

• =  +^ ^ ⋅ ^ −     

cosA cosB 2sen A^ B^ senA^ B 2 2 − = − ^ +^ ^ ⋅ ^ −     

1. er^ caso 2.o^ caso

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

5to sec

T R I G O N O M E T R Í A

1

A^ hora hazlo tú !!

2

3

4

1

2

3

4

Simplifique: E sen4^ sen cos4 cos

x x x x

= + −

Simplifique: G cos7^ cos sen7 sen

x x x x

= + −

Reduzca: Q = sen70º + 2sen50º + cos20º

Reduzca: G = 2sen60º. cos30º - cos25º

Calcule el valor de K si: Cos38º × Cos22º 2Cos60º

= 3K + Cos16º

Reduzca: M = sen42º + sen18º + cos48º

Reduzca: M = 4sen50º · cos10º – 2cos50º

Calcule el valor de K si: cos40 cos20 (^) K cos cos

° ⋅ ° = + ° °

Solución: Solución:

Solución: Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

E = 2Sen3x Cosx -2Sen3x Senx

∴E = −Ctgx

G = 2Cos5x Cos2x 2Sen2x Cos5x

∴G = Ctg2x

G = Sen90°+ Sen30° - Cos25° G = 1+1 - Cos25° 2 G = 3 - Cos25° 2

M = 2Sen30° Cos12° + Cos48° M = 2 (

1 )

Cos12° + Cos48° 2 M = Cos12° + Cos48° M = 2Cos30° Cos18° M = 2(√3) (√10+2 5 ) = √30+6 5 2 4 4

Q = Sen70° + 2Sen50° + Sen70° Q = 2Sen70° + 2Sen50° Q = 2 (Sen70° + Sen50°) Q = 2(2Sen60° × Cos10°) Q = 4 (

√ 3 2 ) Cos10°

Q = 2√ 3 Cos10°

M = 2 (2Sen50° Cos10°) - 2Cos50° M = 2 (Sen60° + Sen40°) - 2Cos50° M = 2Sen60° + 2Sen40° - 2Cos50° M = 2√3 = √ 2

2 (Cos40° ; Cos20°) = K + Cos20° 2(Cos60°) Cos60° + Cos20° =K + Cos20° 2Cos60° 1/2 + Cos20° = K + Cos20° 1 1/2 + Cos20 = K + Cos ∴K = 1/

2 (Cos38° ; Cos22°) = 3K + Cos16° 2Cos60° Cos60° + Cos16° = 3K + Cos16° 2 (1/2) 1/2 + Cos16° = 3K + Cos16°

∴K = 1/

IV Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Sigamos practicando

01

02

03

04

05

06

Simplifica: N = Cos8x + Cos6x Sen8x – Sen6x

Reduce: L = (Sen40º + Sen20º) Sec10º

Calcula «x» si: Sen100º – xSen40º = Sen20º

Simplifica: Z = Sen98º – Sen8º Cos8º + Cos98º

Calcula el valor de «x» si: x = Cos50º + Sen50º

Reduce: M = Cos7x – Cosx Sen7x – Senx Solución: Solución:

Solución: Solución:

Solución:

Solución:

N = 2Cos7x + Cosx 2Senx Cosx

∴N = Ctgx

M = -2Sen4x + Sen3x 2Sen3x Cos4x

∴M = −Tan4x

Z =

2Cos53° × Sen45° 2Cos53° × Cos45°

∴ Z = Tan45° = 1

L = (2Sen30° Cos10°) Sec10°

L = 2 (

1 )

= 1 2

Sen100°+ Sen20° = xSen40°

2Sen40°+ Cos60° = xSen40°

2Sen40°+ (

1 )

= xSen40° 2 Sen40° = xSen40°

x = 1

x = Cos50°+ Sen50°

x = Sen40°+ Sen50°

x = 2Sen45° Cos5°

x = 2 2 Cos5° 2

x = 2 Cos5°

IV Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Nivel Avanzado

1. Reduzca:

E sen5^ sen cos5 cos

x x x x

= +

A) tg3x B) ctg4x C) tg4x D) ctg3x E) tgx

2. Transforme a producto:

G = senx+sen3x+sen5x+sen7x A) 2sen4x · cos2x B) 4senx · cos2x C) 4cos4x · cos2x · cosx D) 4sen4x · cos2x · cosx E) 4cos2x · cosx

3. Calcule el valor de a agudo.

tg sen20^ sen cos20 cos

α = ° +^ ° ° − °

A) 75º B) 70º C) 65º D) 60º E) 55º

4. Reduzca:

sen 2 40 sen 10^2 M sen

= ° −^ ° °

A) 1 B) 3

2

C)

1 2

D) –2 E)

1 3

5. Calcule:

A = 2cos50° · cos20º – sen20°

A)

1 2 B)^23 C)^22

D) 0 E) 1

8. Reduzca:

A cos4^ cos2^ cos sen4 sen2 sen

x x x x x x

= +^ +

A) tgx B) tg3x C) ctgx D) ctg3x E) 1

9. Calcule:

E 1 2sen 2sen

= − ° °

A) 1 B) –1 C) 1

2 D) –

1 2 E)^ 2,

10. Si a es un ángulo agudo, determine su valor:

ctg sen10^ sen20^ sen cos10 cos20 cos

α = ° +^ ° +^ ° ° + ° + °

A) 72º B) 62º C) 42º D) 60º E) 70º

T^ area para la Casa

T R I G O N O M E T R Í A

Capitulo

En este capítulo aprenderemos ...

M^ arco Teórico

Transformaciones

trigonométricas II^2

• A enunciar las transformaciones trigonométricas.
• A aplicar las transformaciones trigonométricas en la simplificación de

expresiones.

De producto a suma o diferencia Se suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar un determinado producto mediante una suma o diferencia. Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) 2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y) 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) 2SenxSeny =Cos(x – y) – Cos(x + y)

Demostración

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) Recordemos: Sen(x + y) = Senx ⋅ Cosy + Seny ⋅ Cosx ... (I) y Sen(x – y) = Senx ⋅ Cosy – Seny ⋅ Cosx ... (II) Sumando (I) y (II) Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2Senx Cosy

Demostración

2Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) Recordemos: Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (I) y Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (II) Sumando (I) y (II) Cos(x + y) + Cos(x – y) = 2Cosx ⋅ Cosy

Demostración

2SenxSeny = Cos(x – y) – Cos(x + y) ⇒ Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (I) ∧ Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (II) Restando (I) – (II) Cos(x – y) – Cos(x + y)

Sen(x + y) ⋅ Sen(x – y) = Sen^2 x – Sen 2 y Cos(x + y) ⋅ Cos(x – y) = Cos^2 x – Sen^2 y

NOTA

De producto a suma o diferencia

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y)

2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y)

2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y)

2SenxSeny =Cos(x – y) – Cos(x + y)

5to sec

T R I G O N O M E T R Í A

1

A^ hora hazlo tú !!

2

3

4

1

2

3

4

Reduce: P = 2Sen4x Cosx – Sen5x

Reduce: L = 2Sen8x Cos5x – Sen13x

Simplifica: C =

Sen3x Cosx – Sen2x Senx Cosx + 1

Simplifica: N = 2Cos3xSen2x + Senx 2Cos4xCosx – Cos3x

Si 2Sen9x = 5Senx Calcula: Q = Cos4x Sen5x Senx

Reduce: L = Cos5xCosx + Sen4xSen2x + Sen3xSenx

Si 2Sen7x = 3Senx Calcula: Q = Cos4x^ ∙^ Sen3x Senx

Reduce: L = Cos3xCosx + Sen2xSen4x - Sen5xSenx

Solución:

Solución:

Solución:

Solución: Solución:

Solución:

Solución:

Solución:

P = Sen5x + Sen3x - Sen5x

P = Sen3X

L = Sen3x + Sen3x - Sen13x

L = Sen3X

N = Sen5x - Senx + Senx Cos5x + Cos3X - Cos3x

N = Tan5x

(3Senx − 4Sen^3 x)Cosx − 2SenxCosx SenxCosx

3Senx − 4Sen^3 x − 2Senx Senx

1 − 4Sen^2 x + 1 = 2 − 4Sen^2 x = 2(1 − 2Sen^2 x)

Q = 2Sen5x Cos4x = Sen9x + Senx

2Senx 2Senx

Q = 2(Sen9x + Senx) = 5Senx + 2Senx

2(2Senx) 2Senx

Q = 7Senx = 7

4Senx 4

2L = 2Cos5x Cosx + 2Sen4x Sen2x + 2Sen3x Senx

2L = Cos6x + Cos4x + Cos2x - Cos6x + Cos2x - Cos4x

2L = 2Cos2x

L = Cos2x

2L = 2Cos3x Cosx + 2Sen2x Sen4x - 2Sen5x Senx

2L = Cos4x + Cos2x + Cos2x - Cos6x + Cos4x - Cos6x

2L = 2Cos2x

L = Cos2x

Q = 2Cos4x Sen3x = Sen7x + Senx

2Senx 2Senx

Q = 2(Sen7x - Senx) = 3Senx - 2Senx

2(2Senx) 2(2Senx)

Q = Senx = 1

4Senx 4

Iv Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Sigamos practicando

01

02

03

04

05

06

Calcula: R = 2Cos20º Sen10º + Sen10º

Determina el máximo valor de: L = 2Cos3x Cos2x – Cos5x

Reduce: L = Cos 2 5x – (2Cosx ⋅ Sen6x – Sen7x)^2

Calcula: E = Sen50º(1 – 2Cos80º)

Calcula el valor de: 1 – 4Sen10º ⋅ Sen70º Cos80º

Simplifica:

E =

Cos2x – Cos3xCosx

Cos4x

Solución:

Solución:

Solución: Solución:

Solución: Solución:

R = Sen30° - Sen10° + Sen10°

R = Sen30°

⇒ R = 1/

L = Cos5x + Cosx - Cos5x

L = Cosx

−L  Cosx  1

∴ L (^) máx = 1

L = Cos 2 5x - (Sen7x + Sen5x - Sen7x)^2

L = Cos 2 5x - Sen 2 5X

L = Cos 10x

E = Sen50° - 2Cos80° Sen50°

E = Sen50° -(Sen130° - Sen30°)

E = Sen50° - Sen130° + Sen30°

E = 2Sen(-40) Cos(90) + Sen 30°

E = Sen30° = 1/

E = Cos2x - 2Cos3x Cosx 2Cos4x

E = Cos2x - Cos4x - Cos2x 2Cos4x

E = -1/

1-2 (2Sen10° Sen70°) Cos80°

1-2 (Cos60° - Cos80°) Cos80°

1-2 (1/2) + 2Cos80° Cos80°

= 2

Tarea para la Casa

Iv Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Nivel Avanzado

8. Simplifica:

A =

Cosx(2Cos2x – 1) Cos3x

a) 1/2 c) 2 e) 1 b) 1/3 d) 3

9. Si Cosθ =^1 4

, calcula:

N = 64Sen 3 θ 2

Sen θ 2 a) 36 c) 20 e) 24 b) 18 d) 22

10. Calcula el valor de:

Q = Cos^2 π 7

• Cos^4 π 7

• Cos^6 π 7 a) 1/2 c) 1 e) 2 b) –1/2 d) –

1. Calcula: E = Cos40º (1 – 2Sen10º) a) 1 2

c) 3 2

e) 1

b) –^1 2

d) – 3 2

2. Simplifica:

E =

Cos5x Cosx –^1 2

Cos4x

Cos6x a) 1 c) 1 2

e) 2

b) –1 d) –^1 2

3. De la relación: 2Sen36º Cos12º = SenBº + SenCº Calcula: B + C 2 a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 4. Simplifica: E =

(2Cos4x Cosx – Cos5x) 2 – Sen^2 3x Cos6x

a) 1 c) 1 2

e) 2

b) –1 d) –^1 2

5. Calcula: A = 1 + 4Sen20º Sen40º Cos20º

a) 1 c) 1 2

e) 2

b) –1 d) –^1 2

T R I G O N O M E T R Í A

Capitulo

En este capítulo aprenderemos ...

M^ arco Teórico

Ecuación

trigonométrica

3

• A reconocer una ecuación trigonométrica elemental.
• A calcular el valor principal y aplicar las expresiones de todos los arcos

que tienen la misma razón trigonométrica.

Las identidades son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo valor de la variable (valor admisible). En esta lección estudiaremos las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican solo para ciertos valores, a dichas ecuaciones llamaremos ecuaciones trigonométricas.

Ejemplos Tgx + Ctgx = SecxCscx : identidad Sen^2 x + Cos 2 x = 1 : identidad

Senx =

2 : ecuación trigonométrica

Cos x – π 2

=^1

: ecuación trigonométrica

Clasificación de ecuaciones trigonométricas

I. Ecuaciones trigonométricas elementales

Son de la siguiente forma: F.T. (ax + b) = N

Ejemplos:

Sen3x =^3 5

Ec. T. Elemental

Cos x – π 2

=^1

Ec. T. Elemental

Tg 2x – π 3

=1 Ec. T. Elemental

Resuelve Cosx = 2 2

⇒ > 0, hay solución en el I y IV cuadrante

x = 45º, 315º

Para obtener las demás soluciones se les va agregan- do o restando 360º a cada valor obtenido.

Resuelve Sen(2x) =^1 2

⇒ > 0, hay solución en el I y II cuadrante

2x = 30º, 150º ⇒ x = 15º, 75º

II. Ecuaciones trigonométricas no elementales

Son ecuaciones que requieren del uso de operacio- nes adicionales para convertirlos en ecuaciones ele- mentales, estas operaciones pueden ser transforma- ciones, identidades, operaciones algebraicas, etc.

E. T. E. : RT(ax + b) = n; n > 0

Solución aguda: x = θ (Ic) si hubiera otra en el: IIc → Sería: x = 180º – θ IIIc → Sería: x = 180º + θ IVc → Sería: x = 360º – θ

5to sec

T R I G O N O M E T R Í A

1

A^ hora hazlo tú !!

2

3

4

1

2

3

4

Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica: Sen3x =^1 2

Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica: Cos3x =^1 2

Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T. 1 1 + Senx +^

1 – Senx =

Calcula la menor solución positiva de la E.T. Sen5x + Sen13x = 3 (Cos5x + Cos13x)

Resuelve la E. T. en el intervalo 〈0; π〉 Cos6x + 3 = 4Cos2x, e indica la mayor solución.

Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T. 3 1 + Senx +^

1 + Senx =

Calcula la menor solución positiva de la E.T. Sen3x + Sen9x = 3 (Cos3x + Cos9x)

Resuelve la E. T. en el intervalo 〈0; π〉 Cos3x + Cosx = 2Cos 3 x - 3Cos 2 x, e indica la mayor solución.

Solución: Solución:

Solución: Solución:

Solución: Solución:

Solución: Solución:

3x = 30° V 3x = 150° x = 10° x = 50°

3x = 60° V 3x = 300° x 1 = 20° x = 100°

1 - Senx + 1 + Senx = 8 ⇒ 1 = 4

(1 + Senx)(1- Senx) 3 (1 + Senx)(1- Senx) 3

1 = 4 ⇒ 3 = 4 - 4Sen^2 x ⇒ Sen^2 x = 1/

1 - Sen 2 x 3

⇒ Senx = 1/2 ⇒ x = 30°

6 = 4 3 = 1 + Senx

1 + Senx 2

Senx = 1/

x = 30°

4Cos^3 x - 3Cosx + Cosx = 2Cos^3 x - 3Cos 2 x 2Cos^3 x - 3Cos 2 x - 2Cosx = 0 2Cos 2 x - 3Cosx - 2 = 0 (Cosx = 0) (Aspa simple)

(2Cosx 1)(Cosx - 2) = 0 Cosx = -1/2 ∧ Cosx = 2 (No) x = 5π/

2Sen6x Cos3x = 3 (2Cos6x Cos3x)

Tan6x = 3

6x = 60

x = 10

2Sen9x Cos4x = 3 (2Cos9x Cos4x)

Tan9x = 3

9x = 60

x = 20 3

4Cos^3 2x - 3Cos2x + 3 = 4Cos2x 4Cos 3 2x - 4Cos2x = 3Cos2x - 3 4Cos2x (Cos2x - 1) = 3 (Cos2x-1) 4Cos2x (Cos2x - 1) (Cos2x + 1) = 3 (Cos2x-1) 4Cos2x(Cos2x+1) = 3 4Cos^2 2x + 4Cos2x - 3x = 0 (Aspa simple) Cos2x = -3/2 (no) v Cos2x = 1/2 (si) → 2x = π/3 v 2x = 5π/ ∴ Mayor solución x = 5π/

IV Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Sigamos practicando

01

02

03

04

05

06

Resuelve e indica la segunda solución de la E. T. 2Cos5x – 2 = 0

Indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de: 3Tan2x – 3 = 0

Resuelve la E. T.: 3 Cosx = 1 + Senx, donde x ∈ [0º; 360º]

Resuelve: 1 + Cosx = 2Sen 2 x Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.

Resuelve e indica la suma de las dos primeras solu- ciones positivas de la E. T.:

Sen6x – Sen2x = 3 Cos4x

Resuelve e indica la solución en el intervalo 〈270º; 360º〉 de la E. T. Solución: Senx + Sen3x + Sen5x = 0 Solución:

Solución: Solución:

Solución: Solución: 1 + Cosx = 2Sen^2 x 1 + Cosx = 2(1 - Cos^2 x) 1 + Cosx = 2 - 2cos^2 x 2Cos 2 x + Cosx - 1 2Cosx -1 → Cosx =1/2 → (I) Cosx +1 → Cosx = -1 → (II)

(I): (II): Cosx = 1/2 Cosx = - x 1 = 60° x 1 = 180° x 2 = 300° x 2 = 540°

Nos pien:∑ soluciones = 180+60 = 240

Cos5x = 2 2

5x = 45° 5x = 315° x = 9° x = 63°

Tan2x = 3 3

2x = 30° 2x = 210° x = 15° x 2 = 105°

∴ x 1 + x 2 = 120°

3 Cosx = 1 + Senx 3 (Cosx) = 1 + 1 (Senx) 2 2 2 3 Cosx - 1 Senx = 1 2 2 2 Sen60° Cosx - Cos60° Senx = 1/ Sen(60+x) = 1/ ∴ 60+x = 30 60 + x = 150 60 + x = 390 x = -30° x = 90° x = 330°

60 + x = 510 x = 450 ⇒ x = {π 2

π (^) }

2Sen2x Cos4x = 3 Cos4x

Cos4x = 0 2Sen2x = 3 4x = 90 Sen2x = 3/ x = 45/2 2x = 60° x = 30°

∑ soluciones : 45° + 30° = 135° 2 2

2Sen3x Cos2x + Sen3x = 0

Sen3x (2Cos2x + 1) = 0

∙ Sen3x = 0 ∙ Sen3x = 0

3x = 0 → x = 0 Cos2x = -1/

3x = 180° → x = 60° 2x = 120 → x = 60

3x = 360° → 120° 2x = 240 → x = 120

3x = 540° → 180° 2x = 480 → x = 240

3x = 720° → 240° 2x = 600 → x = 300

3x = 900° → 300° → 5π/3 2x = 890 → 420

3x = 1000 → 360°

x=

{

3 }

→ 0 → 0

Tarea para la Casa

IV Bimestre

T R I G O N O M E T R Í A

Nivel Avanzado

8. Indica la diferencia entre la mayor y menos solu- ción de la ecuación: 2Cos 2

π 4 – x^ = (Senx – Cosx)

(^2) + 1 ; x ∈ 〈0; π〉

a) π 6

c) π 4

e) π 8

b) π 3

d) π 12

9. Calcula la suma de soluciones de la ecuación:

Tan2x = 2Cos4xCos3x – Cos7x Senx

; x ∈ 〈0; 2π〉

a) 3 π c) 3 π 2

e) 2 π

b) 5 π 2

d) 4 π

10. Resuelve la E. T.: Cos2x + 5Cosx = 2 e indica la menor solución positiva.

a) π 3

c) π 6

e) π 12

b) π 4

d) π 8

1. Resuelve: 5 – 4Sen 2 x – 4Cosx = 0 Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. a) 180º c) 360º e) 450º b) 240º d) 420º 2. Resuelve e indica la solución en el intervalo 〈0º; 90º〉 de la E. T. Senx + Sen3x = Cosx

a) {15º; 60º} c) {15º; 75º; 90º} e){15º; 60º} b) {15º; 75º} d) {60º; 90º}

3. Resuelve:

1 + Tanx 1 + Cotx =^

a) π 2

c) π 4

e) π 8

b) π 3

d) π 6

4. Indica la menor solución positiva de la E. T. Cot2x + Tan2x = 2 a) 100 g^ c) 45 g^ e) 22,5 g b) 50 g^ d) 25 g 5. Resuelve la E. T. 3 Senx – Cosx = 1, donde x ∈ [0º; 180º]

a) {30º; 150º} b) {30º; 180º} c) {60º; 180º} d) {150º} e) {60º; 150º}

T R I G O N O M E T R Í A

Capitulo

En este capítulo aprenderemos ...

M^ arco Teórico

Funciones

inversas - I

4

• A reconocer gráficamente una función
• A hallar gráficamente y analíticamente el dominio y recorrido de una función

Notación:

Z Función seno inverso o función arco Seno: Arc Sen Z Función coseno inverso o función arco coseno. Arc Cos Z Función tangente inversa o función arco tangente: ArcTan Z Función cotangente inversa o función arco cotan- gente: ArcCot Z Función secante inversa o función arco secante: ArcSec Z Función cosecante inversa o función arco cosecan- te: Arc Csc

Tener en cuenta:

• π 2

≤ ArcSen x ≤ π 2

; –1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ ArcCosx ≤ π ; –1 ≤ x ≤ 1

• π 2

< ArcTanx < π 2

; –∞ < x < ∞

Notación Z Función arco Seno: Arc Sen Z Función arco coseno. Arc Cos Z Función arco tangente: ArcTan Z Función arco cotangente: ArcCot Z Función arco secante: ArcSec Z Función arco cosecante: Arc Csc

Observaciones:

• π 2

≤ ArcSen x ≤ π 2

; –1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ ArcCosx ≤ π ; –1 ≤ x ≤ 1

• π 2

< ArcTanx < π 2

; –∞ < x < ∞