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Exercices supplémentaires : Trigonométrie
Partie A : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus
Exercice 1
Convertir en radians les mesures d’angles exprimées en degrés : 60° ; 150° ; 10° ; 12° ; 198° ; 15°
Exercice 2
Dans chacun des cas suivant, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique :
Exercice 3
Parmi les mesures suivantes, indiquer celles qui sont associés au même point que −
sur le cercle trigonométrique.
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer si et sont des mesures d’un même angle orienté.
Exercice 5
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer les réels associés aux
points , , , , , !, ", #, $ et %.
Exercice 6
Placer sur le cercle trigonométrique les points , , , , et! repérés par
&
'
&
et −
Exercice 7
On considère un réel ∈ )−
√1√&
Déterminer la valeur exacte de cos./.
On sait que ∈ 4
- Déterminer la valeur exacte de .
Exercice 8
- Sachant que cos 6
√ 8
, calculer la valeur de sin 6
- En déduire cos 6
7 et sin 6
Exercice 9
Dans chacun des cas suivants, déterminer cos./
et sin./ =
; 0* et sin./ = −
Partie B : Angle orienté, mesure principale d’un angle
Exercice 1
O
I
J
H
C
A
B
D
F E
G
Déterminer la mesure principale des angles dont les mesures en radians sont :
Exercice 2
Donner une mesure en radian des angles orientés suivants :
Exercice 3
Construire un triangle direct rectangle en tel que = 2 .
Construire deux triangles équilatéraux direct et .
Donner une mesure en radian des angles 9
et 9
Exercice 4
est un triangle rectangle en , direct, tel que 9
&
A2 B et
est un triangle équilatéral direct.
Faire une figure.
Déterminer la mesure principale des angles suivant : 9
Exercice 5
est un triangle rectangle en direct tel que = 2 . est un triangle rectangle isocèle en direct et
est un triangle équilatéral direct.
Faire une figure.
Déterminer la mesure principale des angles suivants :9
et 9
Exercice 6
Sachant que 9C;< ; D<> = −
A
B
, déterminer la mesure principale de 92C;< ; D<> ; 9−D< ; 2C;<> ;
.3D
<; −2C;<
Exercice 7
Sachant que .C;<; D</ = −
'
A2 B et .C;<; E;;</ = −
A2 B, déterminer la mesure principale de .D<; E;;</ ; .−C;<; D</ et
.−E;;<; D</.
Exercice 8
, , et sont quatre points du plan. Démontrer l’égalité :
> = 0A
B
Partie C : Angles associés
Exercice 1
On considère un entier relatif G (il peut être positif ou négatif).
Déterminer, éventuellement en fonction de G, le cosinus et le sinus des réels :
2G ; .2G + 1/
; G ; −
+ .2G + 1/
Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes :
- = cos.0/ + cos 6
7 + cos 6
7 + cos 6
7 + cos. /
- = cos.− / + cos 6−
7 + cos 6−
7 + cos 6−
- = sin 6
&
7 + sin 6
7 + sin 6
7 + sin 6
7 + sin 6
&
7 + sin.
Exercice 3
Exprimer en fonction de cos./ ou de sin./ les réels suivants :
- = cos 6
O
I
J
N
K
M
P
Exercice 6
Résoudre à l’aide du cercle trigonométrique les inéquations suivantes :
- sin./ <
dans B− ; B
- cos./ ≥
dans
A0; 2
B
- cos./ >
√
dans A− ; 3 B
- sin./ ≤
√
dans A− ; 2 B
Exercice 7
Résoudre dans ℝ les équations suivantes
- 2 cos
./ + 9 cos./ + 4 = 0
- 4 sin
./ − 291 + √3> sin./ + √3 = 0
Exercice 8
- Déterminer les racines éventuelles du trinôme O défini par O./ = −4
Factoriser O./
Etablir dans
A0; 2
B
le signe de 2 cos./ + 1 et de −2 cos./ + √
- En déduire le signe sur
A0; 2
B
de −4 cos
./ + 92√ − 2> cos./ + √3.
Exercices supplémentaires : Trigonométrie
Partie A : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus
Exercice 1
Angle en ° 60 150 10 12 198 15
Angle en radians
Exercice 2
- – : ; 3 ; 5 et plus généralement + 2 P avec P ∈ ℤ
'
et plus généralement −
18R
avec P ∈ ℤ
- 10 : 0; 2 ; 4 et plus généralement 2 P avec P ∈ ℤ
'
et plus généralement −
.18IR/
avec P ∈ ℤ
Exercice 3
'
I
= 4 ce qui correspond à un écart de deux tours.
I
= −4 ce qui correspond à un écart de deux tours.
= ce qui correspond à un demi-tour.
H
= −20 ce qui correspond à un écart de 10 tours.
'
&
= −3 ce qui correspond à un tour et demi.
= −26 ce qui correspond à un écart de 13 tours.
Finalement,
'
et −
sont associés au même point que −
Exercice 4
= − donc et ne sont pas des mesures d’un même angle orienté.
H8&
I
donc et ne sont pas des mesures d’un même angle orienté.
donc et ne sont pas des mesures d’un même angle orienté.
I
= 4 donc et sont des mesures d’un même angle orienté.
Exercice 5
&
&
&
Exercice 6
Voir le cercle ci-contre.
Exercice 7
- Pour tout ∈ ℝ, cos
./ + sin
./ = 1 donc
cos
./ = 1 − sin
./ = 1 − U
V
Donc cos./ =
√8√&
ou −
√8√&
Or, comme ∈ )−
*, cos./ est positif donc cos./ =
√ 8√&
- sin./ < 0 donc ∈ )−
; 0* et de plus |cos./| > | sin./ | donc ∈ )−
; 0* et finalement = −
O
I
J
A
B
D
E
F
C
A B
C
D
E
A B
C
D
Pour −
'
Donc la mesure principale de −
'
est
Pour 3,
,
< 1 ⇔ 0 < 3,14 < donc la mesure principale de 3,14 est 3,
Pour 2013 :
Donc la mesure principale de 2013 est 2013 − 640
Exercice 2
= + 2 P avec P ∈ ℤ
Exercice 3
Voir la figure
Voir la figure
Dans le triangle ,
cos9
e> =
fghfijkl
mnoplmékrsj
tu
vu
donc
e =
. Donc, vue
l’orientation,
A2 B
A2 B
A2 B
> A2 B
A
B
= + 2 P avec P ∈ ℤ
A2 B
+ A2 B
Exercice 4
- Voir la figure
A B
C
D
E
> A2 B
A
B
A2 B
> A2 B
A2 B
> A2 B
> A2 B
A
B
A2 B
Dans le triangle , ABC
+ BAC
+ ACB
= π donc
e = −
&
. Donc, vue l’orientation,
A2 B
Exercice 5
Voir la figure
Dans le triangle ,
cos9
e> =
fghfijkl
mnoplmékrsj
tu
vu
donc
e =
> A
B
A2 B
A
B
A2 B
> A2 B
> A
B
A
B
A2 B
> A2 B
> A2 B
> A2 B
A2 B
A
B
A
B
Exercice 6
.2C
;< ; D</ = .C;<; D</
A
B
.−D
< ; 2C;<
/ = .−D; C
/ A
B
= + .D; C;<
/ A
B
= − .C;<; D</
A
B
A2 B
A
B
A
B
.3D
<; −2C;<
/ = .D
<; −C;<
/ A
B
= −.−C;<; D</ A
B
+ .C;<; D</>
A2 B
= − X −
Y A2 B
A
B
Exercice 7
.D
<; E;;<
/ = .D
<; C;<
/ + .C
;<; E;;<
/ A
B
= −.C;<; D</ + .C;<; E;;</ A2 B
A2 B
A2 B
.−C;<; D</ = + .C;<; D</ A2 B
A2 B
cos X−
Y = −
sin X−
Y = sin X−
Y = sin X−8 −
Y = sin X−
Y = −
Partie D : Equations et inéquations trigonométriques
Exercice 1
&
'
&
Exercice 2
- cos./ =
⇔ cos./ = cos 6
Donc = 4
+ 2 P ; −
- sin./ =
⇔ sin./ = sin 6
&
&
&
Donc = 4
&
+ 2 P ;
&
- cos./ = −
√
⇔ cos./ = cos 6
&
&
&
Donc = 4
+ 2 P ; −
&
- sin./ =
√
⇔ sin./ = sin 6
Donc = 4
+ 2 P ;
Exercice 3
A
B ⇔ 2 =
+ 2 P ⇔ =
Cela donne donc deux points en rouges sur la figure.
A
B ⇔ 4 =
+ 2 P ⇔ =
I
P avec P ∈ ℤ
Cela donne donc quatre points en bleu sur la figure.
A2 B ⇔ 3 =
+ 2 P ⇔ =
P avec P ∈ ℤ
Cela donne donc trois points en vert sur la figure.
Exercice 4
- cos.2/ = cos 6
I
7 ⇔ cos.2/ = cos. / ⇔ cos.2/ =
cos.0/ ⇔ 2 = 0 + 2 P ⇔ = P
Donc = P avec P ∈ ℤ pour la résolution dans ℝ et = ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 dans A ; 5 B
En effet : ≤ P ≤ 5 ⇔ 1 ≤ P ≤ 5 donc P ∈ 1; 2; 3; 4; 5.
- sin 6 −
7 = sin 6
+ 2 P
+ 2 P
Donc = 4
+ 2 P ;
De plus : −2 ≤
+ 2 P ≤ 2 ⇔ −
≤ 2 P ≤
'
H
≤ P ≤
'
H
⇒ −1 ≤ P ≤ 0 donc P ∈ −1; 0 ce qui
donne
− 2 , soit −
'
et
O
I
J
D’autre part, −2 ≤
+ 2 P ≤ 2 ⇔ −
H
≤ P ≤
I
H
⇒ −1 ≤ P ≤ 0 donc P ∈ −1; 0 ce qui donne
soit −
I
et
. Finalement, = 4−
'
I
5 dans A−2 ; 2 B
- cos.3/ = − cos./ ⇔ cos.3/ = cos. − / ⇔ 3 = − + 2 P ou 3 = −. − / + 2 P
⇔ 4 = + 2 P ou 2 = − + 2 P ⇔ =
P ou = −
+ P
Donc = 4
P ; −
P ≤ ⇔ −
P ≤
≤ P ≤
⇒ −4 ≤ P ≤ 1 donc P ∈ −4; −3; −2; −1; 0; 1 ce qui
donne −
'
et
D’autre part, −2 ≤ −
+ P ≤ ⇔ −
≤ P ≤
≤ P ≤
⇒ −1 ≤ P ≤ 1 donc P ∈ −1; 0; 1 ce qui
donne −
et
. Finalement, = 4−
'
- sin 62 +
7 = − sin./ ⇔ sin 62 +
7 = sin.−/ ⇔ 2 +
= − + 2 P ou 2 +
= − .−/ + 2 P
+ 2 P ⇔ = −
P ou =
+ 2 P
Donc = 4−
P ;
De plus 4 ≤ −
P ≤ 6 ⇔
P ≤
'
I
≤ P ≤
'
I
⇒ 7 ≤ P ≤ 9 donc P ∈ 7; 8; 9 ce qui donne
&
et
'
Et d’autre part, 4 ≤
+ 2 P ≤ 6 ⇔
≤ 2 P ≤
I
≤ P ≤
I
⇒ P = 2 ce qui donne
On a donc = 4
&
'
5 dans
A
B
- sin.3/ = cos.2/ ⇔ cos 6
− 37 = cos.2/ ⇔
− 3 = 2 + 2 P ou
− 3 = −2 + 2 P
+ 2 P ⇔ =
P ou =
+ 2 P
Donc = 4
H
P ;
Exercice 5
0 ≤ cos./ ≤ 1
cos./ ∈ )
- −1 < sin./ < 0
≤ sin./ ≤ 1
- sin./ ∈ )−
√
- cos./ ∈ )−
√
O
I
J
O
I
J
O
I
J
O
I
J
O
I
J
O
I
J
2 cos./ + 1 + + 0 − 0 + +
− 2 cos./ + √ 3
