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Somas de infinitas parcelas não podem ser manejadas de qualquer forma
O paradoxo de Zenão de Eléia (Séc. V – A. C.)
Um atleta a fim de caminhar um quilômetro deve, em primeiro lugar, caminhar meio quilômetro. A fim de
caminhar meio quilômetro, deve ele percorrer um quarto de quilômetro. A fim de percorrer este quarto de
quilômetro, ele deve percorrer um oitavo de quilômetro, e assim por diante, ad infinitum. O atleta então não vai
conseguir caminhar um quilômetro (trecho finito), pois tem que percorrer infinitos trechos... Eis a dicotomia!
A origem do paradoxo talvez seja o fato de que a nossa intuição diz ser impossível realizar um número infinito
de tarefas em um intervalo de tempo finito.
Forçosamente temos a seguinte igualdade:
ଵ
ଶ
ଵ
ସ
ଵ
଼
ଵ
ଵ
ଵ
ଷଶ
Zenão imaginou a decomposição do quilômetro (finito) em infinitas partes; nós imaginamos a recomposição
destas infinitas partes (através da soma) para reobter o quilômetro.
Figura 1: Quadrado de lado unitário
A soma “maluca”
Qual o valor da soma 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯?
Seria 0?
Seria 1?
Como é possível a mesma soma dar dois resultados diferentes?
Sequências numéricas infinitas
Definição
Uma sequência numérica infinita é uma função cujo domínio é o conjunto ℕ
∗
e cuja imagem são números reais.
Em símbolo:
∗
𝑓(1) é o primeiro termo da sequência; 𝑓(2) é o segundo termo da sequência; 𝑓(3) é o terceiro termo da sequência
e assim sucessivamente.
Se chamarmos 𝑓(𝑛) = 𝑎
, uma sequência numérica infinita também pode ser designada por
ଵ
ଶ
ଷ
, …, onde 𝑎
é chamado termo geral da sequência.
Em nosso curso iremos considerar sequências numéricas sempre infinitas, de tal forma que usaremos, a partir de
agora, apenas o termo sequência para designar sequência numérica infinita.
Vejamos alguns exemplos de sequências...
Exemplo 1)
Exemplo 3) ቄ
(ି ଵ)
శభ
ି ଵ
ଶ
ଵ
ଷ
ି ଵ
ସ
Exemplo 4)
Exemplo 6) ቄ
ଶ
!
ସ
ଷ
ଶ
ଷ
ସ
ଵହ
Uma sequência
pode ou não se aproximar de um número real quando 𝑛 tende ao infinito. Este
comportamento será traduzido pela definição a seguir.
Sequência convergente
Definição
Uma sequência
é convergente se lim
→ஶ
= 𝐿, 𝐿 ∈ ℝ. Isto é, para todo 𝜀 > 0, existe um número positivo 𝐴
tal que |𝑎
− 𝐿| < 𝜀 sempre que 𝑛 > 𝐴. Caso contrário, diremos que a sequência é divergente e teremos que
∄ lim
→ஶ
ou lim
→ஶ
Obs.: podemos usar
→ 𝐿 quando lim
→ஶ
(ver arquivo do GeoGebra)
Teorema (limite de sequências através do limite de funções)
Seja 𝑦 = 𝑓
uma função real de variável real tal que lim
௫→ஶ
= 𝐿. Se 𝑎
= 𝑓(𝑛), então lim
→ஶ
Graficamente {𝑎
} é uma sequência de pontos sobre o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) que acompanha a sua tendência
no infinito.
Obs.: são sete as indeterminações matemáticas (do estudo de limites) que surgem com frequência na análise da
convergência de sequências: 0 0⁄ , ∞ ∞⁄ , ∞ − ∞, 0 ∙ ∞, 1
ஶ
e ∞
Respostas
a) Diverge, +∞.
b) Converge, 0.
c) Converge, 0.
d) Diverge, ∄.
e) Converge, 1.
f) Converge, 1/2.
