variable compleja (apuntes), Summaries of Mechanics of Materials

Download variable compleja (apuntes) and more Summaries Mechanics of Materials in PDF only on Docsity!

I

APUNTES DE CLASE DE

VARIABLE COMPLEJA

ING. CARLOS SOTO MOREIRA

GESTIÓN 2 /

II

IV

PRESENTACIÓN

En el desarrollo de actividades académicas dentro de la Educación Superior, se presentan muchos factores que impide un buen seguimiento, uno de ellos es la falta de un material que este orientado a un seguimiento correspondiente al avance de las clases en aula, ya que la experiencia muestra que muchos estudiantes no pueden toman de manera completa los apuntes de clases por muchos motivos, por ejemplo, no van a clases por choque de horarios, o por la visibilidad de su ubicación en aula, o tardan en escribir, o prefieren solo poner atención a la explicación, etc. Por otro lado, en esta nueva etapa que nos tocó vivir (por la pandemia del covid 19), la mayor parte de las instituciones de educación se ven en la necesidad de incorporar la educación del teletrabajo^1 , de tal forma que la gran parte del trabajo será de los estudiantes, es decir que su aprendizaje tendrá un enfoque constructivista (que el estudiante va generando su aprendizaje). En este sentido, se elabora este dossier^2 , titulado “Apuntes de Clases de Variable Compleja” que tiene por objetivo, ser un instrumento orientado al aprendizaje de los estudiantes, de tal forma que tengan una estructura y coherencia para su aprendizaje. El documento presenta la recopilación de los libros: Variable compleja (Churchill), Variable compleja (Acevedo), Variable compleja (Schaum), Variable compleja (Jaslle) y la experiencia de los años de la Cátedra Universitaria que mi persona va ejerciendo. En el documento, se desarrolla la teoría y teoremas necesarias sin las demostraciones, ya que puede revisárselos en los textos de referencia. Por aspectos de forma del documento (debido al corto tiempo para preparar material para los cursos virtuales), el uso del presente trabajo es solo para los grupos de la UMSS y UCB que mi persona va regentando. El autor. Cochabamba, 202 1 1 Teletrabajo. Trabajo que una persona realiza para una empresa desde un lugar alejado de la sede de esta (habitualmente su propio domicilio), por medio de un sistema de telecomunicación. (^2) Dossier. Informe que recopila datos sobre un determinado tema

CAPÍTULO 1. Números Complejos

Introducción El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado en la escuela básica y diversificada. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de matemáticas básicas en la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano. Aplicación de los números complejos Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números. Como ejemplos de aplicación podemos citar:

• En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski.
• Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos.
• El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el

Seccion1. Operaciones con números complejos Sistema de los números complejos. Notación. Un numero complejo, se denota por: 𝑧 = (𝑥, 𝑦) Donde 𝑥, 𝑦 son números reales. Y son llamados.

• Parte real de Z, 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑥
• Parte imaginaria de Z, 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑦 Operaciones
• Igualdad. Sea 𝑧 = (𝑥, 𝑦), 𝑤 = (𝑎, 𝑏), entonces 𝑧 = 𝑤 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏
• Suma.
• Producto

Ejemplo. Características de algunos números complejos. Cero. El cero de los números complejos es: 0 = ( 0 , 0 ) Opuesto o inverso aditivo El opuesto de 𝑧 = (𝑥, 𝑦) es −𝑧 = (−𝑥, −𝑦) El uno o neutro del producto. 𝑒 = 1 = ( 1 , 0 ) Inverso de un numero complejo. 𝑧 = (𝑥, 𝑦) ⟹

= 𝑧−^1 = (

𝑥^2 + 𝑦^2

𝑥^2 + 𝑦^2

Ejercicio. Demostrar los resultados de anteriores, es decir, demostrar la característica del cero, opuesto, del uno y el inverso.

Propiedades Sección 2. Representación binomica de los números complejos. Extensión de los números reales Números imaginarios puros. Los números complejos que tienen parte real igual a cero se llaman números imaginarios puros

Unidad real. Definimos por 1 ≡ ( 1 , 0 ) Unidad imaginaria. Nota. Teorema. Forma binomica de un numero complejo

Ejemplo

Ejemplo

Representación geométrica de un numero complejo (Diagrama de Argand) Nota. El plano complejo es llamado plano de Gauss, además, la representación geométrica se la conoce como Diagrama de Argand, donde el eje Y=0 se denomina eje real y X=0 eje imaginario

Interpretación de la suma de números complejos Modulo

Propiedades. Ejercicios