Algebra Vectorial: Espacios Vectoriales y Operaciones, Exercises of The Avant Garde in Literature and Cinema

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Álgebra Vectorial

Capítulo 1-Parte 1

ESPACIO VECTORIAL N-PLAS DE

NUMEROS REALES

Una tal n-pla se le llama punto n-dimensionalc o 1 a 1 x A=(a 1 ) o (^2) a 1 x A=(a 1 , a 2 ) y a 2 o 3 x a 1 A=(a 1 , a 2 , a 3 ) a 2 y a 3 on A=(a 1 ,a 2 , …, an) n> z

VECTOR

Denominación: Objeto matemático. Definición: Conjunto de todos los segmentos orientados del espacio n- dimensional que poseen una longitud, dirección y sentido dados.

DESCRIPCIÓN DEL VECTOR

Módulo o Norma: Longitud. Dirección: Línea de acción Sentido: Flecha o punta. o A 𝑨 || 𝑨 || Definiremos al vector A como el conjunto de todos los segmentos orientados del espacio n-dimensional que poseen módulo, dirección y sentido dados.

DESCRIPCIÓN DEL VECTOR

S W P Q Segmento orientado: 𝑺𝑾, 𝑷𝑸 Vector: 𝑺𝑾, 𝑷𝑸 ∴ 𝑺𝑾 ≠ 𝑺𝑾 ∴ 𝑺𝑾 = 𝑺𝑾 Si Sentido:^ 𝑺𝑾^ =^ 𝑷𝑸 Longitud: 𝑺𝑾 = 𝑷𝑸 Dirección: Línea de acción SW = Línea de acción de PQ Entonces 𝑺𝑾=^ 𝑷𝑸 ∴ 𝑷𝑸 ≠ 𝑷𝑸 (^) ∴ 𝑷𝑸 = 𝑷𝑸

NOTACIÓN DEL VECTOR

Algebraica: Letras mayúsculas (𝑨, 𝑩, 𝑪 …). Analítica: Componentes. 𝑨 = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏) Geométrica: Sistema de coordenadas. o 1 x a 1 A=(a 1 ) o (^2) a 1 x A=(a 1 , a 2 ) a 2 o 3 x a^1 A=(a 1 , a 2 , a 3 ) a 2 y a 3 on n> A=(a 1 , a 2 , …, an) y z 𝑨 𝑨 𝑨 𝑨

IGUALDAD DE VECTORES

Sea 𝑨 = 𝒂 𝟏

𝟐

𝟑

𝒏 y 𝑩 = 𝒃 𝟏

𝟐

𝟑

𝒏 Si 𝑨 = 𝑩 se cumple: 𝒂 𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟑

𝟑

𝒏

𝒏

IGUALDAD DE VECTORES

Reflexiva: 𝑨= 𝑨. Simetría: 𝑨 = 𝑩 - > 𝑩 = 𝑨. Transitiva: 𝑨 = 𝑩, 𝑩 = 𝑪 => 𝑨 = 𝑪.

ANÁLISIS DEL VECTOR cA.

Ejercicio 1 Analice el módulo, dirección y sentido del vector c𝑨 con respecto a 𝑨, siendo 𝑨 ⃗ =(2,1) y c: ➢ c=- 2 ➢ c= ➢ c= ➢ c=1/ ➢ c=-3/ o x 𝑨=(2,1) y (-4,-2) (6,3) (1,1/2) (-6/5,-3/5)

ANÁLISIS DEL VECTOR cA.

En general podemos decir que si 𝑨 ∈ 𝑽𝒏: Módulo:ቐ Se dilata si 𝑐 > 1 No varía si 𝑐 = 1 Se contrae si 𝑐 < 1 Dirección: No varía si 𝒄 ∈ ℝ Sentido:ቊ Es igual al de A si 𝑐 > 0 Es opuesto al de A si 𝑐 < 0 El vector cA tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A. o 𝑨 𝑩

Álgebra Vectorial

Capítulo 1-Parte 2

SUMA DE VECTORES

Dados dos vectores 𝑨 y 𝑩 de Vn, distintos de cero, tal como 𝑨 = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏) 𝒚 𝑩 = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, … , 𝒃𝒏). Se define a 𝑨 + 𝑩 como el vector cuyas componentes se obtienen: 𝑨 + 𝑩 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, … , 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏) Ejm: Sea A = ( 2 , − 1 , 0 , 1 ) y 𝐵 = − 3 , − 1 , − 2 , − 5. Halle 𝐴^ Ԧ + 𝐵. 𝐴^ Ԧ + 𝐵 = ( 2 − 3 , − 1 − 1 , 0 − 2 , 1 − 5 ) 𝑨 + 𝑩 = (−𝟏, −𝟐, −𝟐, −𝟒)