Analyse mathématiques, Notes de Analyses des génies

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Analyse 2

Notes de cours

Andr´e Giroux

D´epartement de Math´ematiques et Statistique

Universit´e de Montr´eal

Avril 2004

Table des mati`eres

• 1 INTRODUCTION
  • 1.1 Exercices
• 2 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES
  • 2.1 La continuit´e uniforme
  • 2.2 D´efinition de l’int´egrale
  • 2.3 Propri´et´es de l’int´egrale
  • 2.4 Exercices
• 3 TH´EOR`EME FONDAMENTAL DU CALCUL
  • 3.1 Le th´eor`eme fondamental du calcul
  • 3.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l’int´egrale
  • 3.3 Exercices
• 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
  • 4.1 Le logarithme
  • 4.2 La fonction exponentielle
  • 4.3 Exposants irrationnels
  • 4.4 Les fonctions hyperboliques
  • 4.5 Exercices
• 5 FONCTIONS TRIGONOM´ETRIQUES
  • 5.1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques
  • 5.2 Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques
  • 5.3 Les fonctions trigonom´etriques inverses
  • 5.4 La notion d’angle
  • 5.5 Exercices
• 6 CALCUL DES PRIMITIVES
  • 6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles
  • 6.2 Primitives des fonctions rationnelles
  • 6.3 Exercices
• 7 INT´EGRALES IMPROPRES
  • 7.1 G´en´eralisation de l’int´egrale
  • 7.2 La fonction gamma
  • 7.3 Exercices
• 8 SUITES ET S´ERIES DE FONCTIONS
  • 8.1 La convergence uniforme
  • 8.2 L’approximation des fonction continues
  • 8.3 Les s´eries enti`eres
  • 8.4 Exercices
• 9 S´ERIES DE TAYLOR
  • 9.1 D´eveloppements limit´es
    • 9.1.1 Notations de Landau
  • 9.2 S´eries infinies
  • 9.3 Exercices
• 10 S´ERIES DE FOURIER
  • 10.1 La s´erie de Fourier
  • 10.2 Th´eor`emes de convergence
  • 10.3 L’approximation des fonctions continues p´eriodiques
  • 10.4 Exercices
  • 1 Sommes de Riemann Table des figures
  • 2 Sommes de Darboux
  • 3 D´efinition du logarithme
  • 4 Graphe du logarithme
  • 5 Graphe de l’exponentielle
  • 6 Les fonctions hyperboliques
  • 7 L’arcsinus hyperbolique
  • 8 Une fonction convexe
  • 9 D´efinition de l’arccosinus
  • 10 Le sinus et le cosinus
  • 11 La tangente
  • 12 L’arcsinus et l’arccosinus
  • 13 L’arctangente
  • 14 Angle entre deux droites
  • 15 Le triangle rectangle
  • 16 Angle et longueur d’arc
  • 17 Une substitution
  • 18 Comparaison de s´eries et d’int´egrales
  • 19 La fonction gamma
  • 20 Quelques fonctions Qn(x)
• 21 Les conditions de Dirichlet
• 22 Quelques fonctions Dn(x)
• 23 Fonctions f 2 et S 6 (f 2 )
• 24 Fonctions f 3 et S 12 (f 3 )
• 25 Quelques fonctions Fn(x)

1 INTRODUCTION

L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral. Ce cours porte sur le calcul int´egral. Il se divise en trois parties. La premiere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l’int´egrale d’une fonction continue d’une variable r´eelle. La seconde utilise cet outil pour introduire les fonctions analytiques ´el´ementaires (les fonctions logarithmique, exponen- tielle, trigonom´etriques directes et inverses, eul´eriennes). La derniere, enfin, porte sur la repr´esentation de ces fonctions par des s´eries de Taylor et des s´eries de Fourier. Il s’agit d’un cours de math´ematique formel, avec des d´emonstrations rigoureuses et completes de tous les th´eoremes pr´esent´es. Les exercices pro- pos´es sont de mˆeme nature et exigent de l’´etudiant qu’il en compose des solutions rigoureuses et completes. Ce cours est un deuxieme cours d’ana- lyse et suppose que l’´etudiant connaˆıt d´ej`a les propri´et´es des fonctions conti- nues ainsi que celles des fonctions d´erivables. Rappelons quelques-unes de ces propri´et´es.

On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`a-dire ferm´e born´e),

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b},

]a, b[ un intervalle ouvert,

]a, b[= {x | a < x < b}

et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´esument que a ≤ b). Un intervalle compact peut ˆetre caract´eris´e par la propri´et´e suivante :

• Toute suite {xn}n≥ 1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥ 1 qui converge vers un point de [a, b] (th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass).

Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle est continue en chaque point x 0 de (a, b), c’est-`a-dire si en chaque point x 0 de (a, b), lim x→x 0 f (x) = f (x 0 ).

Un fonction continue jouit des propri´et´es suivantes :

• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in- tervalle (propri´et´e des valeurs interm´ediaires).
• L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle compact (propri´et´e des valeurs extrˆemes).

est d´erivable aux points ou elle est d´efinie (c’est-a-dire aux points o`u le d´enominateur Qm(x) ne s’annule pas) et

R′(x) =

P (^) n′(x)Qm(x) − Pn(x)Q′ m(x) Q^2 m(x)

Si p ∈ Q, d dx

xp^ = p xp−^1 , x > 0.

1.1 Exercices 1

Justifier compl`etement toutes ses affirmations.

1. V´erifier que la suite de points de [− 1 , 1] d´efinie par

xn =

1 + (−1)nn 1 + n ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.

2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´e peut toujours ˆetre prolong´ee `a une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il vrai pour un intervalle quelconque?
3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´e qui n’y est pas born´ee ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆeme question pour un intervalle born´e.
4. Montrer qu’une fonction d´erivable sur un intervalle ferm´e peut toujours ˆetre prolong´ee `a une fonction d´erivable sur R tout entier.
5. Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en tous les points de leur domaine de d´efinition :

x^1 /^2 , x^1 /^3 , x^3 /^2 , x^4 /^3?

6. Soient 0 < a < b. D´eterminer le point c du th´eor`eme des accroisse- ments finis pour la fonction f (x) = x^2. Mˆeme question pour la fonction f (x) = x^3.

2 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES

L’int´egration des fonctions continues repose sur une propri´et´e suppl´ementaire de ces fonctions lorsqu’on les consid`ere sur des intervalles compacts.

2.1 La continuit´e uniforme

Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle est continue en chaque point x 0 de (a, b), c’est-a-dire qu’a chaque point x 0 et `a chaque  > 0 correspond δ > 0 tel que

|x − x 0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x 0 )| < .

Le nombre δ d´epend `a la fois de x 0 et de  :

δ = δ(x 0 , ).

Lorsqu’il peut ˆetre choisi ind´ependamment du point x 0 ,

δ = δ(),

on dit que la fonction est uniform´ement continue sur l’intervalle (a, b). En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ement continue sur (a, b) si `a chaque  > 0 correspond δ > 0 tel que

|x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < . Exemples.

• La fonction f (x) = x^2 est uniform´ement continue sur [0, 1] puisque : |x^2 − y^2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2 |x − y|.
• La fonction f (x) =

x est uniform´ement continue sur [1, +∞[ ; en vertu du th´eor`eme des accroissements finis en effet, il existe z entre x et y tel que : |

x −

y| =

|x − y| 2

z

|x − y| 2

• La fonction f (x) = x^2 n’est pas uniform´ement continue sur [1, +∞[ ; soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours

|f (xn) − f (yn)| = 2 +

n^2

bien que |xn − yn| =

n

Aucun nombre δ ne peut correspondre `a  = 2.

et une somme inf´erieure s(P, f ),

s(P, f ) =

∑^ n

k=

inf{f (x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk}(xk − xk− 1 ).

Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec- tivement l’aire d´etermin´ee par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont pas n´ecessairement ´equidistants).

x

y y
f
x

a b

Fig. 1 – Sommes de Riemann

Il est clair que l’on a

inf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)

pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition plus fine que P, c’est-`a-dire si P ⊆ Q, on a

S(Q, f ) ≤ S(P, f ) , s(P, f ) ≤ s(Q, f ). (1)

En effet, il suffit de v´erifier ces in´egalit´es lorsque Q s’obtient de P par adjonc- tion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj− 1 < x∗ < xj , on a

sup{f (x) | xj− 1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj− 1 )

= sup{f (x) | xj− 1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj− 1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj− 1 )

≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj− 1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj− 1 )

et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´es. De ceci d´ecoule la premi`ere des in´egalit´es (1). L’autre in´egalit´e s’obtient de fa¸con similaire.

On d´eduit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on a s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ),

c’est-`a-dire que toute somme inf´erieure est plus petite que toute somme sup´erieure. Ainsi sup P

s(P, f ) ≤ inf P S(P, f ).

En fait, on a toujours

sup P

s(P, f ) = inf P S(P, f ). (2)

Cela est une cons´equence de la continuit´e uniforme d’une fonction continue sur un intervalle compact. D´emontrons la relation (2). Soit  > 0 arbitraire. Soit δ > 0 un nombre tel que

|x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| <

b − a

Soit aussi P = {x 0 , x 1 , x 2 ,... , xn}

une partition pour laquelle

xk − xk− 1 < δ pour tout k.

Soient enfin uk, vk ∈ [xk− 1 , xk] tels que, pour tout k,

f (uk) = inf{f (x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk} , f (vk) = sup{f (x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk}

(propri´et´e des valeurs extrˆemes). Alors

S(P, f ) − s(P, f )

=

∑^ n

k=

(sup{f (x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk} − inf{f (x) | xk− 1 ≤ x ≤ xk})(xk − xk− 1 )

∑^ n

k=

(f (vk) − f (uk))(xk − xk− 1 ) ≤

∑^ n

k=

b − a

(xk − xk− 1 ) = 

ce qui d´emontre la relation (2). On exprime l’´equation (2) en disant que la fonction f est int´egrable sur l’intervalle [a, b], d’int´egrale : ∫ (^) b

a

f (x) dx = sup P

s(P, f ) = inf P S(P, f ).

Ainsi (^) ∣ ∣ ∣∣ ∣

∫ (^) b

a

f (x) dx −

b − a n

∑^ n

k=

f (xk,n)

≤ S(Pn, f ) − s(Pn, f ).

Or, en utilisant la continuit´e uniforme de la fonction f et la propri´et´e des valeurs extrˆemes, on voit comme pr´ec´edemment que

lim n→+∞ (S(Pn, f ) − s(Pn, f )) = 0.

C.Q.F.D. Exemple. On a (^) ∫ 1 0

x dx = (^) n→lim+∞

n

∑^ n

k=

k n = (^) n→lim+∞

n + 1 2 n

2.3 Propri´et´es de l’int´egrale

Les trois propri´et´es essentielles de l’int´egrale d’une fonction continue sont la lin´earit´e, la positivit´e et l’additivit´e.

Th´eor`eme 3 (Lin´earit´e de l’int´egrale) Soient f 1 , f 2 : [a, b] → R des fonctions continues et c 1 , c 2 ∈ R des nombres. Alors

∫ (^) b

a

(c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x)) dx = c 1

∫ (^) b

a

f 1 (x) dx + c 2

∫ (^) b

a

f 2 (x) dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :

∫ (^) b

a

(c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x)) dx

= lim n→+∞

b − a n

∑^ n

k=

c 1 f 1

a + k n (b − a)

• c 2 f 2

a + k n (b − a)

= c (^1) n→lim+∞

b − a n

∑^ n

k=

f 1

a +

k n (b − a)

• c (^2) n→lim+∞

b − a n

∑^ n

k=

f 2

a +

k n (b − a)

= c 1

∫ (^) b

a

f 1 (x) dx + c 2

∫ (^) b

a

f 2 (x) dx.

C.Q.F.D.

Th´eor`eme 4 (Positivit´e de l’int´egrale) Soient f 1 , f 2 : [a, b] → R des fonctions continues telles que

f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour a ≤ x ≤ b.

Alors (^) ∫ (^) b

a

f 1 (x) dx ≤

∫ (^) b

a

f 2 (x) dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :

∫ (^) b

a

f 1 (x) dx = (^) n→lim+∞

b − a n

∑^ n

k=

f 1

a +

k n (b − a)

≤ lim n→+∞

b − a n

∑^ n

k=

f 2

a + k n

(b − a)

∫ (^) b

a

f 2 (x) dx.

C.Q.F.D.

L’application de ce th´eoreme aux fonctions f 1 = ±f et f 2 = |f | conduita l’in´egalit´e du triangle pour les int´egrales : ∣∣ ∣∣

∫ (^) b

a

f (x) dx

∫ (^) b

a

|f (x)| dx.

Th´eor`eme 5 (Additivit´e de l’int´egrale) Soient f : [a, b] → R une fonc- tion continue et a < c < b. Alors ∫ (^) b

a

f (x) dx =

∫ (^) c

a

f (x) dx +

∫ (^) b

c

f (x) dx.

D´emonstration. Soient P, P′^ et P′′^ des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b] respectivement. On a donc :

P ∪ {c} = P′^ ∪ P′′.

En utilisant les in´egalit´es (1), on voit d’une part que

∫ (^) b

a

f (x) dx = sup P

s(P, f ) ≤ sup P

s(P ∪ {c}, f ) = sup P′∪P′′

(s(P′, f ) + s(P′′, f ))

≤ sup P′

s(P′, f ) + sup P′′

s(P′′, f ) =

∫ (^) c

a

f (x) dx +

∫ (^) b

c

f (x) dx

2.4 Exercices 2

Justifier compl`etement toutes ses affirmations.

1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´eriv´ee born´ee est uniform´ement continue.
2. En d´eduire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´ee est uni- form´ement continue sur R.
3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ement continue sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b).
4. En d´eduire que la fonction f (x) = 3

x est uniform´ement continue sur R.

5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ement continue sur l’intervalle ]0, 1]? sur l’intervalle [1, +∞[?
6. Les sommes sup´erieures et les sommes inf´erieures de Riemann peuvent ˆetre calcul´ees pour toute fonction born´ee f : [a, b] → R mais il n’est plus certain que la fonction soit int´egrable, c’est-`a-dire que l’´equation (2) soit vraie. Consid´erer avec Dirichlet la fonction indicatrice des nombres rationnels :

f (x) = IQ(x) =

1 si x ∈ Q 0 sinon.

Montrer qu’elle n’est int´egrable sur aucun intervalle.

7. D´emontrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont continues, alors ∫ (^) b

a

f (x)g(x) dx ≤

b

a

f 2 (x) dx

b

a

g^2 (x) dx.

(Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸con optimale dans l’in´egalit´e :

∫ (^) b

a

(f (x) + λg(x))^2 dx.)

8. En d´eduire l’in´egalit´e de Minkowski : √∫ b a

(f (x) + g(x))^2 dx ≤

b a

f (x)^2 dx +

b a

g(x)^2 dx.

9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que (^) ∫ b

a

f (x) dx = f (c)(b − a).

(Premier th´eor`eme de la moyenne).

10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que

∫ (^) b

a

f (x) dx = 0.

Montrer qu’elle est identiquement nulle.

11. V´erifier les relations suivantes :

sup a∈A, b∈B

(a + b) ≤ sup a∈A

a + sup b∈B

b,

inf a∈A, b∈B (a + b) ≥ inf a∈A a + inf b∈B b.

12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an}n≥ 1 une suite de nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que ∫ (^) b

a

f (x) dx = lim n→+∞

∫ (^) b

an

f (x) dx.

Les cas ou x = a et ou x = b sont similaires. C.Q.F.D. Remarque. Puisque (^) ∫ b

a

f (t) dt =

∫ (^) x

a

f (t) dt +

∫ (^) b

x

f (t) dt,

on a aussi d dx

∫ (^) b

x

f (t) dt = −f (x).

Th´eoreme 7 (Th´eoreme fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R une fonction continˆument d´erivable. Alors ∫ (^) b

a

F ′(x) dx = F (b) − F (a).

D´emonstration. Consid´erons la fonction

J(x) =

∫ (^) x

a

F ′(t) dt.

En vertu du th´eor`eme pr´ec´edent, on a

J′(x) = F ′(x).

Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆeme d´eriv´ee sur l’in- tervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, elles co¨ıncident partout sur l’intervalle [a, b] :

J(b) = F (b) − F (a).

C.Q.F.D. En vertu de ce th´eor`eme, il suffit donc, pour ´evaluer ∫ (^) b

a

f (x) dx,

de trouver une fonction F (x) telle que F ′(x) = f (x). On a alors tout sim- plement (^) ∫ b a

f (x) dx = F (b) − F (a).

(Pour abr´eger l’´ecriture, on ´ecrit

F (b) − F (a) = F (x)

b a

Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´eriv´ee) ou encore int´egrale ind´efinie de f. On la d´enote par ∫ f (x) dx.

En d’autres mots,

F (x) =

f (x) dx ⇔ F ′(x) = f (x).

Une primitive n’est d´efinie qu’a l’addition d’une constante pres. Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ement la fonction d´efinie par l’´equation

F (x) =

∫ (^) x

a

f (t) dt

(en vertu du th´eoreme (6)) mais si cela s’avere ˆetre la seule repr´esentation disponible de F , elle n’est guere utile pour ´evaluer l’int´egrale « d´efinie » de f. Cette situation se pr´esente cependant quelquefois. Et, en regle g´en´erale, le calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´eriv´ees.

Exemple. Si p ∈ Q, p 6 = −1, (^) ∫ xp^ dx = xp+ p + 1

puisque d dx xp+1^ = (p + 1)xp.

On a donc, si 0 < a < b,

∫ (^) b

a

xp^ dx = bp+1^ − ap+ p + 1

3.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l’int´egrale

Le th´eoreme fondamental du calcul met en lumiere deux autres propri´et´es de l’int´egrale : l’int´egration par parties qui correspond a la regle de d´erivation d’un produit et la formule de changement de variable qui correspond a la regle de d´erivation en chaˆıne (exercice (7)).