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Le sujet comporte 8 pages num´erot´ees de 2 `a 9
Il faut choisir et r´ealiser seulement trois des quatre exercices propos´es
EXERCICE I
Donner les r´eponses a cet exercice dans le cadre pr´evua la page 3
On consid`ere la fonction f d´efinie, pour tout r´eel de ] 0; +∞ [, par :
f (x) = 2 ln x − (ln x)^2
Soit C la courbe repr´esentant f dans un rep`ere (O;~ı , ~ ) orthonorm´e.
I-1-a- D´eterminer lim x → 0 x > 0
f (x). Justifier la r´eponse.
1-b- D´eterminer lim x→+∞ f (x). Justifier la r´eponse.
I-2-a- f ′^ d´esigne la d´eriv´ee de f. D´eterminer f ′(x).
2-b- Pour tout x ∈ ] 0 ; +∞[, f ′(x) s’´ecrit sous la forme : f ′(x) = g(x) (1−ln(x))
Donner l’expression de g(x).
2-c- Compl´eter le tableau de variation de la fonction f. f pr´esente un extremum en un point M. Donner les coordonn´ees (xM , yM ) de M.
I-3- La courbe C coupe l’axe des abscisses (Ox) en deux points A et B d’abscisses respectives xA et xB telles que xA < xB. D´eterminer les valeurs exactes de xA et de xB. D´etailler les calculs. Donner une valeur approch´ee a 10 −^1 pres de xB.
I-4- Placer les points A, B et M. Tracer la courbe C ainsi que sa tangente au point M.
I-5- On consid`ere la fonction F d´efinie, pour tout x ∈ ]0; +∞[, par :
F (x) = x
−4 + 4 ln x − (ln x)^2
5-a- Montrer que F est une primitive de f. D´etailler les calculs.
5-b- Soit J l’int´egrale d´efinie par : J =
∫ (^) e
1
f (x) dx.
Calculer la valeur exacte de J en justifiant le calcul.
5-c- Sur la figure de I-4-, hachurer la partie du plan dont l’aire, exprim´ee en unit´es d’aire, vaut J.
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REPONSES A L’EXERCICE I
I-1-a- lim x → 0 x > 0
f (x) = −∞ car lim x → 0 x > 0
ln x = −∞ et lim x → 0 x > 0
−(ln x)^2 = −∞
I-1-b- lim x→+∞ f (x) = −∞ car f (x) = ln x (2 − ln x) et lim x→+∞ ln x = +∞ et lim x→+∞ (2 − ln x) = −∞
I-2-a- f ′(x) =
x
− 2 ln x ×
x
x
(1 − ln x)
I-2-b- g(x) =
x I-2-c- x^0 e^ +∞ f ′(x) || + 0 − || f (x) | −∞ −∞
1 |
xM = e
yM = 1
I-3- xA = 1 xB = e^2 xB ≃ 7 , 4 car f (x) = 0 ⇔ 2 ln x − (ln x)^2 = 0 ⇔ ln x (2 − ln x) = 0 ⇔ ln x = 0 ou ln x = 2 ⇔ x = 1 ou x = e^2
I-4-
~j
O ~i^ A^ e B
M
I-5-a- F est la primitive de f car F ′^ = f
En effet F ′(x) =
−4 + 4 ln x − (ln x)^2
x
− 2 ln x ×
x
donc F ′(x) = −4 + 4 ln x − (ln x)^2 + 4 − 2 ln x d’o`u F ′(x) = 2 ln x − (ln x)^2 = f (x)
I-5-b- J = 4 − e car ln e = 1 et ln 1 = 0 et J =
∫ (^) e
1
f (x) dx = F (e) − F (1) = e(−4 + 4 − 1) − (−4) = 4 − e.
I-5-c- Utiliser la figure de I-4-.
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REPONSES A L’EXERCICE II
II-1-
B
P
M
3 4
X = 0
X = 1
X = 1
X = 2
X = 3
X = 0
X = 1
X = 2
1 4 1 4 1 2
1 6
1 3 1 4 1 4
1 2
1 4
1 2
II-2-a- P 1 = PB (X = 0) =
II-2-b- P 2 = PP (X ≥ 2) =
II-3-a- P(X = 0) =
×
×
II-3-b- P(X = 2) =
×
×
II-3-c- P(X = 3) =
×
II-4-a-
xi 0 1 2 3
P(X = xi)
II-4-b- E(X) =
II-5- G =
× 10 × 240 = 2300 euros
II-6- P 3 = PX=1(B) =
II-7- P 4 = PB (X = 1) =
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EXERCICE III
Donner les r´eponses a cet exercice dans le cadre pr´evua la page 7
On se place dans le plan complexe P rapport´e au rep`ere (O; ~u , ~v ) orthonorm´e, direct. Pour tout complexe z, on pose : z′^ = (1 + i)z − i
On considere la fonction F qui,a tout point M d’affixe z, associe le point M ′^ d’affixe z′.
III-1- Soit le point A d’affixe zA = 1. D´eterminer l’image A′^ par F de A.
III-2- Dans cette question, on consid`ere un point M d’affixe z 6 = 1.
On consid`ere le complexe Z =
z′^ − z 1 − z
2-a- Z peut s’´ecrire Z = a i. D´eterminer a. Justifier le calcul.
2-b- D´eterminer le module |Z| et un argument arg(Z) de Z.
2-c- Exprimer la distance M M ′^ en fonction de M A et d´eterminer une mesure de l’angle (
M A,
M M ′).
2-d- En d´eduire la nature du triangle AM M ′.
2-e- Construire l’image M ′^ par F du point M plac´e sur la figure.
III-3- C d´esigne le sym´etrique du point A par rapport a l’origine O du repere et B d´esigne le point d’affixe :
zB =
−1 + i 2
3-a- Donner l’affixe zC du point C.
3-b- D´eterminer l’affixe zB′ de l’image B′^ par F du point B. D´etailler le calcul.
3-c- Placer les points B, B′^ et C sur la figure de III-2-e-.
III-4-a- D´eduire de la question III-2-c- la mesure de l’angle (
BA,
BB′).
4-b- Donner la mesure de l’angle (
CA,
CB′). Justifier le r´esultat.
4-c- En d´eduire que les points A, B, C et B′^ appartiennent a un mˆeme cercle dont on donnera les extr´emit´es d’un diametre. Justifier la r´eponse.
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EXERCICE IV
Donner les r´eponses a cet exercice dans le cadre pr´evua la page 9
On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante :
(E) : y′(x) + y(x) = x + 1
o`u y est une fonction d´efinie et d´erivable sur R.
IV-1- Soit y une solution de l’´equation diff´erentielle (E). On note h la fonction d´efinie pour tout r´eel x de R par :
h(x) = y(x) − x
1-a- En d´etaillant le calcul de h′(x) + h(x), v´erifier que h est solution de l’´equation diff´erentielle :
(F ) : h′(x) = −h(x)
1-b- D´eterminer toutes les fonctions h solutions de l’´equation diff´erentielle (F ).
IV-2- En d´eduire toutes les fonctions y solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
IV-3- Soit un r´eel a quelconque. On note fa la fonction d´efinie, pour tout r´eel x de R, par : fa(x) = x + ae−x et on note Ca sa courbe repr´esentative dans le plan rapport´e a un repere orthonorm´e (O;~ı, ~).
3-a- Calculer fa(0).
3-b- D´eterminer, pour tout r´eel x de R, f (^) a′(x).
3-c- D´eterminer une ´equation de la tangente Ta `a la courbe Ca au point Aa d’abscisse nulle.
3-d- Justifier que le point I(1; 1) appartient `a la tangente Ta.
IV-4- Voici trois courbes repr´esentant les fonctions fa 1 , fa 2 et fa 3. D´eterminer a 1 , a 2 et a 3. Justifier vos affirmations. IV-5- Tracer, sur la figure de IV-4-, les tangentes Ta 1 , Ta 2 et Ta 3 `a chacune des trois courbes au point d’abscisse 0.
IV-6- Soient a et b deux r´eels tels que a < b. Quel est le signe de fa(x) − fb(x)? Justifier votre r´eponse. Qu’en d´eduisez-vous pour les courbes Ca et Cb?
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REPONSES A L’EXERCICE IV
IV-1-a- h′(x) + h(x) = (y′(x) − 1) + (y(x) − x) = y′(x) + y(x) − (x + 1) Comme y est solution de (E) alors y′(x) + y(x) = x + 1 Donc h′(x) + h(x) = 0 ⇔ h′(x) = − h(x)
IV-1-b- h(x) = Ke−x
IV-2- y(x) = Ke−x^ + x
IV-3-a- fa(0) = a
IV-3-b- f (^) a′(x) = 1 − a e−x
IV-3-c- Ta : y = f (^) a′(0)(x − 0) + fa(0) ⇔ Ta : y = (1 − a) x + a
IV-3-d- I ∈ Ta car (1 − a) xI + a = (1 − a) + a = 1 = yI
IV-4-
O
~j
Ca 1
Ca 3
~i
a 2 = 2
a 3 = − 1
car fa 1 (0) = 3
car fa 3 (0) = − 1
car fa 2 (0) = 2
a 1 = 3 Ta 1
Ta 3
Ta 2
Ca 2
IV-5- Utiliser la figure de IV-4-
IV-6- Le signe de fa(x) − fb(x) est n´egatif car fa(x) − fb(x) = (x + a e−x) − (x + b e−x) = (a − b) e−x De plus (a − b) < 0 car a < b et e−x^ > 0 pour tout r´eel x. Cons´equence pour Ca et Cb : Ca est situ´ee en dessous de Cb.
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