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SÉQUENCE 3 : MANIPULATION DES VECTEURS,
DES DROITES ET DES PLANS DE L’ESPACE
SYNTHÈSE DE SÉQUENCE
SYNTHÈSE
1. Vecteurs de l’espace
A. Définitions
La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise à l’espace.
Définition
Dans l’espace, comme dans le plan, étant donné quatre points A, B, C et D, les vecteurs et sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme C en D, ce qui revient à dire que ABDC est un parallélogramme ou encore, si et , que les trois conditions suivantes sont vérifiées : les vecteurs et ont la même direction : (AB) // (CD) ; les vecteurs et ont la même sens ; les vecteurs et ont la même norme : AB = CD.
Exemple
Si ABCDEFGH est un parallélépipède (encore appelé pavé) alors :. Remarque Les règles de calculs sont les mêmes que dans le plan : addition, relation de Chasles, vecteur nul, multiplication d’un vecteur par un réel
B. Vecteurs colinéaires
Définition
Soit et deux vecteurs de l’espace. On dit que et sont colinéaires s’il existe un réel k tel que ou. Propriété (admise) Soit M un point de l’espace on a : où est un vecteur directeur de. Propriété Une droite est caractérisée par un point et par un vecteur non nul. Si A est un point de la droite et est un vecteur directeur de alors est l’ensemble des points M de l’espace définis par. C. Vecteurs coplanaires
Définition
Soit , et , trois vecteurs de l’espace. Soit O un point quelconque et les points A, B et C définis par : , et. Les vecteurs , et sont coplanaires si et seulement si O, A, B et C sont coplanaires. Remarques Si deux des vecteurs , et , sont colinéaires alors les trois vecteurs sont coplanaires.
Définition
On dit que deux vecteurs non colinéaires et forment une base du plan.
Définition
Soit O un point. On dit que est un repère du plan si est une base du plan. Lorsque l’on décompose, de faction unique, un vecteur sous la forme , on dit que les nombres et sont les coordonnées du vecteur dans le repère. B. Dans l’espace Théorème - Décomposition d’un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires Soit , et trois vecteurs de l’espace non coplanaires. Pour tout vecteur de l’espace, il existe un unique triplet de réels tels que : .
Définition
Soit , et , et trois vecteurs de l’espace non coplanaires et , un vecteur de l’espace. On dit que est une base de l’espace. Considérons l’unique triplet tel que :. Les trois réels x, y et z sont les coordonnées de dans la base.
Définition
On dit que est un repère de l’espace si les vecteurs , et ne sont pas coplanaires donc si est une base de l’espace.
Définition
Soit un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet tel que. Les trois réels x, y et z sont les coordonnées de M dans le repère (x : abscisse, y : ordonnée et z : côte). C. Coordonnées de vecteurs et calculs Propriété (admise) Soit et dans la base et un réel. Alors : a pour coordonnées dans la base ; a pour coordonnées dans la base ; et sont colinéaires si et seulement si et sont proportionnels.
C.Position relative d’une droite et d’un plan dans l’espace Propriétés (admises) Soit une droite de vecteur directeur et un plan. Remarque est parallèle à lorsqu’il existe une droite incluse dans telle que et soit parallèle. est incluse dans le plan et n’ont pas de point et se coupent en un commun point : I et peuvent être Sécants Parallèles , et ne sont pas^ ,^ et^ sont coplanaires coplanaires
D. Position relative de deux plans dans l’espace Propriété On considère deux plans et définis par , et où les vecteurs et (resp. et ) ne sont pas colinéaires. E. Propriétés utiles Propriété - Théorème du toit Soit , et trois plans, deux à deux sécants. On note : , et. Si et sont parallèles, est parallèle à chacune de ces deux droites. et peuvent être Sécants Parallèles Strictement parallèles Confondus , , et sont coplanaires , , et ne sont pas coplanaires , , et sont coplanaires et A n’appartient pas à , , et sont coplanaires et A appartient à
