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Chapitre 11 : Suites numériques
Introduction : Les suites de nombres réels ont plusieurs champs d’application. Elles repré-
sentent un modèle courant de description de phénomènes discrets, c’est à dire évoluant étape
par étape. On s’intéresse en particulier au comportement à long terme, d’où l’importance de
la notion de convergence. Les suites constituent également un outil d’étude approfondie des
nombres réels. Elles fournissent par exemple des algorithmes d’approximation d’un nombre
irrationnel comme
p 2 , e ou ⇡. L’idée de suite trouve sa source dans les méthodes d’approxi-
mations successives déjà utilisées par les Babyloniens 3000 ans avant J.-C. et brillamment mise
en œuvre par Archimède.
Biographie : Karl Weierstrass (Osterfelde 1815 - Berlin 1897).
Né dans une famille catholique, Karl Weierstrass est l’ainé de quatre en-
fants. Très bon élève dans le secondaire, son père l’envoie étudier le droit et
les finances à Bonn. Peu intéressé, il part étudier à Münster où il rencontre
Christoph Gudermann qui lui communique sa passion pour les mathéma-
tiques. Enseignant d’abord en lycée, ce n’est qu’en 1864 qu’il devient pro-
fesseur à l’université de Berlin et qu’il peut se consacrer entièrement à sa
passion pour les mathématiques. C’est à son passage dans l’enseignement
secondaire qu’il pense devoir des talents de pédagogue reconnus de tous.
Il étudie les nombres réels et en donne une construction (élaborée à partir de 1863 et publiée
en 1872) dont on peut penser qu’elle inspire toutes celles paraissant à cette époque (Méray,
Cantor et Dedekind). Il construit de nombreuses nouvelles fonctions réelles ou complexes à
l’aide des séries entières (programme de spé) et des produits infinis. On lui doit en 1861 un
exemple de fonction continue et dérivable nulle part. Il publie en 1885 son célèbre théorème sur
l’approximation des fonctions continues sur un segment par des polynômes. Il s’intéresse aussi à
l’algèbre linéaire qui prend son essor dans cette deuxième moitié du XIXème siècle. Surnommé
parfois le père de l’analyse moderne, Karl Weierstrass introduit une grande rigueur en analyse.
C’est lui qui le premier définit la continuité “à l’aide des epsilons". Il publie peu et ses résultats
sont souvent connus grâce aux cours de ses élèves.
Vu au lycée : définition, suites récurrentes (arithmétiques et géométriques), monotonie, limites
avec opérations et comparaisons, théorème des gendarmes, théorème des suites monotones.
Approximation décimale d’un réel à 10 n^ près.
Plan :
I - Généralités sur les suites réelles II - Suites récurrentes linéaires
III - Compléments sur les nombres réels IV - Limite d’une suite réelle
V - Théorèmes d’existence de limites VI - Suites récurrentes générales
VII - Étude des suites complexes
Plan de travail
Objectif fondamental Tests Exos X
Déterminer les propriétés d’une suite :
Calculer explicitement les suites récurrentes linéaires.
Savoir calculer des limites à l’aide des outils classiques :
Savoir modéliser un problème simple à l’aide d’une suite.
Objectif d’approfondissement Tests Exos X Justifier une borne supérieur / inférieure.
S’approprier la définition de convergence avec les quantificateurs.
Utiliser les suites extraites.
Étude graphique d’une suite récurrente.
Définition Apprise Comprise
Suite, terme général
Constante, croissante, monotone, majorée
Suite arithmétique/géométrique Suite récurrente linéaire d’ordre 1 et 2
Intervalle
Suite convergeant vers `
Convergence / divergence
Suite ayant pour limite + 1 et
Suite extraite Suite adjacente
Intervalle stable par f , Point fixe
Suite complexe bornée, convergente
Théorème important Appris Compris
Propriété fondamentale de la borne supérieure
Caractérisation de la borne supérieure
Opérations élémentaires sur les limites Croissances comparées
Théorème d’encadrement
Théorème des suites monotones
Théorème des suites adjacentes
Démonstration Détaillée Synthèse
Uunicité de la limite d’une suite convergente.
Limite d’un produit de suites.
théorème des suites adjacentes.
Dates révision
I. Généralités sur les suites réelles
1) Définition
Une suite de réels est une application de N dans R ou d’une partie de N de la forme A = [[n 0 ; + 1 [[ dans R.
u : N ! R n 7 ! u(n) = un
On la note u = (un)n 2 N ou bien (un)n n 0
. un est appelé le terme général (parfois aussi
n-ième terme) de la suite.
Définition.
Notation : on notera RN^ l’ensemble des suites réelles.
un 2 R, et (un) 2 RN.
Modes de définition d’une suite :
(i) Explicite : un = f (n) pour tout n 2 N, où f est une fonction réelle. Représentation graphique : comme une fonction ou éléments placés sur un axe.
Exemple. Soit (un)n 2 N la suite définie pour tout entier n par un = n^2 +
3 n + 1
(ii) Implicite : On se donne une relation de la forme f (n, un) = 0, où f est une fonction réelle de deux variables.
Exemple. Soit (un)n 2 N la suite définie pour tout entier n par l’unique solution positive
de exp(un) 3 nun 2 = 0.
Ce type de relation ne permet pas forcément d’exprimer un en fonction de n.
(iii) Par récurrence : On donne u 0 2 R et une relation de récurrence un+1 = f (un) où f est
une fonction réelle.
Exemple. Soit (un)n 2 N la suite définie par
u 0 = 1
8 n 2 N, un+1 = 3un +
un
Remarque. On parle aussi de suites récurrentes lorsque (un)n 2 N est définie par la donnée des termes {uk , 0 k k 0 } et une relation de récurrence donnant un+1 en fonction des
termes {un i , 0 k k 0 }
Exemple. Soit (un)n 2 N la suite définie par
u 0 = 1; u 1 = 1 8 n 2 N, un+2 = un+1 + un
2) Caractéristiques d’une suite
La suite (un)n 2 N est dite :
- constante si, pour tout n 2 N, un+1 = un.
- stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.
- croissante si, pour tout n 2 N, un+1 un
- décroissante si, pour tout n 2 N, un+1 un
- monotone si elle est croissante ou décroissante.
- majorée s’il existe M 2 R tel que, pour tout n 2 N, un M.
- minorée s’il existe m 2 R tel que, pour tout n 2 N, un m.
Définition.
- bornée si elle est majorée et minorée.
- périodique s’il existe p 2 N⇤^ tel que, pour tout n 2 N, un+p = un. On dit alors que p
est une période.
Remarque. Les définitions de suites croissantes, décroissantes et monotones se répètent avec
“strictement” en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
Test 1. Écrire avec des quantificateurs la définition de suite stationnaire.
Corrigé. 9 N 2 N, 8 n N, un+1 = un.
Exemples.
- La suite (2n)n 2 N est strictement croissante.
- La suite (bn/ 2 c)n 2 N est croissante mais pas strictement croissante.
- La suite (un)n 2 N définie par un = ( 1)n^ n’est ni croissante ni décroissante, mais elle est périodique, de période p = 2, et bornée.
La suite (un)n 2 N est bornée si et seulement si la suite (|un|)n 2 N est majorée.
Théorème. Caractérisation d’une suite bornée
Même preuve que pour les fonctions réelles.
Preuve.
3) Opérations sur les suites
On peut définir dans RN^ les opérations suivantes :
(i) Une addition : (un) + (vn) = (un + vn). Cette opération est commutative, associative ; elle admet pour élément neutre la suite
constante nulle et toute sa suite a une opposée. Ainsi, (RN, +) est un groupe commutatif.
(ii) Une multiplication interne : (un)(vn) = unvn).
Cette opération est commutative, associative ; elle admet pour élément neutre la suite constante 1. Il existe des suites non nulles qui n’ont pas d’inverse (les suites ayant un
terme nul). La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
(iii) Une multiplication externe par les réels : si 2 R, (un) = ( un).
II. Suites récurrentes linéaires
1) Suites arithmético-géométriques
- Une suite (un)n 2 N est dite arithmétique s’il existe un réel r tel que pour tout entier
n, un+1 = un + r. Le nombre r est appelé la raison de cette suite.
- Une suite (un)n 2 N est dite géométrique s’il existe un réel q tel que pour tout entier n,
un+1 = q ⇥ un. Le nombre q est appelé la raison de cette suite.
- Une suite est dite arithmético-géométrique s’il existe deux réels a et b tels que pour
tout entier n, un+1 = aun + b.
Définition.
Soit (un)n 2 N une suite récurrente linéaire d’ordre 2. La détermination de un est très proche
de la résolution de l’équation différentielle ay^00 + by^0 + cy = 0. On cherche ici les solutions sous
la forme (rn) ce qui conduit à r solution de l’équation caractéristique.
Le tableau ci-dessous montre l’analogie entre les deux. On admet (dans ce chapitre) les résultats
de la dernière colonne du tableau :
ay^00 + by^0 + cy = 0 aun+2 + bun+1 + cun = 0
C.I. y(0), y^0 (0) u 0 , u 1
E.C. ar^2 + br + c = 0 ar^2 + br + c = 0
= b^2 4 ac = b^2 4 ac
2 solutions réelles distinctes 2 solutions réelles distinctes
- > 0 r 1 , r 2 2 R r 1 , r 2 2 R
y(t) = C 1 er^1 t^ + C 2 er^2 t^ un = C 1 rn 1 + C 2 rn 2
une solution réelle double une solution réelle double
y(t) = (C 1 t + C 2 )er^0 t^ un = (C 1 n + C 2 )rn 0
i 2 solutions complexes conjuguées i i 2 solutions complexes conjuguées i
- < 0 r = ↵ ± i r = ⇢e±i✓^ (⇢ > 0 )
y(t) = e↵t(C 1 cos( t) + C 2 sin( t)) un = ⇢n(C 1 cos(n✓) + C 2 sin(n✓))
C 1 , C 2 2 R déterminées C 1 , C 2 2 R déterminées
avec les C.I. avec les C.I.
Test 3. Déterminer l’unique suite réelle (un)n 2 N satisfaisant la relation de récurrence un+2
4 un+1 + 4un = 0 avec les conditions initiales u 0 = 1 et u 1 = 0.
Corrigé. L’équation caractéristique est r^2 4 r + 4 = 0, soit (r 2)^2 = 0, d’où r = 2 est
une racine double. On a donc un = (C 1 n + C 2 )2n. Or u 0 = 1 donc C 2 = 1 et u 1 = 0 donc
2 C 1 + 2C 2 = 0, ce qui donne C 1 = C 2 = 1. Au final, on a un = ( n + 1)2n.
III. Compléments sur les nombres réels
1) Borne supérieure et inférieure
L’ensemble R possède la propriété fondamentale suivante, que ne possède pas Q, et qui est
à la base de la plupart des résultats d’analyse :
Soit A une partie de R non vide.
(i) Si A est majorée, alors l’ensemble des majorants de A admet un plus petit élément.
(ii) Si A est minorée, alors l’ensemble des minorants de A admet un plus grand élément.
Théorème. Propriété fondamentale de la borne supérieure
Admis, nécessite une construction de R ou être vu comme un axiome.
Preuve.
Soit A une partie de R.
- Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A, notée sup A, le plus petit des majorants de A
- Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A, notée inf A, le plus grand des minorants de A
Définition.
Convention :
- si A n’est pas majorée, on pose sup A = + 1.
- si A n’est pas minorée, on pose inf A = 1.
Exemples. sup[0, 1[= 1, sup[0, 1] = max[0, 1] = 1.
Ne pas confondre borne supérieure de A et plus grand élément de A. La borne supérieure
(si elle existe) n’est pas forcément un élément de A. Cependant, si A possède un plus grand
élément, alors celui est aussi la borne supérieure de A.
Test 4. Que valent sup R⇤ et inf N? inf R⇤ et sup N?
Corrigé. sup R⇤ = 0 et inf N = min N = 0.
La propriété fondamentale de la borne supérieure est fausse dans Q, par exemple l’ensemble
A = {x 2 Q, x^2 < 2 } n’admet pas de borne supérieure dans Q (mais dans R, A admet la borne
supérieure
p 2 2 / Q).
La borne supérieure M d’une partie non vide et majorée A de R est l’unique réel tel que :
(i) 8 x 2 A, x M (M est un majorant),
(ii) 8 ✏ > 0 , 9 x 2 A, M ✏ < x (les nombres plus petits que M ne sont pas majorants).
La borne inférieure m d’une partie non vide et minorée A de R est l’unique réel tel que :
(i) 8 x 2 A, x m (m est un minorant de A),
(ii) 8 ✏ > 0 , 9 x 2 A, x < m + ✏ (les nombres plus grands que m ne sont pas minorants).
Théorème. Caractérisation de la borne supérieure
Test 5. Montrer en utilisant la caractérisation précédente que sup[0, 1[= 1.
Corrigé. On vérifie que :
(i) pour tout x 2 [0, 1[, x 1 ,
(ii) pour tout " > 0 , avec " < 1 , il existe x > 1 " (par exemple x = 1 " 2 ) tel que x 2 [0, 1[ (si " > 1 , tout x 2 [0, 1[ vérifie x > 1 ").
2) Intervalles de R
Une partie I de R est un intervalle si, dès qu’il contient deux réels, il contient tous les réels intermédiaires, c’est à dire si, pour tout (a, b) 2 I^2 , [a, b] ⇢ I, soit :
8 (a, b) 2 I
2 , 8 x 2 R, (a x b ) x 2 I).
Définition.
Tous les termes de la suite à partir du rang N sont dans la bande
N
` + "
` "
`
Test 6. Montrer en utilisant la définition de convergence que la suite (un)n 2 N définie pour
tout entier n par un =
n + 1
est convergente et converge vers 0.
Corrigé. Soit " > 0. Cherchons un entier N 2 N tel que, pour tout n N , |
n + 1
| ", c’est
à dire
n + 1
". Or, on a
n + 1
" si et seulement si n + 1 (^1) " , soit n (^1) " 1. Il suffit donc
de prendre pour N un entier vérifiant N (^1) " 1.
Soit (un) une suite de réels. Si (un) converge, alors il existe un unique réel tel que (un) converge vers. On dit alors que ` est la limite de (un) et on l’écrit lim n!+ 1
un ou plus
simplement lim un.
Théorème. Unicité de la limite
Voici deux rédactions possibles. Preuve directe. Soit (un) une suite de réels. Si un! 1 et un! 2 , alors montrons que
1 = 2. Soit " > 0 Par définition, il existe deux entiers N 1 et N 2 tels que :
- pour tout n N 1 , |un ` 1 | ",
- pour tout n N 2 , |un ` 2 | ". Pour tout n max{N 1 , N 2 }, on a donc
|1 2 | |1 un + un 2 | |1 un| + |un 2 | 2 ".
Ainsi, pour tout " > 0 , on a |1 2 | 2 ". On en déduit que 1 2 = 0, soit 1 = 2.
Preuve par l’absurde. On suppose que 1 6 = 2. On pose alors " =
1 3 |^1 ^^2 |. D’après la convergence de la suite, il existe deux entiers N 1 et N 2 tels que :
- pour tout n N 1 , |un ` 1 | ",
- pour tout n N 2 , |un ` 2 | ".
Pour tout n max{N 1 , N 2 }, on a donc un 2 [1 ", 1 + "] et un 2 [2 ", 2 + "]. Ces deux intervalles étant disjoints, on en déduit la contradiction.
Preuve.
La suite (un)n 2 N tend vers si et seulement si la suite (un )n 2 N tend vers 0.
Théorème. Caractérisation de la convergence vers `
Soit (un)n 2 N une suite de réels. On dit qu’elle est :
- convergente si il existe
2 R tel que un!. - divergente si elle n’est pas convergente.
Définition.
Test 7. Écrire la divergence d’une suite à l’aide des quantificateurs.
Corrigé. La convergence s’écrit ainsi :
9 2 R, 8 " > 0 , 9 N 2 N, 8 n N, |un | ".
On en déduit la divergence :
8 2 R, 9 " > 0 , 8 N 2 N, 9 n N, |un | ".
Exemples.
- Les suites constantes et stationnaires sont convergentes.
- La suite (un)n 2 N définie par un = ( 1)n^ est divergente.
- On dit qu’une suite (un)n 2 N tend vers + 1 et on note un! + 1 ou lim un = + 1 si
8 M 2 R, 9 N 2 N, 8 n N, un M.
- On dit qu’une suite (un)n 2 N tend vers 1 et on note un! 1 ou lim un = 1 si si
8 m 2 R, 9 N 2 N, 8 n N, un m.
Définition.
Les suites qui tendent vers ± 1 sont des suites divergentes.
Schéma
0 N
M
Tous les termes de la suite à partir du rang N sont au-dessus de cette droite
(i) Puissances :
- Si ↵ > 0 , n↵^! + 1.
- Si ↵ < 0 , n↵^! 0.
(ii) Logarithmes :
- Si > 0 , (ln n) ^! + 1.
- Si < 0 , (ln n) ^! 0.
(iii) Exponentielle :
- Si 0 r < 1 , alors rn^! 0.
- Si r > 1 , alors rn^! + 1.
Théorème. Limites des suites de référence
2) Encadrement d’une suite convergente
2 ". Ainsi, on vient de montrer que, pour tout " > 0 , il existe N 2 N tel que, pour tout n N , |un + vn| 2 ". Ceci signifie que la suite (un + vn) converge vers 0.
(iii) Soit " > 0. Par définition de la convergence de (vn) vers 0 et du fait que (un) est bornée, on en déduit que
- il existe M > 0 tel que, pour tout n, |un| M ,
- il existe N 2 N tel que, pour tout n N , |vn| ". Ainsi, pour tout n N , on a |unvn| |un|.|vn| M ". On en déduit que (unvn)
converge vers 0.
Remarques.
- Le point (i) est un cas particulier du théorème d’encadrement
- Le point (i) reste vrai si l’inégalité est vérifiée seulement à partir d’un certain rang. En fait, dans l’étude de la convergence, l’important est le comportement de la suite pour n
grand.
Exemple. Convergence de la suite (un)n 2 N⇤ définie par un = cos n^ npour tout n 6 = 0.
Soient (un) et (vn) deux suites réelles convergeant respectivement vers et vers^0 , alors
(i) la suite (|un|) converge vers |`|,
(ii) la suite (un + vn) converge vers +^0 ,
(iii) la suite (unvn) converge vers ``^0 ; en particulier, pour tout 2 R, la suite ( un) converge vers `,
(iv) si `^0 6 = 0, alors vn 6 = 0 à partir d’un certain rang et (
un vn )^ converge vers^
Théorème. Opérations sur les limites finies
(i) Pour tout n 2 N, on a ||un| ||| |un |. Puisque la suite (|un `|) tend vers 0, on
en déduit que la suite (|un|) tend vers |`|
(ii) Pour tout n 2 N, on a (un + vn) (+^0 ) = (un ) + (vn ^0 ). Puisque les deux termes un et vn ^0 tendent vers 0, on en déduit que la somme tend vers 0 et par
conséquent que |(un + vn) (+^0 )| tend vers 0. Ainsi, la suite (un + vn) converge vers +^0.
(iii) Pour tout n 2 N, on a
unvn ``
0 = un(vn `
0 ) + `
0 (un `).
Le terme de droite tend vers 0 en tant que somme de deux termes tendant vers 0 ; en
effet, le terme un(vn ^0 ) est le produit d’un terme borné (car (un) est convergente) et du terme vn ^0 tendant vers 0, et l’autre terme ^0 (un ) est le produit d’une constante
et d’un terme tendant vers 0. On en déduit que unvn ^0 tend vers 0 et donc que la suite (unvn) converge vers^0 ,
(iv) Puisque ^0 6 = 0, alors |vn|! |^0 | > 0 donc il existe m > 0 tel que |vn| m à partir d’un certain rang N. Par conséquent, vn 6 = 0 à partir du rang N et on écrit que
vn
`^0
`^0 vn
vn`^0
=^
|`^0 vn|
|vn|.|`^0 |
|`^0 vn|
m|`^0 |
Cette dernière quantité tend vers 0 puisque |`^0 vn| tend vers 0. On en déduit que
1 vn ^
1 `^0 |^ tend vers 0 et donc que la suite^ (^
vn
) converge vers
`^0
Ainsi, u vn n
= un ⇥ (^) v^1 n
! ⇥ 1 0.
Preuve.
Résumons les résultats sur les opérations sur les limites :
Si lim n!+ 1
un =
et si lim n!+ 1
vn = `^0 1 + 1 1 + 1 + 1
alors lim n!+ 1
(un + vn) = +^0 1 + 1 1 + 1 F.I.
Test 8. Montrer que si un! ` et vn! + 1 , alors un + vn! + 1.
Corrigé. Soit M 2 R. Puisque un! `, un est minorée donc il existe m 2 R tel que un m
pour tout n 2 N. De plus, vn! + 1 , donc il existe N 2 N tel que, pour tout n 2 N, vn M m.
Ainsi, pour tout n 2 N, on a un + vn M et donc un + vn! + 1.
Remarque. L’abréviation F.I. signifie forme indéterminée il faut donc transformer l’ex-
pression pour obtenir le résultat. Tout est possible dans ce cas.
Par exemple si (un)n 2 N tend vers + 1 et (vn)n 2 N tend vers 1, on peut avoir :
- une limite finie, par exemple si un = n et vn =
1 n ^ n^ alors^ un^ +^ vn^ =^
1 n!^0.
- une limite infinie, par exemple si un = n^2 et vn = n alors
un + vn = n^2 n = n(n 1) donc un + vn! + 1.
- aucune limite, par exemple si un = n + ( 1)n^ et vn = n alors un + vn = ( 1)n^ n’a pas de limite.
Test 9. Étudier la convergence de la suite définie pour tout entier n par un =
p n + 1
p n.
Corrigé. On multiplie par la quantité conjuguée pour obtenir : un = p(n+1) n n+1+
p n
= p^1 n+1+
p n
et
donc un! 0.
Si lim n!+ 1
un = ` 1 + 1
alors lim n!+ 1
k ⇥ un = k ⇥ `
si k < 0 si k > 0
si k < 0 si k > 0
Si lim n!+ 1
un =
et si lim n!+ 1
vn = `^0 ± 1 ± 1 ± 1
alors lim n!+ 1
(un ⇥ vn) = ⇥^0 ± 1 ± 1 F.I.
- Quotient de suites : si (vn)n 2 N ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors :
Si lim n!+ 1
un =
et si lim n!+ 1
vn = ^0 6 = 0 ± 1 0^0 ± 1 0
alors lim n!+ 1
un
vn
`
`^0
0 ± 1 ± 1 F.I. F.I.
On appelle suite extraite de la suite (un)n 2 N une suite de la forme (u'(n))n 2 N, où ' : N! N est une application strictement croissante.
Définition.
Remarque. Puisque ' est strictement croissante, on montre par récurrence que '(n) n
pour tout n 2 N.
Exemples.
- Les suites (u 2 n)n 2 N est (u 2 n+1)n 2 N sont extraites de (un)n 2 N et composées respectivement des termes de rang pair et impair.
- La suite (un+1)n 2 N, extraite de (un)n 2 N, correspond à un décalage des termes de la suite d’un rang vers la gauche.
Si une suite (un)n 2 N tend vers ` (respectivement vers + 1 , 1), alors toute suite extraite
de (un)n 2 N tend vers ` (respectivement vers + 1 , 1).
Théorème. Limite de suites extraites
Montrons dans le cas 2 R. Soient (un) une suite convergeant vers et (u'(n)) une suite
extraite de (un). Nous allons montrer que (u'(n)) converge vers . Soit " > 0. Il existe un entier N 2 N tel que, pour tout n N , |un | " ; ainsi, pour tout n N , puisque
'(n) n N , on a également |u'(n) `| ". D’où le résultat.
Preuve.
- On peut montrer qu’elle admet deux suites extraites qui convergent vers deux limites différentes.
- On peut montrer qu’elle admet une suite extraite qui diverge.
Méthode. Pour montrer qu’une suite n’a pas de limite
Test 10. Montrer que la suite (un)n 2 N définie pour n 2 N par un = ( 1)n^ est divergente.
Corrigé. La suite (u 2 n) converge vers 1 et (u 2 n+1) converge vers 1.
Remarque. Nous verrons en TD que les suites extraites peuvent aussi permettre de montrer
la convergence : si (u 2 n) et (u 2 n+1) convergent vers 2 R, alors (un) converge vers.
V. Théorèmes d’existence de limite
1) Encadrement
Soient (un)n 2 N, (vn)n 2 N et (wn)n 2 N trois suites réelles telles que un vn wn pour tout
n 2 N.
(i) Si un! 2 R et wn!, alors vn! `.
(ii) Si un! + 1 , alors vn! + 1.
(iii) Si vn! 1, alors un! 1.
Théorème. Théorème d’encadrement
(i) Pour tout n N , on a 0 vn un wn un, Puisque (wn un)! 0 , on en déduit
que vn un! 0. Ainsi, on a vn = un + (vn un) donc (vn) est convergente comme somme des suites convergentes (un) et (vn un) et vn converge vers l.
(ii) Soit M 2 R ; il existe N 2 N tel que, pour tout n N , un M , d’où vn un M.
Preuve.
(iii) La preuve est similaire à la précédente
Remarque. Ces résultats restent vrais si les inégalités sont vérifiées seulement à partir d’un
certain rang.
Le point (i) un résultat de convergence au contraire du résultat de passage à la limite dans
une inégalité pour qui la convergence est une hypothèse.
Test 11. Étudier la convergence de la suite (un)n 2 N définie par un = 1 +
cos n
n^2 + 1
Corrigé. On a, pour tout n, l’encadrement 1 + (^) n +1^1 un 1 + (^) n^1 +1. On a encadré (un)n 2 N par
deux suites convergeant vers 1, donc la suite (un)n 2 N converge vers 1.
2) Suites monotones
Soit (un)n 2 N une suite réelle croissante, alors deux comportements sont possibles :
(i) Si (un)n 2 N est majorée, alors (un)n 2 N est convergente et converge vers ` = sup{un, n 2
N}.
(ii) Si (un)n 2 N n’est pas majorée, alors (un)n 2 N est divergente et tend vers + 1.
Théorème. Théorème des suites monotones
(i) Supposons que la suite (un) est majorée. L’ensemble A = {un, n 2 N} est une partie non vide et majorée de R ; elle admet donc une borne supérieure notée . Nous allons montrer que (un) converge vers. Soit " > 0. D’après la caractérisation de la borne
supérieure, " n’est pas un majorant de A donc il existe un élément uN 2 A tel que " < uN ( ). Puisque (un) est croissante, pour tout n N , on a " < uN
un( ). On en déduit que (un) converge vers.
(ii) Supposons désormais que (un) n’est pas majorée et montrons qu’elle tend vers + 1.
Soit M 2 R ; puisque M n’est pas un majorant de A, il existe uN 2 E tel que uN > M. Puisque (un) est croissante, pour tout n N , on M < uN un. Ainsi, (un) tend vers
Preuve.
Remarque. De même, si (un)n 2 N est décroissante, alors on a deux comportements :
(i) Si (un)n 2 N est minorée, alors (un)n 2 N est convergente et converge vers ` = inf{un, n 2 N}.
(ii) Si (un)n 2 N n’est pas minorée, alors (un)n 2 N est divergente et tend vers 1.
Test 12. Soit la suite (un) définie par un =
Pn k=
k!
a) Montrer que (un) est croissante.
b) Montrer que, pour tout k 1 ,
1 k! ^
1 2 k ^1.
c) En déduire que (un) est majorée, puis conclure.
Corrigé.
a) La suite (un) est croissante car un+1 = un +
1 (n+1)!.
b) Pour tout k 1 , on a k! 2 k ^1 donc (^) k^1! (^21) k.
c) On a donc un
X^ n
k=
2 k ^1
X^ n ^1
k=
2 k^
1 2 n 1
1 2
Ainsi, (un) est majorée, donc converge.
VI. Suites récurrentes du type un+1 = f (un)
Soit I un intervalle de R et f : I! R une fonction réelle. On s’intéresse ici à l’étude des
suites définies par une récurrence du type un+1 = f (un), avec u 0 2 I. Nous utiliserons les
notions suivantes :
On dit que I est stable par f si f (I) ⇢ I, c’est à dire si, pour tout x 2 I, f (x) 2 I.
Définition.
Les solutions de l’équation f (x) = x sont appelées les points fixes de f.
Définition.
Les propriétés suivantes seront utilisées :
(H1) I est stable par f.
permet de montrer que (un)n 2 N est bien définie et que, pour tout n 2 N, un 2 I.
(H2) f est croissante.
permet de montrer que (un) est monotone en distinguant les cas :
- Si u 0 < u 1 , (un)n 2 N est croissante
- Si u 0 > u 1 , (un)n 2 N est décroissante
- Si u 1 = u 0 , alors (un)n 2 N est constante.
(H3) f est continue.
permet d’étudier la convergence de la suite (un)n 2 N :
- si f ne possède pas de points fixes, on vérifie que (un) diverge.
- si f possède un point fixe unique, et que (un) converge, alors c’est forcément vers ce
point fixe.
- On étudie la fonction f , puis on la trace (éventuellement avec la calculatrice) ainsi que la première bissectrice d’équation y = x. On représente graphiquement les premiers termes
de la suite, ce qui permet de faire des conjectures sur son comportement. Il faut ensuite les montrer rigoureusement.
On résout l’équation f (x) = x.
On détermine graphiquement l’intervalle I à considérer et on montre qu’il est stable par f. On montre ensuite par récurrence que la suite (un) est bien définie.
On étudie si besoin le signe de f (x) x.
On démontre que la suite est monotone (par récurrence en utilisant le fait que f est croissante).
On étudie rigoureusement la convergence de la suite.
Méthode. Étude des suites récurrentes
Exemple. Étudions la suite définie par un+1 =
p 1 + un pour différentes valeurs de u 0 1.
Ici, on a un+1 = f (un) avec f : [ 1 , + 1 [! R définie par f (x) =
p x + 1. On note ↵ l’unique
réel tel que ↵ =
p 1 + ↵.
Correction Voici la représentation graphique de la suite :
u 0 2 [ 1; ↵[
u 0 0 u 1 u 2 u 3
u 0 > ↵
0 u 2 u 1 u 0
On distingue les différentes étapes :
- On étudie d’abord la fonction f (dérivabilité, dérivée, monotonie). Graphiquement, il appa-
rait que l’équation
p 1 + x = x admet une unique solution notée ↵. La suite (un)n 2 N semble
croissante dans le premier cas, décroissante dans le second cas, constante si un = ↵. On conjecture que (un) converge vers ↵ dans tous les cas.
Il faut ensuite le prouver rigoureusement ; On le fait dans le cas où u 0 > ↵.
- On démontre que l’équation
p 1 + x = x admet une unique solution notée ↵.
- On pose I = [↵, + 1 [ qui est stable par f d’après l’étude de f. Montrons alors par récurrence
que la propriété Hn : ”un 2 I” est vraie pour tout n 2 N. Initialisation : pour n = 0, on a bien u 0 2 I, donc H 0 est vraie.
Hérédité : soit n 2 N tel que Hn est vraie et montrons que Hn+1 est vraie. Puisque un 2 I, on a un+1 = f (un) 2 I car I est stable par f. Ainsi, Hn+1 est vraie.
D’après le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n 2 N, on a un 2 I.
On vérifie que la fonction x 7! f (x) x est positive sur [ 1 , ↵] et négative sur [↵, + 1 [.
Le point précédent implique que u 1 u 0. Montrons alors par récurrence que (un) est dé-
croissante, c’est à dire que la propriété Hn : ”un+1 un” est vraie pour tout n 2 N. Initialisation : pour n = 0, on a bien u 1 u 0 , donc H 0 est vraie. Hérédité : soit n 2 N tel que Hn est vraie et montrons que Hn+1 est vraie. On a ainsi, puisque
f est croissante, un+2 = f (un+1) f (un) = un+1, donc Hn+1 est vraie. D’après le principe de récurrence, on déduit que, pour tout n 2 N, un+1 un.
- La suite (un) est décroissante et minorée par ` donc elle converge vers une limite notée l.
Puisque (un+1) est une suite extraite de (un), un+1! l. De plus, puisque f est continue,
on a f (x)! f (l) quand x! l et donc, d’après le théorème de composition des limites, f (un)! f (l) = l. On déduit par passage à la limite dans l’égalité un+1 = f (un) que l = f (l), c’est à dire que l est un point fixe. Par conséquent l = ↵ et un! ↵.
VII. Étude des suites complexes
1) Généralités
Une suite complexe est une application u : N! C, n 7! un = xn + iyn, notée (un)n 2 N.
Définition.
Exemples. Les suites (un)n 2 N et (vn)n 2 N définies pour tout entier n par un = n + i et vn =
(1 + i)n^ sont des suites complexes.
Pour toute suite complexe (un)n 2 N, on définit les quatre suites (Re(un))n 2 N = (xn), (Im(un))n 2 N =
(yn), (|un|)n 2 N et (un)n 2 N dont les termes sont respectivement les parties réelles, parties imagi-
naires, conjugués et module des termes de la suite (un)n 2 N.
Test 14. Soit (un)n 2 N la suite définie pour tout entier n par un = n + i. Déterminer le terme
général des quatre suites (Re(un))n 2 N, (Im(un))n 2 N, (|un|)n 2 N et (un)n 2 N.
Corrigé. On a Re(un) = n, Im(un) = 1, |un| =
p n^2 + 1 et un = n i.
Puisqu’il n’y a pas d’ordre naturel dans C, les notions de suites croissantes et décroissantes
n’ont plus de sens pour les suites complexes, ainsi que les notions de suites minorées et majorées.
Néanmoins, les notions de suite constante et périodique persistent, ainsi que de suite bornée :
