Télécharge Revisions maths terminale et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement!
PPPE1 mars 2023
Dénombrement – Corrigés des exercices de révision
Exerice 1. On considère l’ensemble E = { a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h } et les parties A = { a ; b ; e ; f } et B = { a ; c ; d ; f ; h } de E.
1. Déterminer A ∩ B , A ∪ B , A , B , A ∪ B A ∩ B , A ∩ B et A ∩ B. 2. Déterminer le cardinale de E , de A , de B , de A ∩ B et de A ∪ B. 3. Déterminer le nombre de parties de E. 4. Déterminer le nombre de parties de B et les écrire toutes. Solution. 1. A ∩ B = { a ; f }, A ∪ B = { a ; b ; c ; d ; e ; f ; h }, A = { c ; d ; g ; h }, B = { b ; e ; g }, A ∪ B = { g }, A ∩ B = { b ; c ; d ; e ; g ; h } et, d’après les lois de de Morgan, A ∩ B = A ∪ B = { a ; c ; d ; f ; g ; h }. 2. Card( E ) = 8, Card( A ) = 4, Card( B ) = 5, Card( A ∩ B ) = 2 et Card( A ∪ B ) = 7. 3. Comme Card( E ) = 8, le nombre de parties de E est 28 = 256. 4. Comme Card( B ) = 5, le nombre de parties de B est 25 = 32. Ces parties sont ∅, { a }, { c }, { d }, { f }, { h }, { a ; c }, { a ; d } { a ; f }, { a ; h }, { c ; d }, { c ; f }, { c ; h }, { d ; f }, { d ; h }, { f ; h }, { a ; c ; d }, { a ; c ; f }, { a ; c ; h }, { a ; d ; f }, { a ; d ; h }, { a ; f ; h }, { c ; d ; f }, { c ; d ; h }, { c ; f ; h } { d ; f ; h }, { a ; c ; d ; f }, { a ; c ; d ; h }, { a ; c ; f ; h } { a ; d ; f ; h }, { c ; d ; f ; h } et B.
Exerice 2. Dans un groupe de 40 personnes, 8 parlent russe, 15 parlent anglais et 9 parlent allemand. De plus, parmi elles, 4 parlent anglais et allemand, 5 parlent anglais et russe, 2 parlent allemand et russe et 2 parlent les 3 langues.
1. Représenter la situation par un diagramme de Venn. 2. Déterminer le nombre de personnes ne parlant ni russe, ni anglais, ni allemand. Solution. 1. L’énoncé est un peu ambigu concernant les personnes parlant plusieurs langues : il faut comprendre que celles qui parlent 2 langues peuvent aussi en parler une troisième. Ainsi, il y a 4 − 2 = 2 personnes qui parlent uniquement anglais et allemand, 5 − 2 = 3 personnes qui parlent uniquement anglais et russe et aucune qui parlent uniquement allemand et russe. Anisi, 15 − 2 − 3 − 2 = 8 personnes qui parlent uniquement anglais, 9 − 2 − 0 − 2 = 4 personnes qui parlent uniquement allemand et 8 − 3 − 0 − 2 = 3 qui parlent uniquement russe. On peut représenter la situation par le diagramme de Venn ci-dessous sur lequel sont représentés en rouge les personnes parlant russe, en bleu les personnes parlant anglais et en vert les personnes parlant alemand.
2. On en déduit qu’il y a 3 + 3 + 2 + 8 + 2 + 5 = 23 personnes parlant l’une des 3 langues donc il y a 40 − 23 = 17 personnes ne parlant aucun des trois langues.
Exerice 3. Lors d’un enquête de satisfaction sur un produit, 18 personnes ont répondu aux questions suivantes :
- Avez-vous aimé le produit que vous avez testé?
- L’achèteriez-vous? Dix personnes ont répondu « oui » à la première question, treize personnes ont répondu « non » à la seconde question et huit personnes ont répondu « non » aux deux questions. 1. Représenter la situation par un tableau. 2. Combien de personnes ont répondu « oui » aux deux questions? Solution. 1. On peut représenter la situation par le tableau suivant :
a aimé n’a pas aimé Total achèterait 5 0 5 n’achèterait pas 5 8 13 Total 10 8 18
2. Ainsi, 5 personnes ont répondu « OUI » aux deux questions.
Exerice 4. À l’aide d’un arbre, déterminer tous les anagrammes de « OUI » possibles. Combien y en a-t-il?
Solution.
I
U O IUO
O U IOU
U
I O UIO
O I UOI
O
I U OIU
U I OUI
Ainsi, le mot « OUI » possède 6 anagrammmes qui sont OUI, OIU, UOI, UIO, IOU et IUO.
Exerice 5. Un jury est composé de 10 personnes choisies parmi 9 hommes et 11 femmes.
1. Combien peut-on former de jurys différents? 2. Combien peut-on former de jurys composés exclusivement de femmes? 3. Combien peut-on former de jurys paritaires (c’est-à-dire composés d’autant d’hommes que de femmes)? 4. Combien peut-on former de jurys comportant 1 seul homme ou 1 seule femme?
Solution.
1. Il y a 8! = 40 320 codes possibles. 2. a. Il y a 7! = 5 040 codes commençant par ♦. b. Il y a 6! = 720 codes commençant par ♦ et finissant par ∞.
Exerice 9. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot REMETTRE. Solution. Pour déterminer une anagramme du mot REMETTRE, on peut :
- choisir la place des 3 E ; il y a
( 8 3
)
8 × 7 × 6 × 5!
3 × 2 × 1 × 5!
= 56 choix ;
- choisir la place des 2 R parmi les 5 places restantes : il y a
( 5 2
)
5 × 4
= 10 choix ;
- choisir la place des 2 T parmi les 3 places restantes : il y a
( 3 2
)
3 × 2
= 3 choix ;
- il n’y a plus qu’une seule place possible pour la lettre M.
Ainsi, le nombre d’anagramme du mot REMETTRE est 56 × 10 × 3 = 1 680.
Exerice 10. La gamme de Do comprend les notes Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La et Si. Un accord est un ensemble de notes jouées simultanément.
1. Combien existe-t-il d’accords de 2 notes? 2. Combien existe-t-il d’accords de 3 notes? 3. Combien existe-t-il d’accords de 3 notes qui contiennent le Do?
Solution.
1. Il y a
( 7 2
)
7 × 6
= 21 accords à 2 notes.
2. Il y a
( 7 3
)
7 × 6 × 5 × 4!
3 × 2 × 1 × 4!
= 35 accords à 3 notes.
3. Si l’accord contient le Do, il ne reste plus que 2 autres notes à choisir. Il y a donc( 6 2
)
6 × 5
= 15 accords à 3 notes qui contiennent un Do.
Exerice 11. Combien y a-t-il de nombres à 6 chiffres qui contiennent exactement 2 fois le chiffre 5? Solution. Comme le premier chiffre d’un nombre à 6 chiffres ne peut pas être 0, il faut distinguer 2 cas. Si le premier chiffre du nombre est 5, il faut choisir la place l’autre 5 : il y a 5 choix puis choisir les 4 autres nombres différents de 5 : il y a 94 = 6 561 choix. Ainsi, il y a 5 × 6 561 = 32 805 nombres a 6 chiffres commençant par 5 et contenant exactement deux 5. Sinon, pour déterminer un tel nombre, on peut :
- choisir la place des 2 chiffres 5 : il y a
( 5 2
)
5 × 4
= 10 possibilités ;
- choisir les 4 autres nombres différents (et le premier différent de 0 ) : il y a 8 × 93 = 5 832 possibilités.
Ainsi, il y a 10 × 5 832 = 58 320 nombres à 6 chiffres contenant deux 5 et ne commençant pas par 5. Finalement, on conclut qu’il y a 32 805 + 58 320 = 91 125 nombres à 6 chiffres contenant exactement deux 5.
Exerice 12. On dispose dans un sac 8 boules : 3 noires, 2 rouges et 3 vertes.
1. On tire simultanément 3 boules du sac. a. Combien y a-t-il de tirages possibles? b. Combien de tirages comportent exactement 2 boules noires? c. Combien de tirages comportant au moins 1 boule noire? 2. On tire simultanément deux boules du sac. Combien de tirages comportent 2 boules de la même couleur? **Solution.
- a.** Il y a
( 8 3
)
8 × 7 × 6 × 5!
3 × 2 × 1 × 5!
= 56 tirages possibles.
b. Il y a
( 3 2
) ×
( 5 1
) = 3 × 5 = 15 tirages qui contiennent exactement deux boules noires.
c. Il y a
( 5 3
)
( 5 2
)
5 × 4
= 10 tirages qui ne contiennent pas de boules noires donc il y a 56 − 10 = 46 tirages qui contiennent au moins une boule noire.
2. Il y a
( 3 2
) = 3 tirages qui contiennent 2 boules noires,
( 2 2
) = 1 tirages qui contiennent 2
boules rouges et
( 3 2
) = 3 tirages qui contiennent 2 boules vertes. Ainsi, il y a 3 + 1 + 3 = 7 tirages qui contiennent deux boules de la même couleur.
Exerice 13. On a placé dans une urne opaque cinq jetons noirs, trois jetons blancs et un jeton rouge indiscernables au toucher.
1. On tire un jeton de l’urne, on le remet dans l’urne et on en tire un second. a. Combien y a-t-il de tirages possibles? b. Combien de tirages comportent un jeton rouge? c. Combien de tirages ne comportent que des jetons blancs? 2. On tire un jeton puis un second sans remettre le premier. a. Combien y a-t-il de tirages possibles? b. Combien de tirages comportent un jeton rouge? c. Combien de tirages ne comportent que des jetons blancs? 3. On tire 2 jetons simultanément dans l’urne. a. Combien y a-t-il de tirages possibles? b. Combien de tirages comportent un jeton rouge? c. Combien de tirages ne comportent que des jetons blancs? **Solution.
- a.** Il y a 92 = 81 tirages possibles. b. Il y a 82 = 64 tirages qui ne comportent pas de jetons rouges donc il y a 81 − 64 = 17 tirages qui comportent un jeton rouge. c. Il y a 32 = 9 tirages qui ne comportant que des jetons blancs. 2. a. Il y a 9 × 8 = 72 tirages possibles. b. Il y a 8 ×7 = 56 tirages qui ne comportent pas de jetons rouges donc il y a 72 −56 = 16 tirages qui comportent un jeton rouge.
