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CONCOURS COMMUN 2009
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Mathématiques
(toutes filières)
Problème I : Algèbre et géométrie
A. Etude de deux applications
- Soit P ∈ R 2 [X]. Posons P = aX
2
3 .
f(P) =
[(
a
X
2
X
a
(X + 1 )
2
X + 1
)]
a
X
2
a
b
X +
a
b
et donc f(P) ∈ R 2 [X]. Ainsi, f est bien à valeurs dans R 2 [X].
Soient (P, Q) ∈ (R 2 [X]) 2 et (λ, μ) ∈ R 2 .
f(λP + μQ) =
[
(λP + μQ)
X
X + 1
)]
= λ ×
[
P
X
+ P
X + 1
)]
[
Q
X
+ Q
X + 1
)]
= λf(P) + μf(Q),
et donc, f est linéaire.
f ∈ L (R 2 [X]).
- Soient (P, Q) ∈ (R 2 [X]) 2 et (λ, μ) ∈ R 2 .
ϕ(λP + μQ) = (λP + μQ)( 1 ) = λP( 1 ) + μQ( 1 ) = λϕ(P) + μϕ(Q).
et donc, ϕ est linéaire.
ϕ ∈ L (R 2 [X], R).
- Le calcul de la question 1. fournit en particulier f( 1 ) = 1 , f(X) =
X
et f(X
2 ) =
X
X
2
. Par suite,
MatBf =
- La matrice de l’endomorphisme f dans la base B est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous non nuls. Par
suite, cette matrice est inversible et on en déduit que
f ∈ G L (R 2 [X]).
- Soit P = aX 2 + bX + c, (a, b, c) ∈ R 3 . P ∈ Ker(ϕ) ⇔ a + b + c = 0 ⇔ c = −a − b. Donc
Ker(ϕ) = {aX 2
- bX − a − b, (a, b) ∈ R 2 } = {a(X 2 − 1 ) + b(X − 1 ), (a, b) ∈ R 2 } = Vect(X − 1, X 2 − 1 ).
Ainsi, la famille (X − 1, X
2 − 1 ) est génératrice de Ker(ϕ). De plus, les polynômes X − 1 et X
2 − 1 n’ont pas le même degré
et par suite, la famille (X − 1, X
2 − 1 ) est libre. Cette famille est donc une base de Ker(ϕ).
Une base de Ker(ϕ) est (X − 1, X
2 − 1 ) et dim(Ker(ϕ)) = 2.
- Puisque Ker(ϕ) 6 = { 0 }, ϕ n’est pas injective.
Im(ϕ) est un sous-espace vectoriel de R et donc soit { 0 }, soit R. Le théorème du rang fournit
dim(Im(ϕ)) = dim(R 2 [X]) − dim(Ker(ϕ)) = 3 − 2 = 1
et donc Im(ϕ) = R. On en déduit que ϕ est surjective.
ϕ est surjective et non injective.
B. Calcul des puissances successives d’une matrice
- Les trois polynômes 1 , −2X + 1 et 6X
2 − 6X + 1 sont trois éléments de R 2 [X] de degrés deux à deux distincts. La famille
B
′ est donc une famille libre de R 2 [X]. Comme de plus card(B
′ ) = 3 = dim(R 2 [X]) < +∞, la famille B
′ est une base de
R 2 [X].
B
′ est une base de R 2 [X].
Q =
- Q est inversible car Q est une matrice de passage d’une base à une autre. Son inverse Q − 1 est la matrice de passage de
la base B ′ à la base B.
Posons P 0 = 1 , P 1 = 1 − 2X et P 2 = 1 − 6X + 6X 2 .
P 0 = 1
P 1 = 1 − 2X
P 2 = 1 − 6X + 6X
2
1 = P 0
X =
(P 0 − P 1 )
P 2 = P 0 − 3 (P 0 − P 1 ) + 6X
2
1 = P 0
X =
(P 0 − P 1 )
X
2
(2P 0 − 3P 1 + P 2 )
Q
− 1
- D’après le calcul de la question 1., f(P 0 ) = P 0 puis f(P 1 ) = −X −
(−2X + 1 ) =
P 1 et enfin
f(P 2 ) =
X
2
X +
X
2 −
X +
(6X
2 − 6X + 1 ) =
P 2.
Donc,
MatB ′^ (f) = diag
f
n+ 1 (P) = f
n
2 n − 1 ∑
k= 0
P
X + k
n
[
n
2 n − 1 ∑
k= 0
P
(X + k)/
n
n
2 n − 1 ∑
k= 0
P
1 + (X + k)/
n
]
n+ 1
[
2 n − 1 ∑
k= 0
P
X + k
n+ 1
2 n − 1 ∑
k= 0
P
X + k + 2 n
n+ 1
]
n+ 1
[
2 n − 1 ∑
k= 0
P
X + k
n+ 1
2 n
k= 2 n
P
X + k
n+ 1
]
n+ 1
2 n+ 1 − 1 ∑
k= 0
P
X + k
n+ 1
On a montré par récurrence que
∀P ∈ R 2 [X], ∀n ∈ N, f
n (P) =
n
2 n − 1 ∑
k= 0
P
X + k
n
- Soit P ∈ R 2 [X]. D’après la question précédente, ϕ(f
n (P)) =
n
2 n − 1 ∑
k= 0
P
k + 1
n
n
2 n ∑
k= 1
P
k
n
Soit n ∈ N. Pour k ∈ J0, 2 n K, posons xk =
k
n
. (xk) 06 k 62 n est une subdivision de l’intervalle [0, 1] à pas constant égal à
n
. Quand n tend vers +∞, le pas tend vers 0 et, puisque la fonction P est continue sur [0, 1], la somme de Riemann
n
2 n ∑
k= 1
P
k
n
2 n ∑
k= 1
(xk − xk− 1 )P(xk) tend vers
0
P(t) dt quand n tend vers +∞. On retrouve donc le résultat de la
question 13.
D. Etude d’une famille de sphères et d’une famille de droites
- Soit m ∈ R. Soit (x, y, z) ∈ R
3 .
M(x, y, z) ∈ Sm ⇔ x
2
2
2 − 2mz
2 + m
2 − 2 = 0
⇔ x
2
2
2 = m
2
Puisque m
2
- 2 > 0, Sm est la sphère de centre Ωm(0, 0, m
2 ) et de rayon Rm =
m 2
∀m ∈ R, Sm est la sphère de centre Ωm(0, 0, m
2 ) et de rayon Rm =
m 2
- Soit (x, y, z) ∈ R
3
M(x, y, z) ∈ P ∩ E ⇔
y = 0
x 2 = z 2
y = 0
x 2
2
z 2
2
Ainsi, une équation de G dans le repère (O,
i ,
k ) est
x
2
2
z
2
2
= 1. G est une hyperbole. Une équation de ses
asymptotes est
x
2
2
z
2
2
= 0 ou encore z = ±x.
G est une hyperbole. Ses asymptotes sont les droites d’équations respectives
z = x
y = 0
et
z = −x
y = 0
z
x
G
z
x
z (^) = −
x
- Avec les notations usuelles, on a a =
2 et b =
- Par suite c =
a^2 + b^2 = 2 et les foyers de G sont les points
F(2, 0) et F
′ (−2, 0) dans (xOz) ou encore F(2, 0, 0) et F
′ (−2, 0, 0) dans R. Ensuite, e =
c
a
G est une hyperbole de foyers F(2, 0, 0)R et F
′ (−2, 0, 0)R et d’excentricité e =
- Soit m ∈ R. Un système d’équation paramétriques de (Dθ) est
x =
2 sin θ + λ cos θ
y = −
2 cos θ + λ sin θ
z = λ
, λ ∈ R. Un repère de (Dθ)
est donc (Aθ,
u (^) θ) où Aθ(
2 sin θ, −
2 cos θ, 0) et
u (^) θ(cos θ, sin θ, 1).
∀θ ∈ R, (Dθ) est la droite passant parle point Aθ(
2 sin θ, −
2 cos θ, 0) et de vecteur directeur
u (^) θ(cos θ, sin θ, 1).
- Soit (m, θ) ∈ R 2 . Calculons la distance de la droite (Dθ) au centre Ωm de la sphère Sm. On sait que
d(Ωm, (Dθ)) =
AθΩm ∧
u (^) θ‖
u (^) θ‖
AθΩm ∧
u (^) θ‖.
Ensuite,
AθΩm ∧
u (^) θ =
2 sin θ √ 2 cos θ
m
cos θ
sin θ
1
cos θ − m sin θ
sin θ − m cos θ
− 1
puis
AθΩm ∧
u (^) θ‖ =
(cos θ − m sin θ) 2
1 + m 2
m 2
et donc
d(Ωm, (Dθ)) =
×
m 2
m 2
Puisque d(Ωm, (Dθ)) = Rm, on sait que la droite (Dθ) est tangente à la sphère Sm.
∀θ ∈ R, ∀m ∈ R, la droite (Dθ) est tangente à la sphère Sm.
Problème II : Analyse
A. Étude d’une fonction
- Pour x ∈ R
∗ , −x ∈ R
∗ et f(−x) = (−x) sh
x
= x sh
x
= f(x).
f est paire.
- (a) On sait que sh x ∼ x→ 0
x et donc quand x tend vers +∞ ou −∞, f(x) = x sh
x
∼ x ×
x
lim x→+∞
f(x) = lim x→−∞
f(x) = 1.
(b) Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures,
x
tend vers +∞ et donc sh
x
e
1/x
. Mais alors, d’après un
théorème de croissances comparées,
lim x→ 0 +^
f(x) = lim x→ 0 +
xe
1/x = lim X→+∞
×
e
X
X
f étant paire, on a aussi lim x→ 0 −^
f(x) = +∞ et finalement
lim x→ 0
f(x) = +∞.
- La fonction x 7 →
x
est dérivable sur R
∗ à valeurs dans R et la fonction y 7 → sh y est dérivable sur R. Donc la fonction
x 7 → sh
x
est dérivable sur R
∗
. On en déduit que f est dérivable sur R
∗ en tant que produit de fonctions dérivables sur
R
∗
. De plus, pour x 6 = 0
f
′ (x) = sh
x
x 2
ch
x
= sh
x
x
ch
x
[
th
x
x
]
ch
x
(car la fonction ch ne s’annule pas sur R).
f est dérivable sur R
∗ et ∀x ∈ R
∗ , f
′ (x) =
[
th
x
x
]
ch
x
- Soit X > 0. La fonction th est continue sur [0, X] et dérivable sur ]0, X[. D’après le théorème des accroissements finis, il
existe c ∈]0, X[ tel que
th X
X
th X − th 0
X − 0
= th
′ (c) = 1 − th
2 (c) < 1 car c > 0,
et on en déduit th X < X.
∀X ∈ R
∗ +, th^ X < X.
- Soit x > 0. D’après la question précédente th
x
x
< 0. Comme de plus ch
x
> 0, on a f ′ (x) > 0. La fonction
f ′ est donc strictement négative sur ]0, +∞[ et la fonction f est strictement décroissante sur ]0, +∞[. f étant paire, f est
strictement croissante sur ] − ∞, 0[.
Tableau de variations de f.
x −∞ 0 +∞
f ′ (x) + −
+∞ +∞
f
1 1
- Quand X tend vers 0
sh X
X
X
X +
X
3
X
5
5 )
X
2
X
4
4 ).
- Quand x tend vers +∞ ou −∞, X =
x
tend vers 0. D’après la question précédente, on a donc
Quand tend vers +∞ ou −∞, f(x) = 1 +
6x 2
120x 4
x 4
- Notons F la fonction définie sur R
∗ par ∀x ∈ R
∗ , F(x) = f
x
. F est déjà dérivable sur R
∗
. D’après la question
précédente, quand x tend vers 0 , F(x) = 1 + o(x) = 1 + 0x + o(x). Donc F se prolonge par continuité en 0 en posant
F( 0 ) = 1 , puis en notant encore F le prolongement, F admet en 0 un développement limité d’ordre 1 et est donc dérivable
en 0 (avec F ′ ( 0 ) = 0 ). F est donc dérivable sur R.
B. Tracé d’une courbe paramétrée
- • x est la fonction f et son étude a été effectuée en A.
- La fonction y est dérivable sur R
∗ et pour t ∈ R
∗ ,
y
′ (t) =
t
e
1/t
t − 1
t
e
1/t .
La fonction y est donc strictement croissante sur ] − ∞, 0[ et sur [1, +∞[ et strictement décroissante sur ]0, 1].
- Quand t tend vers +∞ ou −∞,
t
tend vers 0 et donc e
1/t tend vers 1 puis y(t) ∼ t. Par suite, lim t→−∞
y(t) = −∞ et
lim t→+∞
y(t) = +∞.
- Quand t tend vers 0 par valeurs inférieures,
t
tend vers −∞, puis e
1/t tend vers 0 et donc y(t) tend vers 0. Quand t tend
vers 0 par valeurs supérieures,
t
tend vers +∞ puis y(t) tend vers +∞ d’après un théorème de croissances comparées.
- Tableau de variations conjointes des fonctions x et y.
t −∞ 0 1 +∞
x
′ (t) + − −
+∞ +∞
x sh 1
1 1
0 +∞ +∞
y
−∞ e
y ′ (t) + − 0 +
- • Quand t tend vers +∞ ou −∞, Γ admet la droite d’équation x = 1 pour droite asymptote.
- Quand t tend vers 0 par valeurs inférieures, Γ admet la droite d’équation y = 0 pour droite asymptote.
- Quand t tend vers 0 par valeurs supérieures, x(t) et y(t) tendent vers +∞. Ensuite,
y(t)
x(t)
e 1/t
sh
t
e 1/t
e 1/t /
= 2 puis
y(t) − 2x(t) =
t
(e 1/t − e 1/t
te
−1/t
Cette dernière expression tend vers 0 quand t tend vers 0 par valeurs supérieures et donc la droite (D) d’équation y = 2x
est asymptote à Γ quand t tend vers 0. De plus, y(t) − 2x(t) est strictement négatif sur ] − ∞, 0[ et strictement positif sur
]0, +∞[. On en déduit que Γ est strictement au-dessous de (D) quand t décrit ] − ∞, 0[ et strictement au-dessus quand t
décrit ]0, +∞[.
S]0,+∞[ =
x 7 →
sh(x) + C
x
, C ∈ R
- Les calculs précédents restent valables à l’identique sur ] − ∞, 0[ et donc
S]−∞,0[ =
x 7 →
sh(x) + C
x
, C ∈ R
- Soit f une éventuelle solution sur R. Nécessairement, il existe (C 1 , C 2 ) ∈ R
2 tel que ∀x ∈ R, f(x) =
sh(x) + C 1
x
si x < 0
1 si x = 0
sh(x) + C 2
x
si x > 0
Réciproquement, soit f une telle fonction. f est solution de (E) sur ] − ∞, 0[, sur ]0, +∞[ et, si f est dérivable en 0 , f vérifie
encore l’égalité (E) pour x = 0. En résumé, f est solution de (E) sur R si et seulement si f est dérivable en 0.
Mais si C 1 6 = 0 ou C 2 6 = 0 , f n’a pas de limite réelle en 0 et n’est donc pas solution. Il ne reste que le cas où C 1 = C 2 = 0
qui fournit la fonction F de la question 8. Comme F est dérivable en 0 , F est solution de (E) sur R.
SR = {F} où ∀x ∈ R, F(x) =
sh(x)
x
si x 6 = 0
1 si x = 0
D. Etude d’une suite
- Soit n ∈ N
∗
. La fonction f est continue et strictement décroissante sur ]0, +∞[ et donc bijective de ]0, +∞[ sur
] lim x→+∞
f(x), lim x→ 0 +^
f(x)[=]1, +∞[. Comme
n + 1
n
n
> 1, le réel
n + 1
n
admet un antécédent et un seul par f dans
]0, +∞[ ou encore ∃!un ∈]0, +∞[/ f(un) =
n + 1
n
∀n ∈ N
∗ , ∃!un ∈]0, +∞[/ f(un) =
n + 1
n
- Soit n ∈ N ∗ . On a un = f − 1
n + 1
n
. Mais la fonction f − 1 a le même sens de variation sur ]1, +∞[ que la fonction f
sur ]0, +∞[. La fonction f − 1 est donc strictement décroissante sur ]1, +∞[. On en déduit que la suite (un) a un sens de
variation contraire au sens de variation de la suite
n + 1
n
. Or
n + 2
n + 1
n + 1
n
n(n + 1 )
On en déduit que la suite
n + 1
n
n∈N∗
est décroissante et donc que
la suite (un)n∈N∗ est croissante.
- Puisque la suite (un)n∈N∗ est croissante, la suite (un)n∈N∗ admet une limite dans ] − ∞, +∞]. De plus,
lim n→+∞
un = lim n→+∞
f
− 1
n + 1
n
= lim x→ 1 +^
f
− 1 (x) = +∞ (car lim y→+∞
f(y) = 1 ).
lim n→+∞
un = +∞.
- D’après la question 7., puisque lim n→+∞
un = +∞,
n
= f(un) = n→+∞
6u^2 n
u^2 n
et donc
n
n→+∞
6u 2 n
u 2 n
ou encore
n
n→+∞
6u 2 n
. On en déduit que 6u
2 n ∼ n→+∞
n puis un =
u 2 n ∼ n→+∞
n
un ∼ n→+∞
n
C. Une fonction définie par une intégrale
- Soit x ∈ R.
2 ch(x) sh(x) = 2
e
x
−x
e
x − e
−x
(e
2x − e
−2x ) = sh(2x).
∀x ∈ R, sh(2x) = 2 ch(x) sh(x).
- La fonction f est continue sur ]0, +∞[ et admet donc des primitives sur cet intervalle. Soit g une primitive de la
fonction f sur ]0, +∞[. Pour x > 0, J(x) = g(x) − g
x
. Par suite, J est dérivable sur ]0, +∞[ et pour x > 0
J
′ (x) = f(x) −
f
x
= f(x) −
×
x
sh
x
= f(x) −
× x ch
x
sh
x
= f(x) −
f(x) ch
x
= f(x)
[
ch
x
)]
J est dérivable sur ]0, +∞[ et ∀x > 0, J ′ (x) = f(x)
[
ch
x
)]
- La fonction f est strictement positive sur ]0, +∞[. Donc pour x > 0, f
′ (x) a le signe de 1 −
ch
x
. Or, pour x > 0,
ch
x
> 0 ⇔ ch
x
x
< argch( 2 ) ⇔
x
< ln( 2 +
3 ) ⇔ x >
ln( 2 +
(0n sait que pour tout x > 1 , argch(x) = ln(x +
x 2 − 1 ). Redémontrons le.
Pour tout X ∈ R, on a e
X = ch(X)+sh(X) puis pour X > 0 , sh(X) =
ch
2 (X) − 1. En appliquant à X = argch(x), on obtient
e
argch(x) = ch(argch(x)) + sh(argch(x)) = x +
ch
2 (argch(x)) − 1 = x +
x 2 − 1 et donc argch(x) = ln(x +
x 2 − 1 ).)
- On en déduit le tableau de variations de la fonction J.
x 0
1 ln( 2 +
√ 3 )
J
′ (x) − 0 +
+∞ +∞
J
J
1 ln( 2 +
√ 3 )
- Graphe de J.
b
y
x/
y
J
(x
