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CONCOURS COMMUN SUP 2003 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
CONCOURS COMMUN 2003
DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Instructions générales :
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4.
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou
mal présentées seront pénalisées.
Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres-
pondante.
L'emploi d'une calculatrice est interdit
Barème indicatif :
Premier problème environ 1/2 - Deuxième problème environ 1/
Premier problème
désigne l’ensemble des entiers naturels et le corps des nombres réels.
Dans tout le problème B désigne un réel strictement supérieur à 1.
On pose : 0
I( ) dx. 1 x
d
B ¨ B
L’objectif du problème est le calcul de l’intégrale I(B ).
On rappelle que pour a et b dans on a les formules :
cos(a)cos(b) cos(a b cos(a b)). 2
sin(a)cos(b) sin(a b sin(a b)). 2
a b a b sin(a) sin(b) 2 sin cos. 2 2
Épreuve spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)
Jeudi 22 mai 2003 de 8h00 à 12h
CONCOURS COMMUN SUP 2003 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
+3WGNSWGUTÃUWNVCVURTÃNKOKPCKTGU
Pour x dans et pour n dans ` on pose :
n
n k 1
f (x) cos(kx).
(^)
Pour x > 0,Q >et pour n dans ` on pose : (^) n
x sin (2n 1) 2 g (x). x sin 2
- Etablir la formule : > > (^) n n
x 0, , f (x) g (x). 2 2
Q
On pourra, pour ce faire, sintéresser à la quantité (^) n
x sin f (x). 2
- a) En déduire que gn est prolongeable en une application continue sur <^ 0, Q>.
On note encore gn lapplication ainsi prolongée.
b) Pour n dans on pose : (^) n n 0
u g (x) dx.
Q ¨
Montrer que la suite (un) est constante et préciser sa valeur.
- Soit g : <^ 0, Q >l définie par : >^ >
x cos 1
x 0, , g(x) x sin 2
B
Q et g(0) 0.
a) Prouver que g est continue en 0.
b) Etablir lexistence et déterminer la valeur de x 0,x 0
lim g (x). l
a
c) Etablir que g est de classe C
1 sur < 0, Q >et préciser g (0).a
++'VWFGFŏWPGUWKVG
Pour n dans ` on pose : (^) n n 0
x X f (x)cos dx.
Q ¨ B
- Pour n dans ` on pose (^) n 0
x v g(x)sin (2n 1) dx. 2
Q ¨
Montrer quil existe A dans tel que : (^) n
A
n , v. 2n 1
` b
On pourra, pour ce faire, effectuer une intégration par parties.
- Etablir que : (^) n n
n , X sin v. 2 2 2
B Q Q
B
`
Montrer que la suite (Xn) est convergente et déterminer sa limite.
- Montrer que :
n k n k 1
n , X sin ( 1). 2 1 k 1 k
B Q ¯
B ¢ B B ±
`
+++&ÃVGTOKPCVKQPFGNCXCNGWTFG+ B
On adopte la notation
C
B
et pour t > 0,1>on pose :
1 t (t) 1 t
C
K et
t (t). 1 t
C
Z
- a) Justifier lexistence de I(B).
b) Montrer que les applications K et Z sont intégrables sur > 0,1 .>
Dans toute la suite on pose :
1
0
J( )C K(t) dt ¨
et
1
0
K( )C Z(t) dt. ¨
CONCOURS COMMUN SUP 2003 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
- a) Vérifier que U est une forme linéaire sur le -espace vectoriel M 2 ().
b) Soit A dans M 2 (). Exprimer T(A) à laide des matrices A, I et du complexe U(A).
++7PG CNIÂDTGEÃNÂDTG NŏCNIÂDTGFGUSWCVGTPKQPU
On notera bien, que dans toute cette partie, M 2 () est muni de sa structure de -algèbre.
A tout couple (z1,z 2 ) de nombres complexes on associe la matrice
1 2 1 2 2 1
z z
M(z , z ). z z
¡^ °
On désigne par H l’ensemble des matrices de M (^) 2() de la forme M(z , z ) 1 2 , le couple (z1,z 2 ) décrivant
2 .
- a) Montrer que toute matrice de H sécrit de manière unique sous la forme
BI CJ HK EL où B, C, H, E sont des réels.
b) En déduire que H est un sous espace vectoriel du -espace vectoriel M 2 ().
Préciser une base et la dimension du -espace vectoriel H.
c) Montrer que H est stable pour le produit matriciel.
d) Montrer que H est une -algèbre. La -algèbre H est-elle commutative?
- a) Vérifier que : A H , T(A) H et det(A) .
b) Montrer quune matrice non nulle de H est inversible et que son inverse est dans H.
c) Vérifier que H \ \ 0 ^,q est un groupe.
- Montrer que si deux entiers naturels peuvent tous deux sécrire comme une somme de quatre
carrés dentiers naturels alors il en est de même de leur produit.
On pourra exprimer 1 2
det(M(z , z )) comme une somme de quatre carrés de réels.
+++7PRTQFWKVUECNCKTGGVWPGRTQLGEVKQPQTVJQIQPCNG
Pour A et B dans H on pose :
A | B A (B) B (A).
U T T
- On considère A et B dans H.
a) Prouver que A | B . On pourra utiliser la question 5)a).
b) Montrer que A | A det(A).
c) Etablir que ¸ |¸ est un produit scalaire sur le -espace vectoriel H.
Vérifier que (I,J,K,L) est une base orthonormale de H.
On pose F \ A H | U(A) 0 ^.
a) Montrer que F est un hyperplan du -espace vectoriel H. En donner une base.
b) Montrer que : F (^) \ I , (^) ^.
? B B \
c) On désigne par Q la projection orthogonale sur F.
Montrer que :
A H , (A) A (A).
Q T
FIN DU SUJET
