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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 1999 \
Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats
1. Une urne U 1 contient deux jetons numérotés 1 et 2. Une urne U 2 contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposés équiprobables).
a. Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1? b. On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu’il pro- vienne de l’urne U 1?
2. On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables. a. Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques. b. Soit S la variable aléatoire, qui, à chaque tirage, associe la somme des nu- méros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de S. c. Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des nu- méros tirés est impaire, Claude donne 10 euros à Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit λ euros de Dominique. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algé- brique de Claude. Calculer l’espérance mathématique de X en fonction de λ , puis détermi- ner λ pour que le jeu soit équitable (c’est-à-dire pour que E ( X ) soit égale à 0).
Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le but de cet exercice est d’utiliser les solutions d’une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l’espace.
1. a. Déterminer un couple ( x 0 ; y 0 ) d’entiers relatifs solutions de l’équation :
48 x + 35 y = 1.
(On pourra utiliser l’algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres). b. Déduire de a. tous les couples d’entiers relatifs ( x ; y ) solutions de cette équation.
2. L’espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur
u de coordonnées (48 ; 35 ; 24) et le point A de coordonnées (−11 ; 35 ; −13). a. Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l’ ensemble (Π) des points M de l’espace, de coordonnées ( x ; y ; z ) tels que
u ·
AM = 0.
b. Soit (D) la droite intersection de (Π) avec le plan d’équation z = 16. Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à l’intervalle [−100 ; 100]. En déduire les coordonnées du point de ( D ), coordonnées entières, situé le plus près de l’origine.
Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
, A, A′, B, B′
sont les points d’affixes respectives 1, −1, i, −i. À tout point M d’affixe z , distinct des points O, A, A′, B et B′, on associe les points M 1 et M 2 d’affixes respectives z 1 et z 2 , tels que les triangles B M M 1 et A M M 2 soient rectangles et isocèles, avec (−−−→ M 1 B ,
M 1 M
M 2 M ,
M 2 A
π 2
Voir la figure sur l’annexe 1, qui sera complétée et rendue avec la copie
1. a. Justifier les égalités z − z 1 = i(i − z 1 ) et 1 − z 2 = i( z − z 2 ). b. Vérifier que z 1 et z 2 peuvent s’écrire :
z 1 =
1 + i 2
( z + 1) et z 2 =
1 − i 2
( z + i ).
2. On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle O M 1 M 2 est équilatéral. a. Montrer que : O M 1 = O M 2 équivaut à | z + 1 | = | z + i|. En déduire l’ensemble (∆) des points M tels que O M 1 = O M 2 et tracer (∆) sur la figure. b. Montrer que : O M 1 = M 1 M 2 équivaut | z + 1 |^2 = 2 | z |^2. c. En déduire l’ensemble (Γ) des points M du plan pour lesquels O M 1 = M 1 M 2. On pourra montrer que | z + 1 |^2 = 2 | z |^2 équivaut à | z − 1 |^2 = 2. Tracer (Γ) sur la figure. d. En déduire les deux points M pour lesquels O M 1 M 2 est un triangle équi- latéral et les placer sur la figure.
1. a. Montrer que lim x → 0
f ( x ) x
En déduire que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f ′(0).
b. Vérifier que, pour x strictement positif, f ′( x ) = g ( x ) x^2 (1 + x^2 ) Faire l’étude du sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. a. Montrer que, pour x > 1, 0 6 f ( x ) 6
ln(2 x^2 ) x
b. En déduire la limite de f en + ∞.
Annexe 1
x
y
Troisième partie Étude d’une primitive de f
On note F la primitive de f sur l’intervalle [0 ; + ∞[, qui s’annule pour x = 1.
On rappelle que F ( x ) =
∫ x
1
f ( t ) d t : (on ne cherchera pas à calculer F ( x )).
1. a. Montrer que, pour x > 0, f ( x ) >
2ln x x
b. Calculer
∫ x
1
2ln t t
d t pour x > 1 et en déduire la limite de F en + ∞.
2. Dresser le tableau des variations de F. 3. Montrer que f (1) < F (2) < f ( α ) et en déduire un encadrement de F (2). (On prendra f ( α ) ≈ 0,8.) 4. On note I le point de coordonnées (1 ; 0), A le point de (C ) de coordonnées (1 ; ln 2) et B le point de coordonnées (ln 2 ; ln 2). a. Vérifier que B appartient la tangente (C ) en O. b. Placer les points I, A et B sur la figure de l’ annexe 1 et tracer les segments [OA], [OB], [BA] et [AI]. c. On admet que, pour les abscisses appartenant à l’intervalle [0 ; 1], la courbe (C ) est située au-dessus de [OA] et au-dessous de [OB] et de [BA]. Déterminer un encadrement de F (0), d’amplitude inférieure à 2 × 10 −^1. 5. Tracer la représentation graphique (Γ) de F en exploitant au maximum les ré- sultats précédents ; on précisera notamment la tangente (Γ) au point d’abs- cisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur. (Unité graphique : 2 cm)
