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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998 \
Exercice 1 4 points Enseignement obligatoire
Un meuble est composé de 10 tiroirs T 1 , T 2 ,... , T 10. Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante : la personne ouvre le tiroir T 1. Si la boule est dans le tiroir T 1 , la recherche est achevée, sinon la personne ouvre le tiroir T 2 , et ainsi de suite... en respectant l’ordre des numéros de tiroirs. On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T 10 n’est jamais ouvert.
Pour i entier compris entre 1 et 10 (1 6 i 6 10), on appelle B i l’évènement « La boule
se trouve dans le tiroir T i ». On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.
1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de X.
2. a. Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 (1 6 i 6 8), l’évènement
( X = i ) est l’évènement B i. b. Justifier que l’évènement ( X = 9) est la réunion des évènements B 9 et B 10. c. Déterminer la loi de probabilité de X. d. Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)
1. a. Résoudre l’équation
(E) : z^2 − 2 z
p 3 + 4 = 0.
b. On considère les nombres complexes z 1 =
p 3 + i et z 2 =
p 3 − i et on dé- signe par M et N les points d’affixes respectives z 1 et z 2. Déterminer le module et l’argument de z 1 et z 2 ; placer M et N sur la figure. c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation de vecteur
w = − 2
u. Placer P et Q sur la figure. Montrer que MNPQ est un carré.
2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de centre O et d’angle
π 2 , S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rapport p
Placer ces points sur la figure. Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].
3. On pose α = 2 −
p
a. Montrer que 1 + α^2 = 4 α et 1 − α^2 = 2 α
p
b. Exprimer les affixes Z de
PR et Z ′^ de
PS en fonction de α.
A. P. M. E. P. A. P. M. E. P.
c. Montrer que | Z | = | Z ′| et que
Z
Z ′^
= ei^
π 3 . d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)
1. a. Résoudre l’équation (E) : z^2 − 2 z
p 3 + 4 = 0. b. On considère les nombres complexes z 1 =
p 3 + i et z 2 =
p 3 - i et on désigne par M et N les points d’affixes respectives z 1 et z 2. Déterminer le module et l’argument de z 1 et de z 2 ; placer M et N sur la figure. c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation de vecteur
w = − 2
u. Placer P et Q sur la figure. Montrer que MNPQ est un carré.
2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de centre O et d’angle
π 2
, S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rap- port
p
Placer ces points sur la figure. Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].
3. On pose α = 2 −
p
a. Montrer que 1 + α^2 = 4 α et 1 − α^2 = 2 α
p
b. Exprimer les affixes Z de
PR et Z ′^ de
PS en fonction de α.
c. Montrer que | Z | = | Z ′| et
Z
Z ′^
= ei^
π (^3).
d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
Problème 11 points Commun à tous les candidats
Partie A ⋆ Étude d’une fonction auxiliaire
La fonction d est définie sur ] − 1 ; +∞[ par :
d ( x ) = e
x x + (^1).
1. Calculer la fonction dérivée d ′. En déduire les variations de d. 2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞. 3. Montrer que, pour tout x > − 1, on a : 0 < d ( x ) < e.
Partie B ⋆ Étude de la fonction f
Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; + ∞[ par :
f ( x ) = x + 1 − e
x x + (^1).
On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′^ et f ′′^ les dérivées première et seconde de f.
Antilles-Guyane 2 septembre 1998
